Ibidem, t. III, p

PÉRIODE DB TRANSFORMATION. 3ai

géométrie. Son Algèbre, que Fauteur appelle ArtA mag" giorCy nous montre qu*on ne savait alors i^ésoudre que les équations susceptibles <i*être ramenées au second degré, à racines positives, et que les relations algébriques s'exprimaient, au lieu de signes, par des abréviations de mots. Du reste, tous les problème^ à réspudre étaient des problèmes de nombres. L'uji des chapitres contient les quatre règles avec tous les genres de multiplication et de division usités ; le calcul des radicaux Içs plus simple»., la somme de la série des carrés et des cubes^ etc.

Fidèle à renseignement des Arabes, Luca^ di Borgo continua d'appeler l'inconnu, la chose, rc5, cosa; il la représentait, abréviativement, par R], C'est de là que la nou-^ velle méthode de calcul, — qui n'était pas tout à fait l'algèbre moderne, puisqu'on ne désignait pas encore par des lettres les quantités connues qui étaient, comme chez Diophante, appelée nombres [numeri) et représentées pa,r des chiffres, — prit le nom à'art de la chose , en italiçn arte délia cosa^ d'où Ton fit, par une plaisante corruption, la règle de Coss. Le carré de l'inconnue (dans les équations quadratiques ou du second degré) était également, comme chez les Arabes, désigné par cemus ou il censo, et la racine portait toujours, comme chez les anciens, le nom de latus (côté). Quant aux signes d'opération -)- ^t =, ils étaient représentés par les initiales des mots qui s'y rapportaient; le signe — , on l'évitait, parce que les raciaes négatives n'entraient pas encore en considération dans les questions proposées.

Les trois cas auxquels l'auteur s'était arrêté dans la solution des équations du second degré, sont exprimés en vers latins, selon la mode du temps. Le premier cas est ainsi décrit :

Si res et census numéro coaequantur, a rébus Dimidio sumpto, censum producere debes Addereque numéro, cujus a radice totius Toile semis rerum, census latusque redibit.

C'est ce qu'on peut, en langage algébrique moderne, exprimer par :

x*'\-bx=:a; x= — ô^ + V/i^*"^^'

Les racines négatives étaient laissées de côté parce que, comme le fait très-bien observer M. Suter, on n'avait encore aucune idée des nombres négatifs, c'est-à-dire du système de numération continué au-dessous de zéro, et cela devait être, tant que, pour Topération de la soustraction, on ne comprenait pas que la quantité à soustraire pût être plus grande que la quantité à laquelle celle-ci devrait être soustraite*.

On a de Paccioli deux autres ouvrages, dont Tun a pour titre : Libellm in très partiales tractatus divisus quorum^ cumqm corporum regularium et dependentium activœ per^ severatûmis (Venise, 1508, in-4), où il est traité des polygones et des polyèdres réguliers, ainsi que de l'inscription mutuelle de ces figures les unes dans les autres; l'autre, la Divina proportione (Venise, 1509, in-4), est la division d'une droite en moyenne et extrême raison, dont l'auteur fait de nombreuses applications. Ce dernier ouvrage, dont Léonard de Vinci grava les figures, devait établir géométriquement les règles de tous les arts.

Paccioli ou Luca di Borgo marcha sur les traces de Léonard de Pise, qu'il avait pris pour modèle. Comme celui-ci, il attribue les règles de position aux Arabes et les appelle Helcatâym. Sa méthode se distingue de celle des Grecs par une union constante de l'algèbre et de la géométrie, caractère qui se reproduit dans presque tous les écrits mathématiques semblables du seizième siècle. « Il n'est pas douteux, dit M. Chasles, que les deux célèbres

1. M. Suter, Geschichte der mathematischen Wissen^hafien, p. 160 (Zurich, 1873).

géomètres de Tltalie, Cardan et Tartaglia, n'aient dû leurs connaissances et la méthode qu'ils ont suivie à la Summa di arithmetica de Lucas di Borgo, qu'ils citent souvent*. 5>

Léonard de Vinci, ce génie vraiment universel (né en 1452, près de Florence, mort en 1519, près d'Amboise), qui fut à la fois peintre , sculpteur et architecte, se distingua également dans les sciences physiques et mathématiques. Malheureusement la plupart de ses écrits sont restés inédits , sauf quelques fragments publiés par Venturi, et par Libri dans son Histoire des mathématiques en Italie (t. m, p. 204 et suiv.). L. de Vinci fut, suivant Lomazzo {Tratatto délia Pittura, P* 1 7) , l'inventeur du tour à ovale. Le tour à ovale reposait sur une idée tout à fait nouvelle pour tracer les courbes. On ne les avait jusqu'alors décrites que par la trace d'un style mobile, imprimée sur un plan fixe. L. de Vinci y procéda inversement, au moyen d'un stylet fixe, imprimant sa trace sur un plan mobile. Tel est le tour à ovale, qui sert à tracer l'ellipse. Quel mouvement fallait-il, se demande M. Ghasles, donner au plan mobile, pour obtenir ainsi une ellipse?... Le célèbre peintre a su découvrir, parmi une infinité de solutions dont cette question était susceptible, sans doute la plus simple, celle qui consiste à donner au plan mobile le mouvement d'un angle de grandeur constante, dont les deux côtés glissent sur deux points fixes. Cette question, si intéressante, de la génération de l'ellipse, n'a été traitée depuis que par Clairaut (en 1740)*.