CHAPITRE VIII Le développement des Mathématiques dans l'Inde

Bien après que les Grecs eurent amené la Science à UQ haut degré de perfection, elle commença seulement à fleurir dans l'Inde. Ses origines dans ce pays nous sont peu connues. Cependant on peut l'affirmer, d'après plusieurs manuscrits, ItîS premiers savants hindous se sont formés eux-mêmes.

L'évolution mathématique s'opéra lentement mais grâce au seul concours des prêtres de Brahma et de Boudha qui n'empruntèrent rien aux adorateurs des dieux de l'Olympe. Leur Géométrie fut d'ailleurs assez rudimentaire : des énoncés de théorèmes sur les surfaces ou les volumes de figures simples telles que triangle, carré, rectangle, cercle, pyramide ou sphère, en formèrent le modeste bilan. En Arithmétique et surtout en Algèbre, ils excellèrent. Ainsi ils parvinrent à résoudre l'équation du second degré à une ou à deux inconnues. Leurs productions les plus remarquables se rapportent aux propriétés des nombres ou aux transformations algébriques, tandis que les chefs-d'œuvre scientiGques des Hellènes sont surtout géométriques. La caractéristique des génies respectifs de ces deux races est donc bien dilTérente.

Le philosophe Aryabhata nous occupera tout d'abord. 11 naquit à Pataliputra, aujourd'hui Patna, vers l'an 475 de notre ère, et composa un ouvrage intitulé : Aryabha-

r/iii/nni, consacré à l'Astronomie, aux élénient s il iicalnii, à la iiicsiiro du temps et ti diverses ([iicstions liignnométriques. Ecrit en vers, il se compose de théorèmes sans démonstrations, destinés proliahlement à être appris dans les écoles, cl il indique des connaissances arithmétiques assez sûres de la part de son auteur. H y résout l'équation complète du second degré à coelficient» indéterminés, il y donne la règle pour trouver la somme des carrés de n premiers nombres et celle de leurs cubes. Quant à son .savoir géométrique, il semble peu assuré. Il trouve toutefois une. valeur trcs exacte de tî, mais à côté de cela il croit le volume de la pyramide égal à la moitié du produit de la base par la hauteur, et pour obtenir celui de la sphère il niuUiplie l'aire du grand cercle par la racine carrée de celle mesure.

Un de ses successeurs, Bhahmagupta, dont les écrits ont été mis à jour vers l'an 6a8, parait bien supérieur. Deux seulement nous ont été conservés, l'un appelé Gaiiila, l'autre Citlloca. Ils formaient le douzième et le dix-huitième chapitre d'un traité d'Astronomie aujourd'hui perdu.

Les problèmes arilhmétiques qu'ils renlerment se rapporlenl pour la plupart â des questions de règles de trois et d'intérêt simple. En Algèbre, il s'attaque aux pro- . gressions arithmétiques dont il sait exprimer le dernier terme, la somme et le nombre des termes, connaissant la raison et deux des trois autres quantités. 11 résout en nombres entiers les équations indéterminées du premier degré, par la méthode dont nous nous servons actuellement. Avec le problème suivant : soit n un nombre entier non carié, trouver tous les nombres carrésdonl les produits par n augmentés de i donnent des carrés, il aborde même le second degré, et arrive à la formule exacte, mais sans indiquer son procédé. Fermat reviendra plus tard sur te sujet. En Géométrie, il énonce le théorème du carré de l'hypoténuse, puis

LKS SINOOCS ri

il donne l'dxpi'ession de l'aire d'un ti-ianf^li> quelconque eld'un quadrilatère iiiscrîplible en Ibnelion de ses côtés. Il remarque aussi que la surl'ace d'un cerelo est égale il relie d'un rectangle dont les côtés seraient le rayon et le denii-périinètre, et il attribue au nonihi-e t. la valeur ^/7ô.

Pendant plusieurs siècles nous n'avcins aucun nom a

mentionner parmi les Hindous : Cridliara et Padma-

nabha, que quelques historiens citent parlois, n'pilt

pas apporté le plus petit perfectionnement k la science.

Nous devons arriver au xii° siècle do l'ère vulgaire pour

trouver Bhahkaha qui, dans trois chapitres de son Std-

dhanta Ciromani ou u Aigrettes des Pierres fines de

l'Astronomie », a laissé des traités d'Arithmétique et de

Mécanique céleste. Ceux-cî nous renseignent sur les

connaissances acquises de son temps, La nuinéralion

employée est le système décimal basé sur l'emploi des

neuf chiffres et du zéro. Il semble avoir connu les

ivres d'Archiméde, auxquelles il a emprunté sa

I valeur approchée -^ pour le rapport de la circonfé-

I ronce au diamètre. 11 rendit enfin un sei'vice â l'ensei-

I gneuiont en accompagnant ses sentences versifiées de

I démonstrations en proge. Ses prédécesseurs avaient

[ écrit uniquement en vers, sans donner aucune expli-

, cation.

Depuis ce savant, la Mathénialicpie hindoue, cxclusi- ' vement confinée aux écoles des ilrahuiines, ne compte plus dans l'Histoire des sciences. On a même vu dans 1, les temps modernes un mauvais ouvrage arabe reinon- I tant à plusieurs siècles être considéré comme le « summum » du genre. Si donc les nations de l'Inde furent , douées jadis de quelque habileté dans la recherche , des propriétés des nombres et des théories algébriques, elles ont été considérahlement au-dessous du peuple grec en Géométrie. Quant à leur attribuer l'invention de nos chiffres, cela parait bien dil'licile à admettre, depuis les travaux des orientaliste modernes. Sans suivre sur

ce terrain Wœpcke *, donnons, à titre de curiosité, son opinion. D'après lui, les chiffres indiens auraient été transportés de Bagdad en Egypte sous deux formes différentes, celle que les Arabes d'Orient ont adoptée, et celle que nous connaissons sous le nom de chiffres « Gobari ». Ces derniers auraient été transmis aux Latins par les néo-platoniciens, et de là seraient passés chez les Musulmans d'Afrique pour réapparaître en Europe sous le nom de « chiffres arabes ». M. Brennand^ dans sa remarquable Astronomie hindoue^ se range également à un avis peu différent. Laissons à d'autres le soin de trancher cette question.

(i) WoEPCKE. L'introduction de l'Arithmétique indienne en Occident. Rome, 1S59.

(2) W. Brennand. Hindu Astronomy. London, 1896.

La Science arabe du IX'' au XIF siècle.

Lorsque Charles Martel, en 73a, arriMa l'invasion des Arabes, un siècle juste s'était écoulé depuis la mort de Mahomet, et l'empire musulman s'étendait de l'Indus aux Pyrénées. Mais que de ruines l'Islamisme n'avaît-il pas amoncelées durant ces cent années ! La destruction d'ispahan, de Persépolis et surtout d'Alexandrie, ce foyer intellectuel d'où la Mathématique avait durant si longtemps rayonné sur le monde : tel était le bilan de la conquête, pour ne citer que les plus tristes exploits.

Cependantau vin' siècle, sous le règne des Abassides, l'industrie se releva, la littérature et les arts se développèrent, et ces princes résolurent de faire de Bagdad le centre d'une civilisation nouvelle. Bornée à ce qui concerne cette Histoire, leur œuvre fut féconde. Par leur ordre, les grands mathématiciens de l'antiquité furent traduits ou commentés, et dès le règne d"Al-iIajn (81 3-833) les géomètres arabes développaient puissamment l'héritage que les Archimède elles Ptolêmée leur avaient transmis. Us devaient même révéler plus tard ces chel's-d'œuvrc à l'Europe, les originaux ayant été momentanément égarés ou définitivement perdus dans leur langue,

MoHAMMEn BES ilusA Al-Kwahizmi ouvre cette période. D'origine persane, ilfiit appelé à Bagdad etchargé

;4 HISTOinS DES MATUBMÂTIQUES

ct'iinc mission dans l'Indo afin dp s'instruire auprès dos Brahmes^, de leurs doctrines scientifiques. A son retour (83o) on lui ordonna de dresser dos tables astronomiques qui servirent longtemps dans tous les observatoires de l'Orient. Mais son principal titre est son Traité d'algèbre, le plus ancien ouvrage arabe que nous possédions sur ce sujet. 11 doit du reste nous être précieux. Grâce à lui Léonard de Pise, qui avait été s'instruire près des Arabes, put, en le traduisant, doter l'Europe de cette branche des mathématiques.

Il y expose l'addition, la soustraction, la multiplication des expressions renfermant l'inconnue, son carré ou aa racine carrée et, comme les Hindous, il emploie des considérations géométriques afin d'alïirnier la certitude des opérations. Sa méthode lui sert ensuite à résoudre l'équation du second degré. Cependant son livre est moins complet que les traités indiens. Ainsi il ne parle pas des équations indéterminées du second ni du premier degré, mais l'auteur a soin de nous prévenir que c'est un simple résumé destiné à faciliter les opérations les plus usuelles, et non un cours complet comme les Arabes en possédaient déjà. Remarque assez piquante. Cette algèbre, considérée comme élémentaire par un savant de Bagdad du xi" siècle, devînt le vade-uiecum des Occidentaux septcenls ans après, et servit de base à leurs études scientifiques jusqu'à Viète!

Al-Khwarizmi écrivit encore un Traité d'astronomie et un livre sur l'Arithmétique dont une traduction latine, conservée dans la bibliothèque de l'Université de Cambridge, a été mise au jour, en i85j,par les soins du prince Boncompagni. Mais ils ont moins de valeur.

Parmi ses contemporains les fils de Musa ben Scuakeb furent de remarquables mathématiciens. Mohammed, le plus célèbre des trois, exécuta une des premières opérations géodésiques exactes. 11 mesura un degré de méridien dans la plaine de Sindjar. Il calcula aussi des tables astronomiques, et composa un Traité des iiiom-e-

LES ABABES 75

meiils célestes assoz curieux. Aliniprl écrivit sur Les Machines, et Hasen s'occupa de la Trisection de l'angle. Enfin les trois i'rères composèrent ensemble une Géonétrie oii se rencontre la démonstfation de la l'orniulEî exprimant la surface d'un triangle en fonction des trois côtés.

Chargés d'une mission en .'\sic Mineure, en Perse, en Egypte et en Grèce, afin d'y recueillir les meilleurs inanuscrits scientifiques, Ahmed et Hasen rencontrèrent i Harran (Mésopotamie) un astronome de talent, Tabit- BEK-KoKHA, ([u'ils emmenèrent avec eux à Bafjdad, mi les cent cinquante et quelques ouvrages que ce nier a composés sur les diverses parties des Ma- Uièinatiques, un seul nous retiendra : c'est un fragment gèbre où les équations du troisième degré sont liiésolues géométriquement. Si donc Viète eut la géniale lensée, en imaginant les équations littérales, d'arrila véntablc conception de l'Algèbre moderne, il l'en est pas moins vrai que les Arabes surent avant lui ïxprimer graphiquement les formules.

Tabit-ben-Korra avait aussi publié des Iraduclions l'Euclide, d'Archiméde et d'Apollonius très estimées dans tout rOrient. Un autre de ses livres, sa dissertation sur les « nombres amiables », dont chacun est la lomjne des facteurs des autres, est ime des premières découvertes originales des Mahométans, et prouve que l'Arithmétique de Pythagore n'y était pas délaissée.

Mais t'est principalement à l'étude de la Trigonométrie que les Arabes apportèrent tous leurs soins. Les perfectioimements qu'ils y introduisirent permirent de nombreuses applications dans le domaine de TAstro- Bomic. Leur origine remoiite à Al-Batahi, surnommé Bon sans raison : n le Ptolémée des Arabes >i '■

on nom propre eat Mobommed-hpn-Geber ; mois on le oonnait plus imbitaeUempnt sous celui i'AI-RalaRt, à cause do sou lieu de naissance. Les iMducleur» du Uoycn kge ont latinisé re surnom. Ils on ont ftiii Albategniuit «ons lequel bien des auteurs nioderries le désignent sauvent. Hoefeh. UittkirtJe* ntalkemaUijum, 1* édit. Paris, \i&6.

7^ HISTOIRE DES MATHEMATiQCES

Cr prinre syrien naquit à Batan (Mésopotamie), vers &8o. Excellent observateur il corrigea, dans sa Science des astres, plusieurs erreurs du grand astronome d'AIexan- <lrit^ Il eut surtout la lumineuse pensée de substituer les sinus aux cordes des arcs que les Grecs utilisaient dans leurs cahnds. Il découvrit également l'expression fondamentale de la Trigonométrie sphérique, et sous la dénomination <c d*ombre étendue » il se sert dans ses formules gnomoniques de la tangente, mais il ne semble pas avoir eu l'idée de son introduction dans les calculs ordinaires. Il fallut cent ans à la science arabe pour franchir cette nouvelle étape. Aboul-Wkfa, qui florissait à Bagdad dans la seconde moitié du x* siècle, employa, en elfet, la tangente et les cotangentes pour résoudre divers problèmes d'Astronomie sphérique, et Ibn-Younis, mort en 1008, dans son Lh're de la grande table Hakémiiej Tutilisa également. Entre autres particularités intéressantes rencontrées dans cet ouvrage, il faut noter la transformation d'un produit de sinus ou de cosinus en somme ou en différence.

La Géométrie, sans être complètement négligée, fut ndativementpeu cultivée par les disciples de Mahomet. Pendant longtemps, ils se contentèrent des Éléments d'Euclide, mais peu à peu ils finirent par étendre la S(:i(înce grecque. L'un d'eux, Hassan ben Haithem, plus connu sous le nom de Alhazen, publia un Traitédes connues géomclriques, aux environs de Tan loio. Des deux parli(îs qui le composent, la première et la plus originale renferme des questions de lieux, la seconde compr(»nd une suite de propositions dans le genre de celles traitées dans les Data d'Euclide. Elles sont cependant différentes de ces dernières et souvent assez difficiles. Pour en donner une idée, citons les deux suivantes.

Quand on a un triangle dont les côtés et les angles sont déterminés, et qu'on mène une ligne du sommet à la base, si le rapport du carré de la droite au rectangle