CHAPITRE II

Les Ecoles Ionienne et Pythagoricienne

La science hellène est facile à suivre dans son évo- J hition. Elle prit naissance siirla terre des Pharaons d'où r les philosophes, qui allèrent s'instruire auprès des I prêtres é^ypliens, en rapportèrent h!S principes élénieni taires. Lu courant se propagea ensuite en Sicile et dans I le sud de l'Italie, repassa à nouveau la mer Egée pour [ s'arrêter enfin à Alexandrie qui fut pendant longtemps (la lumière du Monde

Le premier qui introduisit la Géométrio en Grèce fut l TiiALKs, de Milet. Il vivait an vii° siècle avant Jésuis- P Christ. Parcourant l'Egypte, en négociant sâgace, il sut ly glaner les connaissances scientifiques alors conservées

■ si jalousement dansles temples. Puis, une fois de retour

■ dans sa patrie, après avoir abandonné affaires et charges I publiques pour se livrer entièrement aux spéculations Fphilosophiques, aux oliservations astronomiques et aux

Mathématiques, il fonda la célèbre école Ionienne. On luiattribiEe la découverte de plusieurs théorèmes relatifs aux triangles, et de certaines propriétés du cercle. Mais 1 est difficile de se prononcer avec certitude, à cause . opinions contradictoires des auteurs anciens. En particulier, la proposition suivante : l'angle inscrit dans un demi-cercle est droit, serait de lui. Il aurait même, au dire de Diogène de Laerte, été si content de l'avoir ■ouvée, qu'il aurait, sur-le-champ, sacrifié un bœul'aux ' dieux immortels, U'aulre part, Philarque nous aiqirend

lIIsrotBi; DES MAmKMATiqVES

que Thaïes étonna le roi Amasis en raUniIaiil la liaiilenr | des Pyramides par la dimension de leur ombre.

A sa mort, le |iiuR savant de ses disciplcH, A>-axim\>pre ' lui suco(!'da à la tiMc de l'Ecole. Ce l'ut le premier qiiï rédigea un Trailé de. Mathématiques. Selon les maigres renseignements qu'on possède sur cet ouvrage, connu simplement par une mention de Suidas, il est à croire qu'il comprenait un cours d'astronomie app!i([uée et de philosophie. En outre on y trouvait, parail-il, plusieurs propriétés de la sphère ignorées avant lui.

Ses continuateurs lurent A>-xximè>e cl son élô' AsAXAGOH.vs qui occupa les loisirs de sa captivité ' < cherchant la quadrature du cercle.

Ce fameux problême, basé sur la détermination de la J valeur exacte de tî, le rapport de la circoniereni'e au dia- 1 mètre, occupa bien des cerveaux. Les Chinois, les Égyp-f tiens et les Babyloniens connaissaient déji» une valcuEf approchée de cette quantité, dès le vt" siècle au nioinsl avant notre ère, mais la méthode |)i>ur arriver â déraon-^ trer son inconimeusiirabililé, et par conséquent l'impossibilité de trouver un carré équivalent à un cercle donné, devait être seulement une conquête toute modem

Son élève, Démochite d'Abdcra, écrivit des traité Sur le contact du cercle et de la sphère, sur les ligne] incommensurables et sur la perspective. Mais aucuf ouvrage du disciple d'Anaxagoras n'est parvenu ju* qu'à nous. Esprit encyclopédique, internationaliste atid idées les plus larges, il combattait déjà le jingoïsmw <{uand il reprochait aux Grecs leur préjugé uationali qui les empêchait de considérer « le jnonde entio]^ comme leur patrie ».

Vers la même époque llorissait un indépendant, ŒxQ-.'i pinEs, de Chios, mort vers 43o avant Jésus-(^hrisl. Selon J

■ TBALÈ3 ET f-YTHAGORE it I Pi'fidiis, il aurait résolu 1rs qncsliorift siiîvanU's : <riiii I point pris sur une droite mener une perpendieulairo à I «ne ligne (lonnt^e et construire une dmtte qui iasse E. avec une autre ligne un angle égal à un angle donné. I Les aslronomt's Xénophane et Phérécydes ne aiérilent % pas de nous retRnii'. D'ailleurs, les matliématit'iens I ionieni^, pendant cent ans et plus, n'ont pas eontribué I il augnionl(>r beaucoup le bagage intellectuel fjue leur I avaient légué les Egyptiens. On a voulu voir dons m leurs travaux laeonséquencu d'un enseignement rafiou- I nel, le produit d'une « Ecole ». C'est nn mot bien ■'ronllant, pour une si petite chose ! Conservons le terme

■ puLsque l'usage la consacré, mais apprécions-le il sa I juste valeur. Dans l'antiquité coiiiuie de nos jours, bon

■ nombre d'établissements olHcitils étaient loulcn surface, ft Les progrés réalisés par Pytuagore et ses succes-

■ Bcurs immédiats furent plus importants. La vie de I ce philosophe, né à Sauios vers SGg avant Jésus-Christ, P n'est qu'un tissu d« légendes. On n'est guère mieux r, renseigné sur l'élendue de ses connaissances nuitlw- |.,matîques. Il aurait iiiit ses premières études sons

■ Phérécydes à Lesbos, et sous Anaximandre à Milet, VpuTS il voyagea en Egypte où il passa de longues W années à Tlièbes et à ilemphis s'initiant aux secrets des Iprétres. 11 séjourna ensuite en Asie Mineure, revint B^datis sa ville natale où il donna sans grand succès de» KlËçons el émigra vers âag afin de s'établir en Sicile. • Après avoir abordé a Syl)aris et professé quelque

■ temps à Tarente, il fonda enfin à Crotone, dans la mailisoa de Milon, l'école qui devait immortaliser son nom. Rjii* il entliousiasnia, toujours au dire de la tradition, non B seulement ses contemporains, mais il sut gagner le cœur Rd'une de ses auditrices la jolie Théano, la fille de son B^te. Malgré la disproportion d'âge elle l'épousa.

■ Plutôt philosophe, i'ythagore ne mérite pas moins B de figurer ici, car sa doctrine reposait sur les B mathéinaliques. Ses disciples, selon leurs aptitudes et

lo ]jiit qiiils se proposaient, étaient parlagijs en doux groupes. Les auditeurs on Pylliaguristes u'approfondissaiont pas les doctrines du ^[altre. L'enseignement qu'ils recevaient se bornait â la musique — la " médecine de l'âme n comme l'appelait le professeur de Samos, — et à des notions sommaires de calcul. Les seconde, dits n mathématiciens » ou Pythngoricns, étaient dans le secret des Dieux. Leurs cours duraient trois ans. C'était une sorte de noviciat ayant beaucoup d'analogie avec celui des prêtres égyptiens. Ils recevaient les conseils de ' Pylhagore lui-même, et sous sa direction observaient et cherchaient. Ils ne devaient pas révéler l'enseignement qu'on leur confiait. Une fois leurs études terminées, ils avaient encore un signe de ralliement : le pentagone étoile, dont les angles étaient désignés par les lettres du mol CiyUii (la diphtongue v. étant remplacée par un H) qui currespond au tenue français : c Salut ».

Vu le mutisme volontaire de ses disciples, il est diflicile de distinguer, à la lueur des trop rares fragments qi)i nous sont parvenus, ce qui revient en propre à Pytiiagore. Au milieu de ces maigres renseignements il jiarait hors de doute qu'il a le premier essayé d'associer la géométrie et l'arithmétique. Quant au théorème qu'on lui attribue : dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carres des deux autres côtés, il seud)Ie que les Égyptiens le connaissaient avant lui. La démonstration qu'on en donne aujourd'hui est due en tout cas à Euclide. Eiilin la lab/e de mulliplicalion, ne lui appartient pas davanlaû-e.

TIIALKS ET PÏTilAGORE 4 |3

Ses élèves perpétuèrent oralement sa doctrine, celui-ci n'ayant laissé aucun écrit. 11 avait seiileinent confié ses commentaires à une de ses filles, Danio, avec délense formelle de les communiquer aux proianes : (|iioique femme et pauvre elle tint, dit-on, sa promesse. Mais Philolaus n'agit pas de même. Dans son Système de la nature, il divulgua le premier les grandes lîffnes de l'enseignement pythagoricien. Le secret toutefois avait duré plus d'un siècle. Ce savant émettait dans son ouvrage bon nombre d'idées plus ou moins fantaisistes sur le pouvoir des nombres. Toutefois sa cosmogonie, bien qu'elle ait essuyé les critiques d'Arîstote, était plus exacte que ses théories arithmétiques et il connaissait l'existence des cinq polyèdres l'égulicra sur lesquels sa philosophie reposait en partie.

Son disciple Archytas, de Tarente, qui naquit vers 4a8 avant Jésus-Christ, se livra aux recherches scientifiques au milieu des préoccupations des fonctions Îtubliques. 11 passe pour avoir appliipiéà la Mécanique es connaissances géométriques qu'on possédait alors, *t il découvrit une ingénieuse solution de la duplica- ■tion d'un cube'. La méthode qu'il emploie indique qu'il içvnit des vues exactes sur la génération des cônes et des cylindres. II ramène le problème à celui de deux moyennes proportionnelles, au moyen d'iuie courbe à "double courbure, qu'il construit ainsi. Sur le dia- Ltnètre de base du cylindre droit circulaire il mène un ■demi-cercle dont le plan est perpendiculaire à celui de la base du cylindre donné. Puis il l'ail tourner le diamètre ^utour d'une de ses extrémités. Dans ce mouvement ce pdemi-cercle rencontre dans chacune de ses positions ■successives la surface du cylindre en un point. L'en- Bsemble de ces points forme la ligne cherchée. Le vsavant grec coupait alors cette courbe par un cône de

■IIISTUIKE 1IE.\ MATHÉMATiQt ES

rùvolutioii jiiiloiir de l'iii-èle cylindriquii menée par rextréiiiiti' li\p du diaint'rlro du denii-ccrclc mobile. | Le point d'iiitei'seflion répondait à la qiiestioo posée. Au sujet de V infini, il le considère cojunie les luitlhé-

fonl, choi

matieieiis le pour Jiii um gnable.

Pendant lonjrtemps des Bâtions civilisées,

somme, aujourd'hui uanl aucune iri-aiideu

I' esti

, Jlilet et Tarente Jurt-nl à la tùtal il un point de vue géQérall au moins en ce qui concerne la philosophie elles mathé-l miitic|UGS. Néanmoins, il sérail inexact de se figurer que f c'étaient là les seules villes du monde hellénique où 1 existaient des institutions florissantes. Peu de colonies ( importantes en manquaient.

Cnide s'honorait d'avoir donné le jour à Eudoxe, vers l'an 4o8 avant notre ère. Plus jeune que Platon d'une i vingtaine d'années ', il se rendit à Athènes, vers 386, J pour suivre les leçons du i'ontlaleur de l'AcadéiaLeTi voyagea ensuite en Sicile et en Egypte, s'établit à] Cvziquc puis à Athènes afin de s'y poser en rival don Platon, mais l'hostilité de ce dernier le l'orça à e retourner quelque tenip.s avant sa mort, survenue en 355, au cours d'un voyage sur les bords du .Nil.

Si sa carrière fut agitée, elle eut la plus heureuse inlluence sur le progrès scientifique. II découvrit la plus grande partie du 1" livre des ElémeiUs dEuelide% consacré à la théorie de la proportionnalité. Ses Iravaux sur les incommensurables sont des plus importants, et il démontra plusieurs théorèmes sur la mesure 1 des solides, tels les suivants : la pyramide est le tiers i du prisme de même base et de même hauteur ; le cône J est le tiers du cylindre de même base et de même hait* 4 teur.

A Chios, on célébrait le mérite dllii'i'OCiiATES, qu'oui

entlfi^.i.

rdoil se garder de premln" pour son illitslce lioiiioiiymt; \ le médecin de Cos.

iS'é vers 470 avanl Jésus-Christ, il établit pour ainsi I <iîre la transition entre les Pythagoriciens et Platon. Il 1 commença par exercer la profession d'armateur; niai» kun de ses navires ayant été pris par des pirates il I se rendit à Athènes pour recouvrer .son bien et denianbder justice : aussi eut-il de nombreux loisirs pour I suivre les cours des philosophes. A son tour ii ouvrit Eune école dont les revenus, en le faisant vivre, le ■ dédommagèrent de la capture de son vaisseau. Peu à peu il devint une autoritii en mathématique, et écrivit î premier traité d'oii sont sortis \en » Eléments » d'Eu- ^flide. Oh lui attribue en outre linlroductioii des lettres faux points priiicipaiu: des figures, pour faciliter les 1. démonstrations ; toutefois ce n'est pas l'avis de M. Can- [ tor, qui fait honneur de cette invention aux Pythagori- [iciens'. Ainsi que nous l'avon.-^ vu plus haut, ceux-ci l représentaient par chacune des lettres j, y, -,, 0, a. les [ souimets du pentagone étoile . Mais cet exemple isolé, I dit avec juste raison M. Rouse Bail, ne prouve pas I runiversalité de la méthode*.

Hippocrates s'occupa également des figures sem- I blables, et découvrit plusieurs propriétés relatives (■aux cercles. Parmi celles-ci signalons les suivantes :

Tous les angles inscrits dans un même segment de I cercle sont égaux ;

Un angle inscrit dans un segment est aigu, droit ou 1 obtus, suivant que ce segment est supérieur, égal ou ^ inférieur à un demi-cercle ;

Deux cercles sont entre eux comme les carrés de fleurs diamètres.

C'est aussi à ce savant qu'on doit le mode de l démonstration dit : .< de réduction », par lequel on

(i) Mokit:

ttorini </rte hUiaii, .'[ n

i6 HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

ramène la connaissance d'une question à celle d'autres choses dont elle est la conséquence nécessaire. Peutêtre avant lui avait-on employé ce procédé dans quelques cas particuliers, mais il eut le mérite d'en signaler l'importance, et d'en généraliser l'application. Ses autres travaux se rattachent à la quadrature du

Fig. 3. — Lunules d'Hippocrutes.

cercle, ce problème qui tint une si grande place dans les préoccupations des mathématiciens grecs. Pour tourner la difficulté, Hippocrates essaya d'abord de carrer la lunule ou aire comprise entre deux arcs de cercles inégaux. 11 n'atteignit nécessairement pas le but qu'il poursuivait, mais il arriva à ce théorème important : Si sur les trois côtés d'un triangle rectangle ABC pris comme diamètre on décrit des demi-circonférences, la somme des surfaces des deux (U'oissants M et N (lunules), égale l'aire du triangle T. C'était le premier exemple d'un espace rectiligne démontré ^ à celui d'une figure curviligne.