L'ÉCOLE D'ALEXANDRIE

de B -i- G -f- D -f-... sera le tiers de A. Donc A -|- B 4- C -4-... aura pour mesure les quatre tiers de A.

Ses vues sur rarithinéti([ue n'étaient pas moins ingé nieuses. Dans Varcnaire il se propose de trouver un nombre supérieur à celui des grains de sable renfermés dans un globe dont le rayon serait égal à la distance du centre de la Terre à la voiite céleste. Dans notre système de numération l'expression de ce chiffre, quel(|ue considérable qu'il soit, n'ollVirait aucune diCficulté, mais il n'en était pas de même dans la notation grecque, qui n'allait que jusqu'à mille myriades (lo*). Aussi, Archimède dut-il proposer de nouvelles ^'^ "*

règles pour résoudre la question, et voici la conception qu'il imagina.

De son temps, les divers ordres d'unités (monades, décades, hécatontades...) formaient une progression dont les termes étaient : lo, io% io\.. io\ io« correspondant à nos unités, dizaines, centaines... La première série s'étendait alors jusqu'à loooooooo. Elle constitua ses nombres du premier ordre. La série suivante de lo" a lo'* forma ceux du second ordre; la troisième com|)renant ceux de lo" à lo^^ figura le troisième ordre, et ainsi de suite jusqu'au 8**, le dernier terme étant lo^*.

Une fois parvenu à ce chiffre; le sagace arithmélicien constitua, grâce à ces ordres de nombres, une nouvelle catégorie d'unités qu'il nomma « première période » suivie d'une division nouvelle constituant la « deuxième période », etc. '. 11 parvenait de la sorte à une nomenclature qui n'était sans doute pas d'une rigoureuse logique mais qui, en empruntant seulement le vocabulaire exis-

(i) HOEFER. Histoire des mathémaiit^ues. 3* édit., Paris, i88C.

38 lIISTOini: DES M ATU KM ATI qui: s

tant, exprimait des nombres jusqu'à lo à la trillionième puissance.

Nous ne parlons que pour mémoire ici de ses découvertes hytlrostatiques et des Lemines dont le texte original est perdu. Telle fut l'activité scientifique d'un des plus grands matiiématiciens dont l'antiquité puisse s'honorer. La « méthode d'exliaustion » fut, en somme, le lil conducteur qui le guida dans ses mémorables travaux. Ce principe, dont l'analyse de son traité sur la quadrature de la parabole a permis de nous rendre compte, a l)eaucoup d'analogie avec notre procédé actuel des limites. Pour arriver à bon nombre de ses démonstrations, il concevait une grandeur comme comprise entre deux autres, de manière que celles-ci s'en approchent indéfiniment sans jamais l'atteindre. La circonférence par exemple est la limite des périmètres des polygones inscrits et circonscrits dont le nombre des côtés double indéfiniment. D'Alembert, Leibniz et Carnot considèrent d'ailleurs cette doctrine comme l'origine de l'Analyse infinitésimale : les principes sont identiques, le but poursuivi est le même. On cherche par induction certaines relations, on s'en rapproche par degrés, grâce à l'élasticité du système et on n'a plus qu'à vérifier les déductions, — ce qu'Archimède fait souvent en se s^'rvant de la réduction « ab absurdo ».