CHAPITRE PREMIER

Les Mathématiques chez les anciens peuples

de rOrient.

Indiquer d'une manière précise Torigine dos nuUhômatiques, serait téméraire. Si Ton veiitenlror dans co[\o voie, on se trouve réduit à rornuiler dos coiijoclures plus ou moins plausibles, à édifier dos ihooric^s douteuses que des textes postérieurs pormolloiil toujours de justifier en les tourmentant savamment. Nous laisserons donc érudils ou philosophes dissortor sur cm» sujet, et dans cette histoire nous no romonlorons pas au delà des premiers documents aulhontic|uos.

Autrefois, la Chine passait pour le bcrocjau d(îs mathématiques comme des autres sciences ;niais, d'après los récents travaux des sinologues, on peut avanc(îr avoc certitude que la géométrie et rarithméti(|ue (hîs (Chinois de Tantiquité étaient bien rudimontairos. Ils connaissaient peut-être, depuis une époque fort re<îuléo, les éléments de Tarpentage, et ils paraissent momcî avoir [ découvert, indépendamment des Grecs, bîs pri)priélés |. du triangle rectangle quand les cotés sont cintre eux dans un rapport simple comme 3, 4 ^'l 5. Pour cah-uler, [ ils représentaient les nombres au moyen de cailloux /

arrangés par séries, sorte d'abacjiie embryonnaire- '■'- " fut leur science pendant plus de deux mille

BoTEB. Eût. des Math.

r D£S KATaSMATlQUE

l'arrivée des Européens, et tmi-tout dcH astronomaÉil arabes de Mérageh (xiii" sièt'le), poui" que la iiiécaniqiiâ,j la nuvigalion, lit gnomon iq lie, iisKetit quelque progrès^ dans le GéleBle-Eiiipire.

Les Hindous seiiiblenl également, conuue noue lêj verrons plus loin, avoir usurpé lour réputation tl'in venteurs de nos chiffres. Quant aux monuments laisaéji par les Chaldéens, les Phéniciens et les Babylonienl^J ils sont assez rares, mais ils sufiiscut â prouvô; que le niveau mathématique dé ces peuples était pB|^ élevé.

Voici, d'après les orientalistes contemporains, nolalion de.s nombrew. en écriture eunéiliuiiie :

En outre, les deux principes de représentation dos nombres (additif et multiplicatif) apparaissent pour la première fois dans leur système. Les nombres plus petits que loo sont exprimes par les symboles d'addïtion. Ainsi ils écrivaient :

YY = «Y^

YYY =

Pour les centaines, ils indiquaient ]»ar uw <>oefliment plus petit, placé à gauche de loo, combien de fois ce dernier était multiplié.

aooo

D'autre pari, les Babyloniens ne savaient pas écrire des nombres supérieurs à i.ooo.ooo; du moins on n'en a pas encore rencontré dans les inscriptions

décliilTrées jusqu'ici. Les plus anciens documents ma-

AyriqviTÉ obiëxtali:

thématiques qui les conceriicnl, snul th-ii.r Uiùleltes trouvées récemment'.

L'une d'elles, datant d'une époque coin|)nsn entre 23oo et 1600 ans avant notre ère, contient une table des carrés des nombres cutiers jusqu'à 60'. Les nombres i, 4i 9i <^i ^^> ^^1 49 sont indiqués respectivement comme étant les carrée des sept premiers nombres. Il semble donc qu'ils connaissaient le système de numcrallon décimale . Mais les carrés suivants s'y lisent ainsi : 1.4 = 8-; 1.21 =9''; etc., ce qui reste ininlelUgible, àf moins qu'on ne suppose les cliill'res écrits dans la nota- I tion sexagésimale, où 1.4 ^ 60 + 4 ^ 8-; i.'.ii = 60 , -j- 21 ^^ g', etc. ■^

La seconde talilette se rapporte à l'Astronomie. Elle donne la grandeur de la portion illuminée du disque lunairepour chaque jour, de la nouvelle à la pleine lune, le disque entier étant supposé partagé en 240 divisions. Les parties éclairées pendant les cinq premiers jours y sont représentées par la progression géométrique '5, 10, 20, 40, 1-30 (80); puis les termes suivants d'une progression arithmétique : t. 20, i..36, i.5a, 2.8, 2.24. 2.40, 2.56,3.12, 3.28, 3.44i 4> l'ournissent les illuminations du cinquième au quinzième jour.

Ces découvertes archéologiques montrent que les Babyloniens possédaient certaines notions arithmétiques, en particulier le principe de position qui nous sert actupllenuMit, car mettre 1.4 pour 64 c'est supposer que I représente 60, l'unité de second ordre, en vertu de sa position par rapport à 4i — l'ait digne de remarque, cette règle ayant été seulement introduite dans l'arithmétique moderne vers le v" ou vi' siècle de notre ère. Maintenant, comment arrivèrent-ils à la conception du système sexagésimal ? Mystère. Si le ..choix de la base 10 s'explique parce qu'il correspond au nombre de doigts, celui du nombre 60 s'interprète

(1) V. CiJOl,!. A hûU.ry of matluwaiks. Xcw-ïork, .8iii

IIISTOIBF. DES .VArilÉMATlQUE

moins facilement. La question n'est pas résolne, même après les travaux des mientalistos allemands, que duus ne suivrons pas sur ce terrain où tant <!'liyp() thèses soni permises.

Quant aux connaissances géométriques des Babyloniens, elles se réduisaient à <|uelqufs <:onslaratinns expérimentales. Les triangles et les quadrilatères leur étaient familiers, mais ils en ignoraient probablement les propriétés. Ils savaient diviser la circonférence en différentes parties, au moyen de ses rayons. Comme les Hébreux, ils prenaient pour valeur de u le nombre S.

Leur Astronomie était plus savante, ainsi que deux calendriers déchiiïW'S il y a quelques années l'indiquent. Somme toute, en se plaçant à notre point de vue spécial, ces peuples possédaient un uiédiocre degré de culture, bien inférieur à l'eliii d es Égyptiens, desq uels^ datent véritablement l es ^lal hématiq ues .

Le papyrus de la collection Rhind, conservé Britisb Muséum de Londres, et publié par M. Eisenlobr', appuie cette thèse. Ce manuscrit, écrit i ooo ans environ avant Jésus-Christ, par un prêtre nommé Ahmes, serait la copie d'un original plus ancien remontant à 3 4oo ans avant notre ère. Il renferme une collection de problèmes arithmétiques et géométriques avec H réponses mais sans indication du procédé ayant permis

^h de les obtenir.' La première partie traite de la réduction

^H de certaines fractions à une somme d'autres fractions

^^k ayant pour numérateur l'unité. Uans la seconde, se

^^K trouvent quelques exemples de division et de soustrac-

^B tio.n. Puis viennent divers problèmes se ramenant à la

^H résolution d'une équation numérique. En voici

^H exemple, pour montrer leur genre. Trouver un nombre

^V tel que lui-même augmenté de son septième soit égal

^H à 19. La réponse donnée : 16 -f" v + t ^^t exacte

it.

A.VTTQirTÉ ORIENTALE 5

iifin plusieurs (|uestioiis d'Algèbre cloiiienlaire teriiiinnnt ro]msriile. Parmi celles-ci une oti deux -se rallaclient aux progressions arithmétiques, et elles semblent indiquer qu'ils savaient les sommer.

Un autre papyrus, découvert dans la nécropole

d'Ak/intim [ancienne PanopUs) et qui est aujourd'hui au

Musée de Gizeh, nous renseigne sur les artifices de cal-

I cul usités. C'est le plus ancien document, actuellement

u, sur l'enseignement prati(|uc de l'Arithmétique

I chez les Grecs. D'après M, Baiilet' il est antérieur à

t l'invasion arabe, et son auteur parait être un chrétien

I vivant prohablcnienl au viii° siècle ; mais on peut le con-

I sidérer comme représentant la science égyptienne à une

[ époque bien antérieure. U roule sur la numération frac-

I tionnelle. On y considère toujours les fractions comme

'des parties aliquotes de l'unité, et à part y aucune

y expression fractionnaire dont les numérateurs diffèrent

de l'unité n'y figure. Tout cela esl donc absoluMient

conforme à ce que nous savons des principes de la

I numération des Egyptiens par le papyrus d'Ahnies".

' D'autre part, la fraction est tigurce par le seul cliilfre

I que nous désignons aujourd'hui sous le nom de déno-

ïiinateur, et on la note par la siglc du nombre entier

I correspondant légèrement modifiée, par exempte au

moyen d'un double accent placé à droite. Les nombres

V ordinaux sont symbolisés par les mêmes caractères que

j les fractions, le nombre fractionnaire est caractérisé

k d'une manière analogue, en écrivant à la suite, sans

l'aucun signe, les quantités qui s'additionnent, et les

kopéralionsà effectuer sont indiquées par les mots con-

i écrits parfois en abrégé.

«HCB(>e,t. IX. J.Haii.1

bdiiclion). Paris. iSgi. H

Pwpmduii'c 1p fragment

(a) MontTz CASTOn,

[ Loipïig, i88u.

Les premières pages du papyrus d'Akhmim smil nrtiipées parlas tables de multipliciitioii des noiiiln-es entiers par des fractions, tiiLlcs deslint-es a l'jieiliterles ralnils. Mais la partie la plus întéressanle du inaniiserit rt-iiferme cinquante prolilèmes avec leur solution. Ils se rapportent tous aux fractions, et sont i-anj^és par ordre de diflieulté. Leur variété est assez f^rande. Tanlôl les données, tantôt les solutions changent, tantôt deux questions identiques sont résolues par des prof-édt'S diiférents. Cependant on ne se trouve pas en présence d'un ouvrage diilaclique composé par un professeur, certaines fautes semblent prouver (]ue c'est un exercice d'enseignement, quoique chose comme le cahier d'un bon élève. Nous reproduisons ci-contre un facsimilé d'une partie i\u manuscrit. Voici la traduction du premier problème indiqué dans cette page :

« Ex. i. — II y avait une citerne ronde : le périmètre supérieur était de 20 coudées, le périniètit; inférieur de

13 coudées, la profondeur de 6 i/a coudées.

« Sol. — De même ao et 12 font ?>-i ; la i/u de 32 fait 16. Denu^me 16 [multiplié] par 16 font u5ti. De même 256 par 6 1/2 font 1664. De même divisez 1664 en 36, en sorte que [le résultatiest 4'i-j- ^^' "

D'après ce texte i-t la ligure qui riiccoiiqiagne, il s'agit évidenimenl de chercher la contenance de la citerne. En eifet, l'auteur fait la somme des deux périmètres, en prend la moitié et l'élève au carré, puis multiplie le résultat par la profondeur. II assimile donc le volume dii tronc de cône à celui d'un cylindre de même hauteur ayant pour base le cercle de rayon moyen, approximation peraiise. Mais le carré du périmètre d'une circonférence 4 1^ ' R ' n'est pas la surface de celte figure k R', base du cylindre. Il fallait divistfp le résultat obtenu par 4 ~- ou par i'2, si l'on s'en lient à la valeur approchée - = 3. .\u lieu d'une division par

.lyTiQiirÉ oniicyTALE 7

i noua sommes en présence d'une division pap 36, aoit n nombre Irois fois ti-np lopt. L^mtpur a <;oiiimi3 là

■une erreur flagrante, ou encore il y a un .hctUH^fnieiU

Id'unité non annoncé.

«■■(%hl.1-—»-i-""'"'*1n'-'r

|%(N^Ia-'.^«',u|

^■à"T"i"'"-''ii~!<>'')i,-v'~'~ft'"''i?'"'"'"-"J'-

Il, duiu'èa

1.03 Égyptiens fuient ilone Ijien les initiateurs des Graca en Arithni6lii|ne. Ces derniers, tout en inventant une numération écrite plus perfeclionnée, en simplifiant les procédé-s de luultipliealion et de division, conservèrent les méthodes ijui avaient d'al.ord Henri sur les

8 HISTOIRE DES MATIIÉMATIQLES

rives du Nil. Elles survécurent durant de longs siè(*I(»s, elles furent môme enseignées exclusivement dans les écoles élémentaires jusqu'aux derniers jours de rempire byzantin.