GÉOMÉTRIE EUCLIDIE>'XE ET G É DM ET RIES >'ON EUCLIDIE^-^'ES

Toutes les branches des Mathématiques ont reçu de Fimpulsion dans la seconde moitié du xix'' siècle. La science d'Euclide ne fit pas exception à cette règle. Le Traité des propriétés projectives des figures de Poxcelet ouvrit des routes nouvelles à la Géométrie pure en agrandissant ses ressources, en généralisant les conceptions et en les rapproc^hant de celles de la Géométrie analytique. Il oftVit des moyens propres à déceler d'une façon aisée les propriétés dont jouissent les figures quand on les envisage d'une manière abstraite et indé- |)endamnient d'aucune grandeur absolue et déterminée. Ces propriétés se retrouvent à la fois dans toutes les [)rojections ou perspectives de la figure considérée. On les a alors distinguées des autres en les désignant sous le nom générique de « propriétés projectives » destiné à en rappeler la nature.

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Les deux volumes qui Ibriuent l'ouvrage parurent l'un en 1822, l'autre en 1866; mais le savant mit à jour pendant cet intervalle les découvertes les plus importantes qu'il y expose. Elles ont contribué puissamment à fonder la Géométrie moderne, si dilTérentc de la Science antique. La marche de celle-ci est timide ; toujours, dans les démonstrations, on raisonne sur des «i^randeurs déterminées, des (igures réellement décrites. Celle-là, plus hardie et plus subtile, ignore le plus souvent les formes individuelles représentant les objets sensibles, ou, en tout cas, s'en dégage autant que possible.

Le Traité de Poncelet renferme outre l'exposition de ces principes, les notions élémentaires des pôles et polaires réciproques, une théorie de la perspective des reliefs ou bas-reliefs, et les principales propriétés des centres de moyennes harmoniques. Il fut aussi pour son auteur l'origine d'une polémique avec Ghasles. Ce dernier ayant fait paraître en iSJj un Mémoire sur deux principes généraux de la Science, la dualité et V homographie, Poncelet revendiqua le premier comme lui appartenant.

Michel Chasles était né à Epernon (Eure-et-Loir) le i5 novemljre 1793 et fut reçu à l'Ecole Polytechnique en 1812, puis à sa sortie donna sa démission pour aller exercer à Chartres la profession d'agent de change, sans cesser de se livrer aux spéculations scientifiques. Ses découvertes lui valurent bientôt d'être élu correspon- (hmt de l'Académie (1839) et professeur à la Sorbonne deux ans plus tard. Il mourut à Paris le 18 décembre 1880. Dans ses belles recherclies il s'elforça d'alfranchir la Géométrie des procédés de calcul que les Descartes, les Newton et les Leibniz avaient introduits et (jui, en quelque sorte, avaient mis la Science de l'étendue sous la tutelle du calcul. A la base de ce monument, Chasles posa la notion du rapport anharmonique. Ce fut l'origine de ses belles théories de l'homographie et de rhomologie et il puisa, dans un mode de transformation particulier ou à un point correspond une.

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droite, à une droite un point, sa féconde doctrine de la dualité. Grâce à lui, Tidée de transformations des figures * prit dès lors une place considérable dans la nouvelle Géométrie. On vit nettement les analogies existantes entre les transformations de figures et celles d'équations. Gomme, d'autre part, on peut imaginer des transformations en noml)re inlini, celte méthode devint entre les mains des géomètres un puissant mode d'investigation.

Plus près de nous, les notions établies par Poncelet ont été généralisées. Avec la Géométrie synthétique de Steiner (1867), avec les Eléments de Géométrie projectile de LuiGi Gremo^a, Térudit professeur de l'Université de Rome et avec la (leometria projectiva du mathématicien espagnol Torroja (1893), ils ont fini par former une science particulière dont les (!onquétes s'augmentent chaque jour.

Le dernier quart de ce siècle a vu s'édifier d'intéressantes théories. En 1873, M. Emile Lemoine publia un mémoire relatif à un point remarquable du plan d'un triangle. On avait trouvé de nombreuses propriétés de (;e point, mais sans faire attention qu'elles s'appliquaient toutes à ce dernier, dénommé aujourd'hui « point de Lemoine ». Plusieurs savants, entre autres H. Brocard, en France, et Neuberg, en Belgique, dirigèrent alors leurs recherches dans cette voie et la Géométrie du triangle se fonda. Depuis cette époque, des centaines de travaux ont ])aru sur ce sujet dans les divers journaux mathématiques (lu monde.

On doit encore à Lemoine l'invention de la Géométro-

(i) Voici en quoi consiste celle s«''rie d'opéralions, connues des Grecs, mni» ulilisce seulement par Chasles et ses successeurs. On déduit d'une lig'ure F f^'ràctc à des constructiiuis nettement définies, une nouvelle lig'ure I'' ; et réciproquement, on pourra revenir de la ligure F' à la ligure F. Si donc une proi)riété est facile à découvrir dans la ligure l'' il s'ensuivra qu'on possédera i)ar le fait même la propriété c<u'respondanle de la figure F, souvent très pénible à trouver directement. Voir Laisant. Im Mat/ietnaiit/tw. Paris, 18.J8.

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graphie (1893) ou art des constructions géométriques, ébauclié déjà par Steiner. 11 montra que toute construction quelle que soit sa complication est toujours réductible à un petit nombre de constructions faciles et identiques. Au moyen d'une hypothèse naturelle permettant de comparer entre elles ces constructions élémentaires de même nature, il arriva à un système de notation commode où deux nombres, le coeiïicient de simplicité et le cofticient d'exactitude, permettent d'analyser et de caractériser une construction géométrique quelconque.

D'autre part, Schœnflies, professeur à l'Université de Gottingue, dans sa Géométrie du mouvement^ et le colonel M\nnhp:im dans sa Géométrie cinématique (1894) ont tiré de la Mécanique rationnelle de nouvelles méthodes pour la détermination des propriétés des figures.

Mais sans contredit les recherches les plus originales de cette période se rattachent aux Géométries non euclidiennes^ et c'est par elles que nous terminerons cet exposé bien incomplet de la Science contemporaine.

Depuis longtemps, on a cherché à démontrer le fameux axiome posé il y a vingt siècles par Euclide, à savoir : |)ar un point on ne peut mener qu'une parallèle à une droite donnée.

Ces tentatives demeurèrentinfructueuses. Cependant, à la fin du xviii® siècle, un jésuite italien, Saccheri, voulut fonder une Géométrie reposant sur un principe différent du célèbre postulat; enfin, au début du xix'', un russe, Lobatschevsky, et un hongrois, Jean Bolyai, aperçurent à peu près en même temps l'impossibilité de cette démonstration. Leurs travaux publiés indépendamment les uns des autres avaient sans doute été inspirés par les doctrines du philosophe Kant qui, dans un passage de sa Critique de la raison pure^ indiquait une nouvelle considération de l'espace. Pour ce dernier, l'espace existait a priori^ précédant

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toute expérience, comme forme complètement subjective de notre intuition.

Nicolas LoriATCHEVSKY était né en 1798 à Alakarief, dans la province de Nijni-Novgorod, et fit ses études à rUniversité de Kazan qu'on venait de fonder. 11 y suivit les cours de Bartels, puis obtint, en 181 1, le titre de licencié, avec une thèse de Mécanique céleste. Dès lors il s'absorba dans de profondes méditations *. A l'hypothèse de Kant, il on opposa une autre affirmant la relativité de nos notions d'espace. Sa façon de procéder est simple : il préfère aux méditations métaphysiques la vérité scientifique qui repose sur Texpérience. « Les premières données, dit-il dans ses Nouveaux Principes de Géométrie (i 836-38), seront incontestablement les concepts que nous acquérons dans la nature au moyen de nos sens ; la raison peut et doit les réduire au plus petit nombre possible, pour qu'elles servent ensuite de base solide à la science. » Cela posé, voici comment il procède au développement de sa doctrine.

Il énonce au début l'axiome suivant : par un point on peut inener plusieui's parallèles i\ une droite donnée. Puis, tout en conservant les autres axiomes primordiaux de la Géométrie ancienne, il en tire une série de conclusions qui, s'enchaînant d'une façon logique et sans aucune contradiction, constituent la Géométrie no/i^ euclidien fie.

Naturellement, ces théorèmes diffèrent de ceux auxquels nous sommes habitués. Citons-en deux exemples :

La somme des angles d'un triangle est toujours plus petite que deux droits, et la différenc-e entre cette somme <^t deux droits varie proportionnellement à la surface du triangle.

La construction d'une figure semblable à une figure

(i) Vassilief. Eloge histi>ri<iue <le yiiolns-J.-Lohatc/ternki/, traduit du russe pur M"« FicHTKMioi.TZ, Paris, librairie Hcrmonn. i8y6. Consulter également un remarquable article de H. Poincark dans la licvue gcncralc des Sciences^ t. 11. Paris, i8<)i.

Portrait de Nicolas Lobatchkvskv. m«)il à Kaznn (Russie) en i85(j. (D'aprùs une photographie.)

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donnée, mais de dimensions difTérentes, est impossible.

Ces curieuses vues mirent du temps à se répandre, et le savant russe n'eut pas la satisfaetion d'assister à leur triomphe. Sa earrière s'était pourtant poursuivie avee honnoiu*. 11 était devenu professeur, et ([uand il mourut en i856 il occupait les fonctions de recteur de l'Université où il était entré comme sim|)le étudiant. Quatre ans plus tard lloùel pid)lia une traduction française de son ouvrage sur la Théorie des parallèles, et dès lors ces idées pénétrèrent un peu partout. En France, en Allema<^ne, en Angleterre et en Italie, on vil édore de nombreux travaux dans le c^hamp qu'il venait de défricher. Lobatchevsky |)as plus que Bolyai n'avaient, en elfet, épuisé le sujet, et RiEM.vNX, en 1867, ouvrit de nouveaux horizons en considérant l'espace comme sphéritjue. Dans cette hypothèse l'espace est sans limites, puisqu'en continuant à marcher toujours droit devant soi on n'est jamais arrêté; et cependant il est fini, car on peut faire également le tour d'une sphère.

Pour construire cette Géométrie, son inventeur rejette le postulatum et le premier axiome d'Euclide : deux points déterminent une droite. Si ellectivenu^nt on ne peut, en général, tracer entre deuxjoints qu'un grand cercle (jouant ici le rôle de la droite), il y a une exception au cas où les deux points sont aux extrémités diamétralement opposées; une infinité de grands cercles peuvent y passer. D'une façon analogue, dans la Géométrie de RiEMANN, il se trouvera certains cas où par deux points, passeront une infinité de droites. Les propositions qu'elle renferme sont différentes bien entendu, et de la Géométrie de Lobat(!hevsky et de celle d'Euclide.

Prenons les deux exemples correspondant à ceux de tout à l'heure : ils dtwiennent ceux-ci dans la doctrine de Riemann.

La somme des angles d'un triangle est plus grande que deux droits.

Le nombre des droites qu'on peut traiter parallèle-

ment à une droite donnée par un j)oinl fixe est égal à zéro.

D'autre part Eugemo Bklthami, professeur à l'Université de Rome, ramena dans une suite de mémoral)les travaux la Géométrie de Lobatchevsky à deux dimensions, à n'être plus qu'une branche de la Géométrie ordinaire, à l'aide des considérations ci-après. Supposons qu'une figure quelconque soit tracée sur une toile flexible et inextensible appliquée sur une surface de manière que quand la toile se déforme les difl"érentes lignes de cette figure changent d'aspect, leur longueur restant la môme. La flexibilité et l'inextensibilité empê- (dieront en général cette figure de se déplacer sans cjuitter la surface, à moins qu'on n'ait affaire îxux surfaces a courbure constante. Mais celles-ci sont de deux espèces : les unes sont à courbure positive^ et se déforment de cette manière en s'appliquant sur une sphère (Géométrie de Riemann) ; les autres sont è\ courbure négative, et Beltrami a montré que la Géométrie de ces surfaces n'étaient ni plus ni moins que celle de Lobatschevsky.

En outre un mathématicien suédois Sornus Lie*, enlevé mallieureusemeiit à la Science le i8 février 1899, en cherchant à réduire au minimum le nombre des axiomes dont on se sert implicitement dans les démonstrations habituelles, est arrivé, en posant simplement les prémisses suivantes ^ — l'espace a // dinumsions; le mouvement d'une figure invariable est p()ssil)h^ ; pour déterminer la position de cette figure dans l'espace il faut P (M)nditions ; — Lie est parvenu, dis-je, à la curieuse proposition suivante : le nombre des géométries com- ])atibles avec ces prémisses est limité.

Enfin, et cette remarque clora notre livre, quelques astronomes ont été anuMiés à se demander si « l'espace

(1) s. DicKSTEiA*. Wiailomosci Maieniaiycznc, t. III, fasc. 3-4- Vursovie,

RECIIEHCIIES GKOMKl'Hiqi ES 2\j

pliysiqiie de notre expérience » est celui de Lobalehevsky, et si nos télescopes penneltaieiit de résoudre le prol)lt'nie. IVirce conclut par Fariinnative en se basant sur de délicates observations des parallaxes d'étoiles fixes. En admettant comme acquis ce dernier résultat, il ne s'ensuivrait nullement qu'une seule de ces géométries serait exacte. La «juestion ainsi |)osée n'a au(;un s?ns. Comme Ta dit Poincaré, une (iéométrie ne saurait être plus vraie qu'une autre : elle est seulement plus ou moins commode. La Science fondée par Euclide, il y a deux mille ans, n'a donc rien à redouter de l'avenir. Simple, et en parfaite harmonie avec les propriétés des corps solides qui nous, environnent nous n'aurions aucun intérêt à l'abandonner.

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