CHAPITRE V

Les travaux d'Apollonius et le développement des Mathématiques appliquées.

L'âge d*or de la science grecque se continue avec Apollonius, le troisième grand mathématicien de la première Ecole d'Alexandrie. Plus jeune de beaucoup que son illustre prédécesseur, il était né à Perga, aujourd'hui Kara-Hissar, vers So avant Jésus-Christ, mais il passa la plus grande partie de sa vie en Egypte. Pappus nous le dépeint comme un homme vain, jaloux de la réputation des autres, et plus prompt à les dénigrer qu'à les applaudir. Nous n'en savons guère davantage sur sa biographie. Quant à Tépoque de sa mort, on peut la fixer approximativement à 210, tablant sur ce fait avéré qu'il était contemporain de Ptolémée Philopator. Heureusement ses ouvrages nous ont été mieux conservés que le souvenir des particularités de son existence.

Son grand traité des Sections coniques est le summum de la Géométrie antique, le fronton de l'édifice dont Euclide avait solidement posé les bases. Dans Archimède on admirait surtout l'ingéniosité des démonstrations, les merveilleuses ressources d'un esprit toujours prêt à surmonter les difficultés imprévues (ju'il rencontrait dans l'enfantement de son œuvre. Dans Apollonius il faudra principalement louer l'unité de vues, l'habileté avec laquelle il fera un tout homogène de théorèmes épars avant lui, car l'idée fondamentale qui perce dans

4o HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

le cours de cet écrit, est de relier entre elles les sections diverses du cône qu'antérieurement, on avait considérées séparément et indépendamment Tune de l'autre. L'un s'occupe presque exclusivement de la Géométrie de la mesure, l'autre s'inquiète de celle de forme et de position.

Apollonius considéra le premier les sections faites dans un cône oblique, et fit rouler tout son ouvrage sur une propriété de ces courbes tenant à la nature même du solide qui les a engendrées et qu'on peut résumer comme il suit.

Soit un cône oblique à base circulaire, le plan mené par son axe normalement au plan de la base coupe le cône suivant deux arêtes, et détermine dans le cercle un diamètre. 11 nomme « triangle par l'axe », celui qui a pour base ce diamètre et pour côtés les deux arêtes. Le géomètre alexandrin forme alors ses sections coniques en menant un plan perpendiculaire à celui du « triangle par l'axe ». Les points oîi ce plan rencontre les deux côtés de ce triangle sont les « sommets » de la <!ourbe. Le diamètre qui joint ces deux points est le « latus transversuni ». Concevons maintenant que par un de ces sommets ou mène une perpendiculaire au plan du triangle précédent, ce sera le « latus rectum » ou paramètre, dont la longueur est déterminée par certaines expressions géométri(|ues *. Si par l'extrémité de cette ligne on trace une droite à l'autre sommet de la section conique, et que par un point choisi arl)itrairement sur la courbe on élève une « ordonnée », le carré de celte dernière comprise entre la courbe et le diamètre égalera le rectangle construit sur la portion de l'ordonnée s'étendant entre le diamètre et la droite.

(l) Telle est la suivante due à Jacc^L'Ks Hi:knoiii.m : Mener un plan parallèle ù la hase du cùne, et à la niùnie distance de son soniutet que le plan de lu section <-onique donnée, ce j)lan sectionnera le oùne suivant un een-ledont le diamètre s«M-a précisément le « latus rectum » de la conique considérée. Il sera facile, d'après cette considération, de placer, dans certains cas. une conique proposée sur un cône choisi. Acta Enulitorum. Leipzig, An. 1C89.

D'APOLLOMVS A UIPP ARQUE 4i

Au début de son traitr, Apollonius commcnco par définir le cône à' base circulaire, et indique la façon dont sa surface est engendrée; puis il poursuit, dans le reste du prenuer livre, la génération des trois genres de sections coniques, et étudie les principales propriétés de chacune d'elles, entre autres celle qui lui servira de point de départ. On peut la traduire ainsi en langage moderne : Dans la parabole^ le carré de l'ordonnée égale le rectangle ayant pour cotés l'abscisse et le paramètre. Dans Vellipse^ ce carré est plus petit, et dans Vhyperbole il est plus grand.

Les trois livres suivants sont consacrés aux dia- I mètres, aux axes, aux asymptotes ; et quelques-uns des théorèmes énoncés ont servi de bases à d'intéressantes recherches effectuées au cours do notre siècle ; l'un d'eux a été l'origine de très intéressants travaux sur les points harmoniques.

Ce sont là les seuls fragments des Sections coniques qui soient parvenus jusqu'à nous dans leur langue originale. Les livres V à VIII ne nous ont été conservés que par une traduction arabe. Apollonius s'occupe dans le premier de ceux-ci de sujets importants. Les problèmes de maxima et de minima s'y trouvent envisagés. Il détermine, en elfet, « les plus grandes et les I moindres ^) lignes joignant le périmètre d'une section conique à un point donné, dans les divers cas qui peuvent se présenter suivant la position de ce dernier. A ce propos, il donne des solutions aussi aisées qu'élégantes. Si nos méthodes analytiques actuelles nous ont fait découvrir bien d'autres propriétés de ces courbes, on ne saurait oublier que, sans leur secours, ce sagace géomètre est allé fort loin. Ainsi, pour ne prendre qu'un exemple, la détermination des déve- f loppées s'y rencontre déjà. •

L'étude de la similitude des sections coniques est faite dans le sixième livre, et diverses autres questions dans le genre de la suivante : Couper un cône de façon

42 IIISTOIHE DES MATHEMATIQUES

que la section ait des dimensions données, y sont également traitées. Le livre VII renferme des théorèmes roulant sur les propriétés des axes et des diamètres conjugués; en particulier, cette proposition l'ondamentale : I dans rellij)se ou Thyperbole, la somme ou la diflerence des carrés des axes égale la somme ou la dilï'érence des carrés de deux diamètres conjugués, llalley, astronome anglais, s'est inspiré de ces passages pour restituer le huitième et dernier livre cjui, dans sa pensée, continue directement le précédent el(|u'on ne possédait que tronqué. Aussi sa belle édition d'Apollonius publiée àOxibrd en 171 G est-elle très recherchée. Un érudit allemand, Heiberg, en a édité une nouvelle récension qui a paru à Leipzig, en 189 1-93, accompagnée d'une traduction latine. Elle comprend les quatres premiers livres, les fragments et les commentaires de Pappus et d'Eutocius.

On attribue au savant géomètre alexandrin un De sectioue ralionis et un De tactiouibiis que Viète au xvi*^^ siècle a essayé de restaurer d'après quelques passages isolés. 11 contenait le célèbre problème : Trois cercles étant donnés, trouver un quatrième qui les touche tous les trois. 11 avait été proposé par le génial algébriste au Hollandais Adrianus Romanus. l^ar Tinterseclion de deux hyperboles, celui-ci détermina le centre cheiché, mais N'iète répondit simplement en s'adressant à la (jéométrie ordinaire.

Robert Simson a tenté de reconstituer d'après certaines données un autre ouvrage perdu : le De sectione dcleriniiuila^ et Fermât le De loris pla/iis dont on ne connaissait guère que le titre. Mais laissons là cette gymnasti(jue intellectuelle. Apollonius a composé son admirable livre des Sections coniques sur lequel tant de ses successeurs ont vécu : cela sullit à sa «rloire.

Après lui, Tl^cole d'Alexandrie s'oriente vers un but I moins sj)éculalif, en cherchant à applicjuer les découj vertes mathématicpies aux progrès de» la Mécanique et f de l'Astronomiiî. Dans la période (pie nous allons par-

D'APOLLUMLS A tiiPl'AiH^L K 43

courir, la Science ya revêtir un caractv're tl(^ plus en plus utilitaire.'

Archimède avait dt\jà inauguré ce genre de recherches. Son successeur immédiat Ehatosthknk , né en ayj avant Jésus-Christ, le continua. Originaire de Cyrène, celui-ci fit son éducation à Alexandrie et à Athènes, pois revint dans la ville des Ptolémée, où il fut élevé très jeune au poste de (Conservateur de la célèbre Bibliothèque. Génie encyclopétlique, à la lois orateur et mathématicien, géographe et archéologue, philosophe et poète, il ne dédaigna même pas les sports, puisqu'on lui décerna le titre de : « Pentathlos », nom donné à Fathlète vainqueur dans les cinq luttes des Jeux Olympiques.

Nous laisserons de coté, dans son œuvre, la partie astronomique, de beaucoup cependant la plus importante puisqu'il parvint à déterminer avec une a|)proximation sullisante la longueur du méridien terrestre, et qu'il dota l'observatoire du Musée d'instruments assez parfaits pour servir, durant plusieurs siècles, aux savants d'Alexandrie.

D'abord nous mentionnerons ses travaux relatifs aux nombres premiers, sur lesquels Euclide avait déjà fait quelques remarques. L'élimination des nombres pairs, tous aisément reconnaissables, est aisée mais avec les nombres impairs les diîïicultés commencent. Aussi, pour ellectuer le triage dans la série naturelle des nombres, Ératosthène eut l'idée de son crible. Il écrivit tous les nombres impairs à partir de 3, puis observant que de 3 en 3, de 5 en 5, de 7 On 7 etc., les nombres rencontrés sont multiples de 3, 5, 7, ou, d'une façon générale, si on désigne par 2 p -\- i la série des nombres impairs tous ceux qui dans cette liste se trouvent au premier rang doivent être barrés. Ils ont, en elfel, d'autres diviseurs qu'eux-mêmes et l'unité : ils ne sont donc pas premiers. Mais une fois cetUi séparation effectuée, les nombres restants le sont.

Cette méthode indirecte est facile pour les nombres

usuels, mais elle se complique lorsqu'on parvient aux chiffres élevés. Ainsi on a calculé qu'il faudrait dix à douze jours de travail* pour composer la table des nombres premiers de i à loooooo. Malgré les tentatives faites jusqu'ici on n'a pas encore su découvrir un procédé direct plus expéditif. Notons cependant que la règle suivante permet d'abréger la formation du crible d'Eratosthène. Il suffit de s'arrêter loi'squ'on est conduit à effacer les multiples d'un nombre premier dont le carré est supérieur à la limite proposée. Si par exemple on désire simplement avoir la série des nombres premiers inférieurs à loo comme 7" = 49 et ii^ = 121, l'opération sera terminée lorsqu'on aura supprimé les multiples de 7. Cette remarque, datant seulement du xv!*" siècle, est basée sur le théorème : un nombre est premier quand il n'est divisible par aucun des nombres premiers dont les carrés sont moindres que ce nombre.

Eratosthène aurait encore composé, d'après Pappus, un traité de la duplication du cube dont il ne nous reste rien. Enfin, devenu aveugle à la suite d'une ophtalmie, ce savant se laissa mourir de faim peu de temps après.

Avec lui se termine la belle période de la Science hellène ouverte par Euclide, continuée par Archimède et Apollonius. Nous n'aurons plus que quelques noms véritablement remarquables à opposer à ces génies immortels. Un géomètre, Pappus, les astronomes Hip[)arque et Plolémée qui jetteront les bases de la Trigonométrie; enfin Diophante qu'on a l'habitude de considérer comme inventeur de l'algèbre. Confinés par la tradition dans .les méthodes particulières, les (irecs, comme leurs ' successeurs {\v\ moyen Age, maiK|iièrent de fesprit de généralisation. Il nous faudra attendre la venue des Viète, des Fermât et des Descartes, pour voir une nouvelle ère de prospérité se lever sur les Mathématiques.

(1) BossUT. Uialoire gvnvralc (It's mathématiques, l. I. Paris, 1810.

D'APOLLOMi'S A HIPPARQUE 45

Passons en revue maintenant les savants qui eurent une certaine^ célébrité parmi leurs contemporains.

IIypsiclks ajouta aux ElémcMils d'Eucliile un quatorzième livre, se rapportant aux solides réguliers. Nico- MÈDE, qui, si Ton en croit Eutocius et Proclus, florissait à l'époque d'Eratosthèno, découvrit la conchoïde^ dont voici la définition. Si d'un point ^ïxg P on trace une ligne coupant une droite donnée iixe en Q, et si S est pris sur PQ de façon que la longueur QS soit constante, le lieu du point P est la conchoïde. Ce mathématicien s'en servait pour résoudre par un procédé mécanique le problème des deux moyennes proportionnelles et celui ' do la duplication du cube. A la fin du xvii'' siècle et dans la première moitié du xviii*' cette courbe redevint à la mode. De La Hire et de Mairan en France s'en occupèrent d'une manière particulière, et en Angleterre Newton l'appliqua à la recherche des propriétés des courbes du troisième et du quatrième degré.

La clssoïde fut trouvée à peu près vers la même \ époque par Dioclès *. D'après Eutocius, ce dernier la définissait ainsi : AOA', BOB' sont deux diamètres fixes d'un cercle se coupant à angle droit. On mène deux cordes CC, DD' parallèles à BOB' et à égales distances de cette droite. Le lieu des intersections de AG et 1)D' sera la courbe en question qu'il employait pour résoudre le problème des deux moyennes proportionnelles entre deux longueurs données. A l'aide des sections coniques, Dioclès trouva également la solution de la question sui- > vante. Tracer un plan qui partage la sphère en deux ; parties dont les volumes soient entre eux dans un rapport donné.

Vers ce temps, vivait probablement Perseus de Gittium. Selon Geminus il aurait inventé les splriqueSy

(i) Voir uu sujet de ectlc courbe cl des suivantes, les excellentes SoUa de bibliographie des courbes {féumt'tri<jues \n\r H. Brocard. Bur-le-Duc, i897-<^.

(a) SuTER. Geschichte der mathematischen Wissenachaffea, a» édit. Zurich, iS-i.

courbes engendrées par les sections d'un solide formé par la révolution d'un cercle tournant autour d'une de ses cordes comme axe.

Un peu après nous trouvons Zénodore qui s'occupa d'un sujet neuf, les figures isopérimélriques. Deux mathématiciens grecs, Paj)pus et Théon, nous ont conservé (juel(jues-uns des théorèmes (ju'il découvrit. Parmi ceux-ci (dtons les suivants, élémentaires aujourd'hui :

Le cercle a une plus grande surface qu'un polygone régulier quelconque d'un égal périmètre.

De tous les polygones isopérimétriques d'un nombre n décotes, le polygone régulier est le plus grand.

Des segments de cerc^le ayant des arcs égaux, le demicercle est le plus grand.

De tous les solides ayant des surfaces égales, la sphère est celle qui a le plus grand volume.

Mais si le commencement du ii** siècle fut, sonuue toute, assez pauvre au point de vue scientifique, l'astronome IIiPPARQUE va lui redonner quelcjue lustre à son déclin. Ses observations ne sont pas de notre ressort. Examinons toutefois ceux de ses travaux qui onl exigé l'emploi de nouvelles méthodes mathématiques.

Né à Nicée, en Bilhynie, il vécut plusieurs années à Alexandrie, mais il passa à Rhodes la plus grande partie de son existence que Delambre *, par une sagace interprétation d'un passage de son livre, a fixée au u** siècle.

Prescjue tous les ouvrages du savant nicéen sont aujourd'hui perdus ; aussi nous en sommes réduits pour l'exposé de ses découvertes à ce (|ue Ptolémée,

(i) Dki.amhkk. Histoire <lc iastronumic ancifnnc, t. I. Paris. 1817. Kn oflVt. Ilipparqun dit en un endroit de son livre. <|ue la longitude dune étoile (t, ilii Chien) avait «jo° au moment où il la détermina. Admettons l'exactitude <le ce chiflVe — et on peut le faire quand il s'ag-it d'un observateur aussi consciencieux— comme en 1730 la munie coordonnée était de i i(>"4'io"' et comme le premier point d'Aries recule de ~)o" ,'i par un, il est aisé de fixer à lao ans avanlJésus-t^hrist, lépo<|ueoii la détermination a été efl'ec tuée. KousE Ball. A nliort Hccount of tlic History of Mathematics. Londres, 1888.

D APOLLONIUS A UIPPAIiQUE 47

Théon d'Alexandrie et Pline le naturaliste nous a|)|)ren-

nent. Son ^ontL (Commenta ire d'Aratns nous est seul

parvenu, mais il est peu important puisqu'il s'y borne à

retiifier les erreurs de ce poème astronomicpie.

Parmi ses découvertes rappelons-en quelques-unes.

Il détermina la durée des révolutions de la Lune, calcula

l'excentricité de son orbite, Tinclinaison de celle-ci sur

l'écliptique, et remarqua les mouvements inverses des

lignes des apsides et des nœuds de notre satellite. Il

fixa éffalement Texcentricilé de l'orbite solaire à —

mais surtout il découvrit la précession des équinoxes.

Enfin, sans insister sur ses hypothèses pour expliquer le mouvement lunaire et sur la série de ses observations planétaires, disons que Ptolémée n'eut guère qu'à perfectionner et à étendre les méthodes indiquées par Hipparque pour composer son immortel Almageste. Du reste la ^ïécanique céleste progressa peu de cette époque jusqu'à Copernic.

Pour obtenir dans ses observations une si merveilleuse précision et en tirer de si justes déductions, Hipparque avait eu besoin de connaître et de démontrer les principales formules de Trigonométrie rectiligne et sphérique. C'était sans doute l'objet des 12 livres de sa Table des cordes. ^ïalheureusement nous ne pouvons que faire des conjectures sur ce point.

Une autre branche des Mathématiques appliquées, la Géodésie, prit naissance vers cette époque. Nous possédons, en effet, six à sept recueils de questions métriques sous le nom de Hérox d'Alexandrie, mais leur rédaction appartient certainement à des époques différentes '. Le fond tout au plus serait le bien de ce géomètre, et nous serions en présence de textes rajeunis au fur et à mesure des besoins. On lui attribue également un livre Sur la Dioptre^ dont l'authenticité paraît mieux établie. Il y décrit un appareil destiné à mesurer les

(i) Paul Ta.nnery. La Géométrie grecque. Pari», 1887,

angles, puis il termine par une table des poids et mesures.

Entre autres particularités dignes de remarque, on rencontre dans cet ouvrage la plus ancienne démonstration de la formule qui donne Taire d'un triangle en l'onction de ses cotés.

Héron avait aussi composé un traité sur les Pneumatiques et les Automates. Ce dernier est fort intéressant,, car on y rencontre des objets d'amusement, de véritables jouets scientifiques dans le genre de ceux qui devaient vingt siècles plus tard immortaliser Vaucanson. On y voit même une description d'une machine à vapeur rudimen taire qui probablement resta simplement à Tétat de modèle ; en tous cas elle ne semble pas avoir servi dans la pratique après la mort de son inventeur.

Un autre savant, Dionysidore dirigea aussi ses recherches vers un but utilitaire. Né à Emèse, en Syrie d'après Strabon, et à Mélos suivant Pline, il s'acquit auprès de SCS concitoyens une grande réputation en Géométrie. Son nom est resté attaché à une des meilleures déterminations anciennes du rayon terrestre qu'il estimait à 42.000 stades, soit une longueur trop courte de 800 kilomètres environ. On lui doit encore une solution du problème d'Archimède, consistant à diviser un hémisphère, [)ar un plan parallèle à sa l)ase, en deux parties dont les volumes soient entre eux dans un rapport donné.

Les Mathématiques pures n'étaient d'ailleurs pas complètement dédaignées dans le siècle qui précéda l'ère chrétienne. Quelques savants, en dehors de l'École d'Alexandrie, s'y adonnèrent. Citons les plus marquants.

TuKonosK, de Tripoli, nous a laissé trois livres sur Les sp/tériques^ dans lesquels se trouvent plusieurs théorèmes continuellement usités aujourd'hui. Peutêtre étaient-ils connus avant lui ? Se trouvc-t-on en présence d'une compilation ? Question délicate à trancher.

D'APOLLONIUS A IIIPPARQUE 49

Voici toujours quelques-unes des propositions qu ils re n fe rnient^^ ^-^^

Tout cercle dont le plan passe par \v centre de la sphère est un grand cercle. Une ligne droite tracée à\\ centre de la sphère nornialenient au plan d'un petit cercle, passe par le centre de ce dernier et par son p(Me. Tout grand cercle qui en coupe un autre orthogonalenient passe par ses pôles, et réciproquement.

Quant à Geminus, astronome et mathématicien, il semble même avoir une certaine valeur pour Tépoque. On ignore l'endroit où il vécut, mais on doit iixer la composition de son Inlroduclion aux pJiénoniènes aux environs de notre ère. C'est un traité de Cosmoirraphie : il ne doit donc pas nous retenir. Dans un autre travail, il a le premier étudié le classement philosophique des Mathématiques, et bien que cet ouvrage ne nous ait pas été conservé, nous possédons, grâce à Proclus, assez de renseignements pour suivre la fdiation de ses idées.

Geminus considère d'une part la science qui s'occupe seulement « des choses intelligibles », et d'autre part celle qui conc^erne « les choses sensibles ». La première est constituée par l'Arithmétique et la Géométrie; la seconde par la Mécanicpie, l'Astrologie, l'Optique, la Géodésie, la Canonique et la Logistique.

A son tour, la Géométrie se divise en théorie du plan et en Stéréométrie, car, en général, son but est de construire des figures planes et solides, ou bien de comparer et de diviser les ligures construites. On partage de même TArithmétique en théorie des nombres linéaires, plans, solides; c'est-à-dire que, dans cette bmnche des mathématiques, on considère les « espèces du nombre en elles-mêmes dans leur progression à partir de l'unité, la génération des nombres semblables et dissemblables [carrés ou hétéroinèques de forme p {p -\- i)], et les augmentations suivant la troisième dimensioB [cubes] ».

BoYER. Hist. des Math. 4

5o lUSTOIIiE DES MATHÉMATIQUES

La Géodésie et la Logistique sont analogues aux deux parties précédentes de la science, mais au lieu de traiter des nombres ou des ligures intelligibles elles s'occupent des choses sensibles correspondantes. L'Optique dérive comme la Canonique, de la Géométrie : celle-là emploie les lignes de la vision et les angles qu'elle forme*; celle-ci étudie les rapports expérimentaux des longueurs harmoniques, et recherche les dimensions des canons, c'est-à-dire les règles qui servent à déterminer les cordes de la lyre. La ^lécanique considère les objets matériels. Elle se sectionne en plusieurs branches : Vorganopéique ou construction des engins de guerre, la thaumatopéique ou composition d'artifices merveilleux. Envisagée à d'autres points de vue, la Mécanique comporte la connaissance de l'équilibre, la sphérogée qui imite les révolutions célestes, en un mot la cinétique de la matière. Enfin l'Astrologie traite du système du monde, de la grandeur et de la forme des astres, de leur distance à la Terre, etc. Elle comprend la Gnomon ique qui enseigne la détermination des heures, la météoroscopique ou calcul des hauteurs des corps célestes, et la Dioptrique qui s'occupe de fixer leurs positions à l'aide d'instruments appropriés.

Cette classification, malgré ses imperfections, était préférable à celle des Pythagoriciens.

Les derniers mathématiciens dont nous venons de passer en revue les œuvres n'ont guère contribué à augmenter le nombre des découvertes de leurs prédécesseurs. D'ailleurs, au moment où l'Ecole d'Alexandrie commençait à languir, une révolution [)olilique s'accomplissait. En l'an 3o avant notre ère, César-Auguste détrône les successeurs de Ptolémée. Dès lors l'Egypte n'est plus une nation, c'est une simple province de l'Empire administrée par un gouverneur. Aussi son Université va-t-elle se ressentir de ces commotions, et la chute des Lagides marquera pour la Mathématique

D APOLLOSn s A inPPA/tQl E 5i

iiiie nouvelle ère. L'Astronomie s'élèvera encore avee Plolémée- l>ioj)hante créera TAl^èbre, mais la Géométrie n'aura plus à opposer aux ehers-d'œuvre des Euelidc, des Archimède et îles Apollonius, ([ue les utiles mais pâles eommenlaires de Pappus. L'i\ge d'or de la science grecque est bien fini.