LES ARABES

formé sur les deux segments de la base est connu, la ligne sera donnée de position.

Lorsqu'on a deux cercles connus de grandeur et de position, et qu'on trace une droite tangente aux deux cercles, cette droite est déterminée en grandeur et en position.

Bien qu'on puisse encore citer quelques noms de mathématiciens, tels, par exemple, celui d'ABD-AL-GEUL qui composa un livre sur les Sections coniques^ la belle période de TEcole arabe s'arrête la. Aucun des derniers professeurs de Bagdad n'a apporté un progrès digne d'attention, et nous allons étudier maintenant Tinfluence de la Science musulmane sur les études mathématiques en Europe.

CUAi='ITRE X

Les Mathématiques en Occident au moyen {Lge.

Influence des Arabes.

Dans les chapitres |ïri>c6dents nous avons suivi à travers les âges la filiation des idées mathématiques depuis l'Antiquité gréco-égyptienne jusqu'aux Hindous et aux Mahoniétans. Nous nous proposons de montrer maintenant dans quel degré d'ignorance vécut l'Occident latin, qui ne sortit de sa barbarie qu'après huit siècles d'obscurité intellectuelle, grâce aux Arabes d'Espagne,

Pendant que la civilisation muisumane atteignait son apogée, la Mathématique était de plus en plus délaissée en Europe. Alcuin, le conseiller de Gharlemagne, dans ses Proposiliones arithmcticee résolut quelques problèmes dans le genre de ceux imaginés par Dîophante, mais il n'alla pas plus loin. Une iigure plus iatéressante de cette période fut le moine Gkhbert, qui naquit dans la capitale de l'Auvergne en 940. Sa famille était si pauvre qu'il ne dut qu'à la charité publique de pouvoir faire son éducation au monastère de Saint-Gérauld, à Aurillac. Il entra dans les ordres de fort bonne heure, et fut emmené en Espagne par le comte de Barcelone. Puis après il se rendit à Rome où le pape Jean XIII, fasciné par son érudition, si rare au milieu de l'ignorance grossière du temps, le nomma abbé de Bobbio. C'est là qu'il établit une école dont la réputation se

M Ul t..\ A Ut. jn

répandit bientôt dans toute la clirétienté. Mais les

moines elles seigaeurs voisins, jaloux de sa renomniéL',

Fporlèrent contre les mœurs de Gerbert d'odieuses

ïciisations. Colui-(!i dut fuir devant Torage et se relî-

Brer en Allemagne qu'il ne tarda pas ii quitter de nou-

|veau pour la Francu, rappelé pac l'archevêque de

Heims.

Par son intelligence il sut redonner quelque lustre à l'université de cette ville où ses cours de Mathématiques {«t d'Astronomie attirèrentile nombreux disciples. Aussi Irégoire V voulant récompenser son mérite lui donna i épiscopal de Ravenne. Enfin, à la mort de ce ■«dernier pontife, et grâce à l'appui de l'empereur 'Othon III, il devint à son tour chef de l'Eglise catholique, sous le nom de Sylvestre 11 (999)- Quatre ans plus tard il décédait. Malgré les hautes fondions qu'il occupa,

(Gerbert trouva le temps de- composer de multiples l&uvrages scienlifiques. 11 s'y montre plutôt disciple de Boèoe, que continuateur des Arabes. Les principaux sont le De ttunierorum divisione et la Régula de abaco cornputi où il emploie un système de numération différent de celui des Latins, alors seid usité. C'est en somme la notation décimale moins le zéro, et on désignait ce prolédé sous le nom A'abaqiie.

Dans sa Geometria il donne d'abord les premières définitions, en commençant toutefois par celle du corps polide, puis il passe à la nomenclature des mesures ■omaines dont l'usage s'était conservé. Il en énumère certain nombre : le digilus, le palmus (quart du feied), l&pertica (d'où eslvenn la perche), la leuca (d'où dérive notre lieue), etc. Aux chapitres suivants il étudie les triangles rectangles en appliquant les méthodes g^recques qui fournissent des nombres rationnels pour ^■ks côtés; mais il utilise concurremment d'autres règles ^^Konduisant à des nombres fractionnaires.

^^P Parmi les questions intéressantes qu'il y traite se ^Krouve la suivante : la surface et l'hypoténuse étant

donnés, trouver les deux côtés. Ce problème est assez j remarquable pour l'époque, puisqu'il répond à une i équation du second degré. L'auteur aborde ensuite la Géométrie pratique. U passe en revue les moyens propres à déterminer la profondeur d'un puits, la hauteur d'un monument, la distance d'un objet inaccessible, etc. La fin de son livre est moins heiircuso, car, dans ses tbrinules relatives aux aires des polygones réguliers, il répète les erreurs des agrimenseurs romains.

On considère comme ses élèves quelques mathématiciens du même siècle, entre autres Adalbolde, Berlinus et Heriger, Mais leurs ouvrages, reflets des doctrines du Maître, ne méritent guère d'être tirés de la poussière des bibliothèques.

Vers la même époque, il faut placer Fr-^ncom, écolatre ' de Liège, qui composa un opuscule De Quadratura circuit (io5o) où il expose une solution nécessairement fausse de ce problème dont la difficulté ne l'effraye pas. On y rencontre toutefois certaines considérations assez nettes. Il montre, par exemple, que l'expression en termes rationnels, môme à l'aide d'une série de substitutions, de la racine d'un nombre entier non carré parfait, tomme i54, est impossible.

En Russie, les études mathématiques commençaient à se poursuivre, mais elles se bornaient à l'arithmétique et à l'arpentage. Le moine Kihiqde, de Nijni-Novgorod, ■ nous a laissé un Traité des calculs chronologiques et du co»i/)«f {ii34), où il cite d'autres amateurs delà théorie des nombres ■.

La particularité la plus curieuse, constatée dans ces auteurs slaves du moyen âge, est le penchant qui les pousse vers les spéculations arithmético-algébriques, — trait de ressemblance avec les Hindous, et cependant ceux-ci n'eurent aucune relation directe avec l'empire

latioitaU tcUulifique, u- i5 [septembre il

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ies Czars. Leurs premiers iiiaitres lurent m(!'me les ^recs.

Cependant leur nuiiu-ration était assez rudimentaire- RiU XI* siècle elle allait jusqu'à 10 000, puis au siècle suifîint on la prolongea jusqu'à 10 000 000; enfin du siii" 1 xvi° siècle elle se développa de 100 000 obo jusqu'aux îités du So' ordre. Le domaine embrassé par leur calh1 s'élargissait donc lentement. Puis ils arrivèrent à «primer d'une manière méthodique les multiples des

erenles unités par des lettres.

' Dans le livre de Kîrique on trouve eu particulier sous k dénomination h d'heures fractionnaires » les sulidivî- £onB de l'heure écrites d'après le système quinaire. [ Durant les cinq cents années qui suivirent, les preécoles fondées par le clergé gréco-bulgare irent peu florissantes au point de vue des études scientifiques. On n'y apprenait même pas à calculer. Les Russes qui désiraient acquérir des connaissances mathématiques étaient obligés de le faire dans des inslî- Ijttions privées. Ces établissements, dirigés par des Biltjues, vivaient ignorés de l'État comme des popes, t d'après les rares documents qui nous restent sur teur fonctionnement, 00 voit qu'on y enseignait à peu i ce qu'on nommait dans le monde latin du moyen Ige les « s ept ar t s libé raux », c'est-à-dire la Gramlaire, la DiaTecTique, la lihélorique, la Musique, ■Arithmétique, la Géométrie et la Cosmographie. " Pour ce qui nous regarde, le programme des études emportait peu de chose : les opérations sur les lORibres, le calcul des fractions, certaines notions de toétrolugle, l'ai-pentage. Quant à l'Astronomie et au iuput, Lis formaient l'objet d'études complémentaires, Mais en 149a, à la fin de la période pour laquelle les calculs relatifs au calendrier avaient été effectués, on sentit la nécessité de les prolonger plus loin, et plu- ^^fiieurs savants indigènes s'en tirèrent à leur honneur,^ ^H Le métropolite Zossima se charge'> ^^l BoiEB. Uiat. des Malh.

mières années, el F'Iiilopé, évèqiie de Perni, vérifia son travail, puis l'arclievéque de rs'ijni-Novgorod, Hennady, le continua pour soixanle-dix ans.

Mais, somme toute, la science slave jusqu'à Pierre le Grand ne compte guère. Au moyen âge d'ailleurs celle delEurope ne la dépassait pas de beaucoup. Dans TUniversitê de Paris, la plus ancienne et la plus en renom, on commentait Boèce, on exécutait des calculs soit au moyen de Vabacus, soit avec le vieux système des jetons représentant chacun une unité, soit selon la nouvelle méthode introduite par Gerbert, à l'aide de jetons numérotés. En Géométrie on était peu avancé. On enseignait des règles et des énoncés de théorèmes sans démonstrations.

Revenons à l'ouest de l'Europe et quelque peu en arrière. L'Ecole arabe va faire sentir sa hienfaisaute influence et secouer la torpeur intellectuelle du monde romain. Les connaissances mathématiques s'implantèrent d'abord en Espagne où les Maures s'étaient fixés dès 747- Après trois siècles environ de barbarie ces peuples fondèrent les Universités de Grenade et de Cordoue, pâles reflets de celle de Bagdad. Puis dans la première moitié du xi" siècle naît à SéviUe un astronome de talent Gebeh-ibn-Apula. Par son traité de Astronomia il rendit aisée à ses contemporains la lecture de l'Almageste, en simplifiant les méthodes et en démontrant ce que Ptolémée avait formulé d'une manière trop concise.

Son compatriote Arzachel, quiflorissaità Tolède vers 1080, crut reconnaître l'excentricité des orbites planétaires, mais cette opinion fut combattue comme contraire au,\ doctrines admises jusque-là.

Au siècle suivant un moine anglais, Adelh.vrd, vint en Espagne se perfectionner dans la Science, et traduisit pour la première fois les Eléments d'Euclide d'arabe en latin. Un rabbin de Tolède, Abraham ben Ezra, contribua aussi pour sa pai't ^ répandre en Europe les

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l ouvrages des matliéiiiaticiens musulmans. Comme livres rinaiix, il nous a laissé -quelques tables astrornomiques et une arithmétique. Il vint même professer I jusqu'à Rome où il mourut en 1097.

D'autre part, au xii" siècle Gérard de Crémone, Pla- 1 ton de Tivoli et le juif" Jean d'Espagne piibUèpent des t traductions latines de la plupart des auteurs arabes. Us L s'occupèrent aussi de V algorithme , ainsi appelé du sur- I nom de Mohammed-hen-Musa qui en donnant à chaque I signe numéral de zéro à neuf une valeur déterminée par position, opéra une grande réforme arithmétique, l'bien que cela nous paraisse aujourd'hui si simple et si |> enfantin !

Mais passons à un savant d'une plus grande envergure, à Jeas de Sacro-Bosco qui naquit à Holywood [ dans le Yorkshire '. Après avoir iaît ses études à l'inrversité d'Oxford, il Wnt les terminer à Paris. On ne

■ sait du reste pas grand'cliose sur son existence, sinon I qu'il enseigna les mathématiques avec le plusgrand suc-

> dans un collège de la Montagne Sainte-Geneviève, l-et qu'il mourut proliahlement en ra56.

Son Algorithme renferme tout ce qu'on savait sur le

louveau système de notation arabe. Les quatre règles

l'y trouvent formulées, et il applique à diverses

b questions pratiques les principes de proportion. Le

■ livre se termine par dill'érentes formules algébriques I propres à résoudre les problèmes les plus communs [ de la vie courante.

Nous reproduisons ci-après, en fac-similé, la preiiière page d'un manuscrit de ce traité conservé à la ïibliothèque Nationale de Paris. Cette gravure est curieuse car on y voit (ligne 26] la forme de nos chiffres à cette époque. Le 5 et le 4 sont seuls assez notablement modiliés.

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MOYES AGE »S

Mais son principal titre de gloire est son Traité de la sphère, qui renferma pendant longtemps tous les secrets de la science astronomique. Il est divisé en quatre chapitres. Le premiei" roule sur le globe tei'resti'e, le second sur les cercles, le troisième sur le lever et le coucher des astres, et le dernier sur les orbites et les mouvements des planètes. L'auteur n'a guère ajouté aux ouvrages analogues grecs ou arabes. On peut louer seulement la disposition méthodique des matières. Bien que sa valeur scientifique ne suit pas très grande, c'est un des livres qui eurent le plus de succès pendant le moyen âge, et même après. L'ne multitude d'écrivains le comnientèrenl. Ce sont par ordre de date : Michel Scol, le fameux philosophe, Hugues de Castro (iSJly), puis Pierre d'Ailly, Purharh, Regioniontanus et tant d'autres. Après l'invention de l'imprimerie, les éditions se succédèrent. On l'imprima partout, en premier lieu à Ferrare {1572), puis à Bologne, à Venise, à Leipzig et à Paris. Le Brilish Muséum de Londres possède 63 éditions du Traité de la sphère dont la vogue avait duré plus de quatre cents ans !

Sacro-Bosco exerça donc une grande influence sur les éludes mathématiques pendant plusieurs siècles et fut par ce fait un des plus actifs |iropagateurs de la science des Arabes. Cependant à côté de lui existaient les abacistes qui se servaient de l'ancienne Arithmétique de Boèce. Celle-ci comprenait deux parties : l'Arithmétique théorique ou étude des propriétés des nombres et des démonstrations, toutes rudimcntaires d'ailleurs, des méthodes, et l'Arithmétique pratique qui avait pour but d'initier à l'art du calcul au moyen de l'abaque. La première continua à être enseignée par les mathématiciens de profession jusque vers le milieu du xv" siècle, tandis que la seconde se conserva beaucoup plus longtemps : certains commerçants français, anglais ou allemands, en faisaient encore usage au cojnmencenient du xvii'.

Parmi tous ces auteurs de médiocre intérêt pour l'histoire scientifique, distinguons Raoul de Laon qui ne connaît pas la valeur du zéro, et Gordan Nemorarius qui dans son De numeris datis traite de questions d'Algèbre en raisonnant sur des lettres.

La fin du moyen â.ge et l'Ecole byzantine.

En Occident, la fin iki moyen Age marque pour les Mathématiques un certain renouveau «lù certainement à l'influence musulmane. L'homme qui pour sa part y contribua largement fut Tltalien Fibonacci, plus connu SDUS le surnom de Léotsard de Pise. Il naquit vers 1173 et voyagea en Orient où son père, régisseur des douanes à Bougie, l'avait engagé à se rendre. Alors il parcourut rÉgypte, la Syrie et la Grèce, afin de s'enquérir des connaissances scientifiques variées qu'y avaient importées les Arabes ; puis il retourna en Italie, et résolut, en publiant son Liber Abaci (1202) d'initier ses conleniporains aux nouvelles doctrines. Comme il l'annonce dans sa préface, il a a tout accompagné de démonstrations afin que ceux qui désirent connaître cette Science puissent s instruire, et que dorénavant la race latine ne s'en trouve pas privée comme elle l'a été jusqu'alors u. Aussi dans les quinze livres où il expose le système de numération arabe, dont il attribue l'invention aux Hindous, il fait ressortir ses avantages sur la notation romaine puis il montre comment la Géométrie et l'Algèbre peuvent se prêter un mutuel concours. Finalement il résout quelques équations du second degré.

Au point de vue historique cet ouvrage «si intéressant, car, ayant joui pendant longtemps d'u

HISTOIRE DES MATIIKM ATIQV ES

sive faveur, il introduisit les chiffres arabes dans toute la chrétienté. Dans sa Practica geometria (laao), on renconlre la formule de l'aire du triangle en fonction de ses trois côtés. I'eut-i>tre l'a-t-îl empruntée aux auteurs mahométans, mais en toutcas elleyest démonlrée d'une façon différente. Enfin, dans son Traité des nombres carrés retrouvé et publié seulement en 1857, par le prince Boncompagni, il indique des formules pour résoudre certaines équations indéterminées du second degré et trouve, à l'aide de méthodes graphiques, plusieurs jiropriétés générales des carrés.

Dans divers pays, le mouvement intellectuel commençait à se dessiner. A Paris, au début du xii* siècle Abelai'd avait enseigné avec éclat la philosophie ; nous avons vu, cent ans après, Jean de Sacro-Bosco professer avec non moins de succès les mathématitpies, iandis qu'ALBERT LE Graso émettait sur ïiiifini des considérations assez curieuses pour être rapporlécs ici. Il dît en propres termes : « Les mathématiciens n'ont pas besoin pour leur Science d'une (]uanlilé InGnie en réalité, car ils n'envisagent pas la quantité réelle, maïs la quantité imaginaire, et se règlent d'après la faculté de l'imagination... Ils n'ont pas besoin d'un infini qui existe réellement, mais d'un iniini qui se prête à l'imagination'. )i Les calculateurs parisiens des xiii", xiv" et xv' siètries ont accumulé bien des théories sur laquadratui-c du cercle, avant qu'on soit parvenu à jeter le pont entre les idées d'Archimède et celles de Newton ou de Leibniz. Le célèbre Raymomo Llxle s'y évertua en 1299, alors qu'il occupait une chaire au collège des Franciscains, et quelques-uns de ses disciples partageaient déjà les idées que Cavalleri et Wallis devaient défendre plus tard. Ils assimilaient le cercle à un poly» gone d'un nombre infini de côtés, et sa circonféreace à une série de lignes droites infiniment petites. Ëilfiv

[i| HlBLlOTIlÉrivt sATiOHAI.f-, Psriâ. Maniisiiil latin

ECOLE BYZÂ.\TiyE

il y a lieu de se demander si Newton ne s'est pas inspiré dos idées émises par Jean de Mrnis, qui vivait à Paris au milieu du xiv° siècle. Il déclare, dans un ouvrage où il Iraile de la proporlion des vitesses dans les mouvements, que « la vitesse de deux corps subissant «ne impulsion du même genre est proportionnelle aux espaces parcoums, et que les résultats des forces motrices sont proportionnels aux temps où ces forces s'exercent ' ».

D'autre part, les éludes niaLliémaliqties étaient assez fortes dans l'L'niversité de Prague fondée en i384. On exigeait du candidat au grade de bachelier une connaissance approfondie des ouvrages astronomiques de Sacro-Bosco el de Ptolémée, des six livres d'Euclide, el des notions d'arpentage. Dans les écoles de Leipzig et di Cologne, on attachait peu d'importance à ces questions Celles de Bologne et de Palerme étaient très florissantes, mais cette dernière surtout en Médi A Padoue et à Pise, les programmes se rapprochaient Je l'enseignement suivi en France ou en Autriche. On remplaçait toutefois tes leçons sur l'AImageste par dei «ours astrologiques. A Oxford el à Cambridge, jusqu'au iiiilieu du xv" siècle, on se contenta des deux premiers livres d'Euclide et des éléments de la numération.

A Constaatiuople, pendant la durée i!u Moyen âge on s'occupa plus de controverses ihéologîques ou grammaticales que de spéculations seienliflques*. Aussi, dans la liste des auteurs byzantins, nous retiendrons seulement deux noms montrant la parfaite ignorance malhémalhique des savants de la nouvelle Rome,

(l) BlBMOTHËQVK N

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•quelques auteurs a'éLendaiit ju^iju'mi inîlÎL'u du KV hUi'Je, t ^icolns de Sniïrne, le moins Arayras. Pionudc, PntbyinÈro ol

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lOiiforiuer ii l'usuge.

Le premier, BAitL.i.VM, originaire de la Calabre, mourut vers le milieu du xiv" siècle. C'était un moine appartenant à Tordre de Saint-Basile. Très intelligent, il fut envoyé eomme ambassadeur piès du pape, qui résidait alors à Avignon, afin d'examiner la possibilité de réunion des Eglises grecque et latine. Pendant cette mission il enseigna, dit-on, le grec au poète Pétrarque. Puis, à son retour à Constantinople, il s'acquit une juste réputation en couvrant de ridicule les prétentions saugrenues, les idées baroques et les sots préjugés des religieux quiélistes du Mont-Athos, qui avaient à leur tète Palmos.

C'est au milieu de ces discussions qu'il écrivit sa Logistique, consacrée à l'exposition des principes de calcul des Grecs, en particulier de leur laborieux procédé relatif aux opérations sur les fractions.

Au siècle suivant, Moschopolilos, dont M. Tannery' a récemment édité l'ouvrage sur les Carrés magiques, est le seul mathématicien quelque peu original de cette période.

Qu'entend -on d'abord sous ce nom? Soit un carré A B C D. Divisons-le par des parallèles aux côtés en petites cases égales, et inscrivons dans chacune un nombre entier. La figure .\BCD sera un « carré magique 1), si la somme des nombres suivant chaque ligne horizontale, chaque colonne ou chaque diagonale, est toujours identique. Tel est le tableau ci-dessus où la a somme magique » est constamment i5.

On rencontre cet amusement mathématique dans l'Inde et chez les Arabes, Les Byzantins les ont-ils reçus par l'intermédiaire de ces derniers, ou est-ce simplement une ancienne tradition qui des Grecs d'Orient

Carré magique

ECOLE BYZASTIXE

passa aux disciples de Mahomet ? Eniornie diftioile à percer. Ceci, sous de futiles apparences, se rattache du reste à une considération plus haute : quel de^ifrê d'originalité faut-il attribuer à l'Islamisme ? N'a-t-on pas fait honneur à ses sectateurs de trop d'idées appartenant à la civilisation hellène ? Leur génie d'invention était-il si puissant? Problème plus ardu à résoudre qu'à poser! Quoi qu'il en soit et jusqu'à nouvel ordre, nous attribuerons la paternité de cette petite découverte à Moschopoulos qui indiqua les propriétés générales des carrés magiques et les règles de leur formation *. Son livre ne porte en effet aucun cachet arabe. Il ignore en particulier la signification symbolique qu'on leur attribuait dans tout l'Orient. Mais pour trancher la difficulté il faudrait trouver dans un auteur plus ancien une allusion à ce sujet. Ce débat de priorité serait intéressant. Avis aux érudits.

(i) Voir, sur les Carrés magiques, la 3« partie du li^-re de M. E. Fourre Y. Récréations arithmétiques, Paris, 1899.