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Fig1. 5. — Manuscrit des Eléments cTEuclide.

(Bibliothèque Nationale de Paris, Fonds grec n° a J44, fol. 17, xii® siècle. Fac-similé du début : définitions du point, de la ligne, etc.)

preuves, cette surabondance de détails, fatigue quelque peu l’esprit du lecteur.

Une fois ces préliminaires achevés, Euclide entre dans le vif de son sujet qu’il traite en treize livres, mais si l'on examine le plan que l’auteur parait s’ètre tracé, on reconnaît sans peine dans son œuvre quatre sections bien marquées. Dans la première (livres 1 à Yl) le sagace mathématicien étudie les figures planes, les quantités proportionnelles et leur application à celles-ci. La seconde (livres VII, VIII et IX) est consacrée aux propriétés des nombres, principalement à leur emploi en Géométrie pour mesurer des rapports de longueur ou de surface. Ici s’introduit la notion d’incommensurabilité, car on rencontre dans les spéculations géométriques des figures qui n’ont aucune grandeur commune avec d’autres de même nature. En conséquence, Euclide s’en occupe dans le livre X. Enfin les derniers chapitres roulent sur les plans et les solides.

Dans les éditions des Eléments on ajoute parfois deux livres sur les cinq polyèdres réguliers, mais cette partie doit être attribuée à Hypsiclès, qui vivait, croit-on, un siècle et demi plus tard.

Un autre ouvrage d’Euclide faisait suite pour ainsi dire au précédent, c’était les Données , recueil propre à faciliter les applications. Les géomètres grecs ramenaient, en effet, la résolution des problèmes à des AsSopéva ou résultats immédiats de constructions connues. Exemples : un triangle dont on avait déterminé chaque angle était « donné de grandeur » ; une ligne dont on fixait l’inclinaison avec une autre était « donnée de position » ; un triangle dont on connaissait la valeur respective des angles et les rapports des côtés entre eux était « donné d’espèce ».

La singularité la plus remarquable de ce livre est qu’on peut déduire facilement de quelques-unes de ses propositions la résolution des équations du second degré. Nous retrouverons plus loin la même constata-

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tion pour Archimède et Apollonius. Si ces mathématiciens ne se sont pas servis de formules, il faut l’attribuer uniquement au but qu’ils poursuivaient. Us raisonnaient toujours sur les grandeurs elles-mêmes, et non sur leur mesure. L’absence d’une langue algébrique pour exprimer ces dernières ne les gênait donc pas. Cependant certaines constructions, telles que la division d’une droite en moyenne et extrême raison illustrent trop les relations des racines des équations du second degré, pour qu’ils ne les aient pas aperçues.

Quant aux Porismes d’Euelide sur lesquels on a beaucoup discuté, ils ne nous sont point parvenus. Tout ce que nous en savons est dù à Pappus *, qui en parle d’une manière assez obscure. Plusieurs savants ont cherché à restituer cet ouvrage, entre autres Robert Simson au xvme siècle, et plus près de nous Chasles. Ce dernier a publié, en 1880, un essai de divination de l'œuvre perdue, mais c’est plutôt ce « qu’aurait pu laisser » le géomètre alexandrin, que ce qu’il a véritablement composé.

Un certain nombre d’écrits, tels que des Principes de Musique , une Optique et un abrégé d’Astronomie intitulé les Phénomènes , sont attribués à Euelide, mais ils ne paraissent pas lui appartenir. Enfin plusieurs autres ne nous sont connus que par leurs titres. Les plus importants se rapportaient à la Perspective et aux Sections coniques. Il avait également publié un traité de pédagogie géométrique ayant pour but d’éviter aux débutants les raisonnements inexacts, les pétitions de principes et les manques de logique analogues, si familiers aux jeunes étudiants.

En résumé, jamais traité didactique 11’eut une vogue comparable au chef-d’œuvre d’Eueiide. Pendant toute la période du Moyen Age et de la Renaissance, on le

(1) Gino Loria. Lcx Scicnze esalle ncll antica Graecia , libro 11. Modena,

commenta. Ce fut le pain quotidien des mathématiciens d’alors. Cependant l'Occident ne connut d’abord les Eléments que tronqués. Ils lui parvinrent au v° siècle, grâce à Boèce, qui confondra d’ailleurs le professeur d’Alexandrie avec le philosophe de Mégare et cette erreur subsistera longtemps. De plus, on supposait qu’Euclide avait seulement laissé des définitions. On regardait Théon comme l’auteur des démonstrations.

Au xne siècle, Athelard de Bath les traduira pour la première fois de l’arabe en un latin barbare, car depuis Honeïn-ben-Ishak, mort vers 870, les disciples de Mahomet possédaient dans leur langue les Eléments. Les Persans eux-mêmes, grâce à l’astronome Nasir-Ed-Din, purent apprendre, dès 1260, la Géométrie dans Euclide.

Lors de l’invention de l’imprimerie, la popularité de ce livre ne fit que grandir. L’édition latine princeps fut publiée à Venise en i482. Son auteur Erhard Ratholt annonce dans sa préface que la difficulté d'impression des images avait été jusque-là un obstacle pour la circulation des ouvrages de ce genre. Cet obstacle, dit-il, vient d’être heureusement vaincu, et on peut donner maintenant « les figures géométriques avec autant de facilité que les caractères ». Toutes les illustrations sont, en effet, exécutées en marge, et, ce qui est curieux, semblent gravées sur métal. Le texte grec, accompagné du Commentaire de Proclus, parut pour la première fois à Bâle, en i553, grâce aux soins de Grynoeus.

Depuis cette époque, maintes éditions d’Euelide se succédèrent. Parmi les plus célèbres on cite celle de Rome (1094), celle d'Oxford (1703), une des plus luxueuses, et la grecque-française-latine de Peyrard, imprimée à Paris en 1814, d’après un très ancien manuscrit provenant de la Bibliothèque du Vatican. Mais la plus intéressante et la plus correcte, scientifiquement parlant, est *00116 récemment mise au jour, à Leipzig, par Hciberg et Menge (1881-1896).

Quant à Conon et Dosithêe, les successeurs immé-

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diats d’Euclide à Alexandrie, ils n’ont pas laissé grandes traces dans l’histoire des Mathématiques, et l’amitié d Archimède a surtout sauvé leur nom de l’oubli. Ce grand homme, dont les travaux vont nous occuper maintenant, a ouvert bien des routes dans le domaine scientifique. Né en l’an y.87 avant Jésus-Christ, il était, si nous en croyons Plutarque, apparenté à Hiéron, roi de Syracuse. Nous n’insisterons guère ici sur toutes les inventions plus ou moins fabuleuses qu’on attribue a son puissant génie, ni sur ses découvertes relatives aux lois de l’équilibre des corps plongés dans des fluides, et nous parlerons encore moins des fantaisistes légendes mises sur son compte. Mais exposons rapidement, avant de passer à l’analyse de ses œuvres, les particularités les plus authentiques de sa vie.

Pendant le siège qu’eut à soutenir sa patrie contre les Romains, l’ingéniosité d’Archimède se donna libre carrière, et il construisit des catapultes gigantesques pour détruire la flotte ennemie qu’il aurait même fini par incendier. A ce propos, on n’ignore pas qu’en 1777 Billion, suivant point par point la description du procédé imaginé par le sagace Syracusain, fit construire un miroir métallique, et répéta cette expérience. Il réussit à enflammer du bois à une distance de iao pieds, et à fondre du plomb à i4o.

Archimède ne put cependant empêcher les ennemis de s’emparer de la ville par surprise, et il mourut sous le fer d’une brute soldatesque en ai a. Ses compatriotes ne tardèrent pas à l’oublier, si bien que Cicéron, un siècle et demi après, alors qu’il était questeur de Sicile, eut grand’peine à découvrir son tombeau disparu sous les broussailles. Le philosophe raconte le fait dans ses Tusculanes , et il ajoute mélancoliquement : « Ainsi la plus noble et jadis la plus docte des cités grecques ignorerait encore la place du tombeau du plus illustre de ses enfants, si un homme d’Arpinum ne la lui avait enseignée ». Il l’avait retrouvé surmonté, conformément

aux désirs d’Archimède, d’une sjdière inscrite dans un cylindre, afin de schématiser aux yeux des profanes sa découverte des relations respectives entre les volumes et les surfaces de ces deux figures.

Quoi qu’il en soit de ces détails anecdotiques, Archimède, à son retour d’Egypte où il suivit les leçons de Conon et de Dosithée, commença ses travaux, et il rendit de précieux services à la Science, en créant la Mécanique et la Géométrie supérieure.

La plus importante de ses productions est son traité De la sphère et du cylindre dans lequel se trouvent énoncés les principaux théorèmes relatifs aux rapports existant entre le cylindre, le cercle et la sphère. En voici quelques-uns :

La surface d’un cylindre droit quelconque, la base exceptée, est égale à celle d’un cercle dont le rayon est moyen proportionnel entre le côté du cylindre et le diamètre de sa base.

La surface d’un cône droit quelconque, la base exceptée, est égale à celle d’un cercle dont le rayon est moyen proportionnel entre le côté du cône et le rayon du cercle de base du cône.

La surface d’une sphère quelconque est quadruple de celle d’un de ses grands cercles.

La surface d’un segment sphérique quelconque est égale à un cercle qui a pour rayon une droite menée du sommet du segment à la circonférence du cercle qui est la base du segment, etc.

Pour la démonstration de ces théorèmes, Archimède s’appuie sur quelques principes qu’il pose au début de son ouvrage. Il montre d’abord que la ligne droite est la plus courte de toutes celles qui ont les mêmes extrémités. Il passe ensuite à la définition des lignes et des surfaces « concaves d’un même côté », puis il formule les deux propositions suivantes : si deux lignes concaves d’un même côté possèdent les mêmes extrémités et que l’une soit « comprise tout entière par l’autre »,

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l’entourante esl plus grande que l’entourée. 11 en est de même pour les surfaces : si deux surfaces concaves d’un même côté se terminent à la même ligne dans un plan, et que l’une entoure l’autre, l’étendue de la surface enveloppante sera plus grande que celle de la surface enveloppée.

A l’aide de ces principes qui précisaient nettement les figures courbes et qui tenaient lieu de définitions impossibles à donner sans faire intervenir les notions infinitésimales, Archimède arrivait aux plus fines démonstrations. Ces découvertes arrachèrent plus tard à Leibniz cet aveu : « ceux qui peuvent comprendre Archimède admirent moins les découvertes des modernes. » Tel est le contenu du premier livre De la sphère et du cylindre. Le second renferme uniquement des problèmes du genre de ceux-ci :

Couper une sphère par un plan, de façon que les surfaces des segments aient entre elles une raison donnée.

Couper une sphère par un plan, de manière que les segments aient entre eux une raison donnée.

La solution de ces questions était fort ardue, vu les ressources qu’Archimède avait à sa disposition L Cette dernière, entre autres, exigerait la résolution d’une équation du 3° degré.

Un autre de ses écrits Des conoïdes et des sphéroïdes , montre avec quel talent il savait manier les transformations de figures. Archimède nomme « conoïdes » les corps engendrés par la révolution d’une hyperbole autour de son axe transverse, ou d’une parabole autour de son diamètre, et « sphéroïde » le solide décrit par une ellipse tournant autour d’un de ses axes. Si la révolution s’opère autour du grand diamètre, le sphéroïde est dit « allongé » ; si elle a lieu autour du petit on le qualifie d’ « aplati ». Plusieurs propositions de ce livre

(i) N esse lm an N. D/c Algebra der Griechen. Berlin, 1 842 . Boyer. Bist. des Math.

sont souvent usitées, et l une d’elles : l’aire de l’ellipse esta celle du cercle circonscrit, dans le rapport du petit au grand axe, a de multiples applications en Astronomie.

Mais le plus connu des ouvrages d’Archimède est le traité De la mesure du cercle qui renferme seulement trois propositions : il n’en a pas moins contribué à rendre immortel son auteur.

Le génial géomètre part de cet énoncé : un cercle quelconque égale le triangle rectangle dont un des côtés de l’angle droit a la même longueur que le rayon et dont l’autre cathète 1 est égale à sa circonférence. Voici en substance son raisonnement. Le cercle ne peut pas être supérieur au triangle rectangle dont un des côtés de l’angle droit égale la circonférence, et dont l’autre égale le rayon du cercle. Il fait voir ensuite que la même figure ne peut pas être plus petite, et il en déduit qu’en définitive le cercle et le triangle sont de même surface.

Une fois ce résultat acquis, il établit qu’un cercle est au carré construit sur son diamètre à peu près comme ii est à 14. Enfin, serrant le problème de plus près, il arrive au but : la circonférence d’un cercle est égale au triple du diamètre réuni à une portion du diamètre, qui est plus petite que le septième de ce diamètre et inférieure à ses 4y • H parvint à cette valeur en traçant deux polygones de 96 côtés inscrits et circonscrits au même cercle. Comme la circonférence doit être naturellement comprise entre eux deux, il établit empiriquement la longueur de cette courbe en calculant leurs dimensions respectives, c’est-à-dire ses limites inférieure et supérieure. C’était un remarquable procédé pour un savant qui vivait près de deux mille ans avant les Leibniz et les Newton !

(1) Le mot cathète désigna pondant longtemps le côté de l’angle droit d’un triangle rectangle. On le trouve employé encore dans certains traités mathématiques du xvue siècle.

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Archimède trouva ainsi le rapport approché de la circonférence au diamètre, et montra qu’en choisissant celui-ci comme unité cette courbe est plus grande que 3-^ et plus petite que 3 • Malheureusement nous ignorons Je mode de calcul employé par Archimède pour parvenir à ce résultat. A-t-il procédé par tâtonnements dans l’extraction des racines? Tout porte à le croire puisqu’il se contente simplement d’énoncer les diverses racines des nombres sans fournir de plus amples explications sur les moyens de vérification de sa formule.

Dans un autre champ de recherches le savant syracusain fut moins heureux.

Conon, s’était principalement occupé de rechercher les propriétés de Y hélice, mais il décéda vers 220 avant Jésus-Christ, sans démontrer les théorèmes qu’il avait formulés. Aussi un des premiers soins d’Archimède fut-il de compléter l’œuvre inachevée de son ami. Il donna d’abord la définition précise de la courbe. L’hélice est engendrée par un point qui se déplace sur une droite d’un mouvement uniforme, la droite tournant ellemême d’un mouvement identique autour d’un de ses points. Quant aux démonstrations qu’il fournit elles sont compliquées, et les procédés géométriques employés actuellement ont permis de les rendre beaucoup plus simples. Si donc les solutions sont originales, elles ont beaucoup diminué d’intérêt.

Un livre plus remarquable est celui De V équilibre des plans ou de leur centre de gravité. Archimède s’y révèle le véritable créateur de la Mécanique. Non seulement les centres de gravité d’un grand nombre de figures géométriques simples y sont déterminés, mais on y trouve ceux plus compliqués des segments de parabole à une ou à deux bases. Le tout est démontré avec concision, et s’appuie sur certaines propriétés insérées dans l’ouvrage sur la Quadrature de la parabole. Il parvint à cette dernière découverte, comme il l'explique lu i-

JÀ

même dans sa dédicace à Dosithée son maître, au moyen de deux méthodes : l’une indirecte ou mécanique, l’autre géométrique. Nous insisterons sur celle-ci, la meilleure à notre avis. Après un rappel de quelques propriétés « établies par ceux qui ont vécu avant lui », il inscrit dans la courbe un triangle ayant pour base celle du segment et pour sommet le point de contact de la tangente parallèle à la base. Ce triangle est plus grand que la moitié de ce segment. Puis il en inscrit un autre dans chacun des segments fractionnels. Il en résulte qu’en continuant de la sorte cette bissection, la figure polygonale obtenue différera d’aussi peu qu’on le désic rera, du segment. D’autre part

ayant démontré que ABC = 4(ADC BEC) et ainsi de suite, il en conclut que chaque triangle est quadruple des deux secondaires suivants. Or comme la somme des triangles inscrits tend vers la surface de la parabole, celle-ci se compose donc du triangle inscrit, du quart de celui-ci, du seizième du même, etc. Tout revient alors à sommer une prog-ression géométrique dont la raison est un quart. La parabole est en définitive les y du triangle inscrit. Aujourd’hui cette démonstration nous paraît aisée, une simple application d’une formule algébrique; il n’en était pas de même du temps d’Archimède, et pour avoir l’occasion d’admirer une lois de plus son habileté, relatons la méthode générale à laquelle il eut recours pour y parvenir.

Soient par exemple A, B, C, D... des grandeurs dont chacune est un carré ayant pour côté la moitié du précédent. Supposons P, P7, P"... représentant respectivement le tiers de B, G, D... alors P + B sera le tiers de A ; P7 + C celui de B ; V" + D celui de C, etc. D’ou B -f- C + D +...-)- P + P7 + P" +••• égalera le tiers de A 4- B + C +... ; mais P + P7 + P7/ +••• étant le tiers

Fier. 6.

L’ÉCOLE D’ ALEXANDRIE -U

de B + C + D +. .. sera le tiers de A. Donc A + B -f- G +••• aura pour mesure les quatre tiers de A.

Ses vues sur l’arithmétique n’étaient pas moins ingé nieuses. Dans L' cirénaire il se propose de trouver un nombre supérieur à celui des grains de sable renfermés dans un globe dopt le rayon serait égal à la distance du centre de la Terre à la voûte céleste. Dans notre système de numération l’expression de ce chiffre, quelque considérable qu’il soit, n’offrirait aucune difficulté, mais il n’en était pas de même dans la notation grecque, qui n'allait que jusqu’à mille myriades (ios). Aussi, Archimède dut-il proposer de nouvelles règles pour résoudre la question, et voici la conception qu’il imagina.

De son temps, les divers ordres d’unités (monades, décades, hécatontades...) formaient une progression dont les termes étaient : io, io2, io3... io7, io* correspondant à nos unités, dizaines, centaines.. . La première série s’étendait alors jusqu’à ioo ooo ooo. Elle constitua ses nombres du premier ordre. La série suivante de ios à io16 forma ceux du second ordre ; la troisième comprenant ceux de io16 à io2’* figura le troisième ordre, et ai nsi de suite jusqu’au 8e, le dernier terme étant 1006.

Une fois parvenu à ce chiffre, le sagace arithméticien constitua, grâce à ces ordres de nombres, une nouvelle catégorie d’unités qu’il nomma « première période » suivie d’une division nouvelle constituant la « deuxième période », etc. h Il parvenait de la sorte à une nomenclature qui n’était sans doute pas d’une rigoureuse logique mais qui, en empruntant seulement le vocabulaire exis-

(1) IIoei ER. Histoire des mathématiques. 38 édit., Paris, 1 SSG.

tant, exprimait clés nombres jusqu’à io à la trillionième puissance.

Nous 11e parlons que pour mémoire ici de ses découvertes hydrostatiques et des Lemmes dont le texte original est perdu. Telle fut l'activité scientifique cl’un des plus grands mathématiciens dont l’antiquité puisse s’honorer. La « méthode d’exhaustion » fut, en somme, le fil conducteur qui le guida dans ses mémorables travaux. Ce principe, dont l’analyse de son traité sur la quadrature de la parabole a permis de nous rendre compte, a beaucoup d’analogie avec notre procédé actuel des limites. Pour arriver à bon nombre de ses démonstrations, il concevait une grandeur comme comprise entre deux autres, de manière que celles-ci s’en approchent indéfiniment sans jamais l'atteindre. La circonférence par exemple est la limite des périmètres des polygones inscrits et circonscrits dont le nombre des côtés double indéfiniment. D’Alembert, Leibniz et Carnot considèrent d’ailleurs cette doctrine comme l’origine de l’Analyse infinitésimale : les principes sont identiques, le but poursuivi est le même. On cherche par induction certaines relations, on s’en rapproche par degrés, grâce à 1 élasticité du système et on n’a plus qu’à vérifier les déductions, — ce qu’Archimède fait souvent en se servant de la réduction « ah absurdo ».