CHAPITRE Y

Les travaux d'Apollonius et le développement des Mathématiques appliquées.

L’âge cl’or de la science grecque se continue avec Apollonius, le troisième grand mathématicien de la première Ecole d’Alexandrie. Plus jeune de beaucoup que son illustre prédécesseur, il était né à Perga, aujourd’hui Kara-Hissar, vers 260 avant Jésus-Christ, mais il passa la plus grande partie de sa vie en Egypte. Pappus nous le dépeint comme un homme vain, jaloux de la réputation des autres, et plus prompt aies dénigrer qu’à les applaudir. Nous n’en savons guère davantage sur sa biographie. Quant à l’époque de sa mort, on peut la fixer approximativement à 210, tablant sur ce fait avéré qu’il était contemporain de Ptolémée Philopator. Heureusement ses ouvrages nous ont été mieux conservés que le souvenir des particularités de son existence.

Son grand traité des Sections coniques est le summum de la Géométrie antique, le fronton de l’édifice dont Euelide avait solidement posé les bases. Dans Archimède on admirait surtout l’ingéniosité des démonstrations, les merveilleuses ressources d’un esprit toujours prêt à surmonter les difficultés imprévues qu’il rencontrait dans l’enfantement de son œuvre. Dans Apollonius il faudra principalement louer l’unité de vues, l’habileté avec laquelle il fera un tout homogène de théorèmes épars avant lui, car l'idée fondamentale qui perce dans

le cours de cet écrit, est de relier entre elles les sections diverses du cône qu’antérieurement, on avait considérées séparément et indépendamment l'une de l’autre. L’un s'occupe presque exclusivement de la Géométrie de la mesure, l’autre s’inquiète de celle de forme et de position.

Apollonius considéra le premier les sections faites dans un cône oblique, et fit rouler tout son ouvrage sur une propriété de ces courbes tenant à la nature même du solide qui les a engendrées et qu’on peut résumer comme il suit.

Soit un cône oblique à base circulaire, le plan mené par son axe normalement au plan de la base coupe le cône suivant deux arêtes, et détermine dans le cercle un diamètre. Il nomme « triangle par l’axe », celui qui a pour base ce diamètre et pour côtés les deux arêtes. Le géomètre alexandrin forme alors ses sections coniques en menant un plan perpendiculaire à celui du « triangle par l’axe ». Les points où ce plan rencontre les deux côtés de ce triangle sont les « sommets » de la courbe. Le diamètre qui joint ces deux points est le « latiis ircinsvcrsinn ». Concevons maintenant que par un de ces sommets ou mène une perpendiculaire au plan du triangle précédent, ce sera le « latus rectum » ou paramètre, dont la longueur est déterminée par certaines expressions géométriques b Si par l’extrémité de cette ligne on trace une droite à l’autre sommet de la section conique, et que par un point choisi arbitrairement sur la courbe on élève une « ordonnée », le carré de celte dernière comprise entre la courbe et le diamètre égalera le rectangle construit sur la portion de l’ordonnée s’étendant entre le diamètre et la droite.

(i) Telle est la suivante due à Jacques Bernouilli : Mener un plan parallèle à la base du cône, et à la même distance de son sommet que le plan de la section conique donnée, ce plan sectionnera le cône suivant un cercle dont le diamètre sera précisément le « latus rectum » de la conique considérée. 11 sera facile, d’après cette considération, de placer, dans certains cas. une conique proposée sur un cône choisi. Acta Eruditorum. Leipzig, An. 1689.

D'APOLLONIUS A I/IPP ARQUE

Au début de son traité, Apollonius commence par définir le cène à base circulaire, et indique la façon dont sa surface est engendrée; puis il poursuit, dans le reste du premier livre, la génération des trois genres de sections coniques, et étudie les principales propriétés de chacune d’elles, entre autres celle qui lui servira de point de départ. On peut la traduire ainsi en langage moderne : Dans la parabole , le carré de l’ordonnée égale le rectangle ayant pour côtés l’abscisse et le paramètre. Dans Yellipse , ce carré est plus petit, et dans l 'hyperbole il est plus grand.

Les trois livres suivants sont consacrés aux diamètres, aux axes, aux asymptotes ; et quelques-uns des théorèmes énoncés ont servi de bases à d'intéressantes recherches effectuées au cours de notre siècle ; l'un d’eux a été l’origine de très intéressants travaux sur les points harmoniques.

Ce sont là les seuls fragments des Sections coniques qui soient parvenus jusqu’à nous dans leur langue originale. Les livres V à VIII ne nous ont été conservés que par une traduction arabe. Apollonius s’occupe dans le premier de ceux-ci de sujets importants. Les problèmes de maxima et de minima s’y trouvent envisagés. Il détermine, en effet, « les plus grandes et les moindres '> lignes joignant le périmètre d’une section conique à un point donné, dans les divers cas qui peuvent se présenter suivant la position de ce dernier. A ce propos, il donne des solutions aussi aisées qu’élégantes. Si nos méthodes analytiques actuelles nous ont fait découvrir bien d’autres propriétés de ces courbes, on ne saurait oublier (pie, sans leur secours, ce sagace géomètre est allé fort loin. Ainsi, pour ne prendre qu’un exemple, la détermination des développées s'y rencontre déjà.

L’étude de la similitude des sections coniques est faite dans le sixième livre, et diverses autres questions dans le genre de la suivante : Couper un cône de façon

que la section ait des dimensions données, y sont également traitées. Le livre VII renferme des théorèmes roulant sur les propriétés des axes et des diamètres conjugués; en particulier, cette proposition fondamentale : dans l’ellipse ou l’hyperbole, la somme ou la différence des carrés des axes égale la somme ou la différence des carrés de deux diamètres conjugués. Halley, astronome anglais, s’est inspiré de ces passages pour restituer le huitième et dernier livre qui, dans sa pensée, continue directement le précédent et qu’on 11e possédait que tronqué. Aussi sa belle édition d’Apollonius publiée à Oxford en 1710 est-elle très recherchée. Un érudit allemand, Heiberg, en a édité une nouvelle recension qui a paru à Leipzig, en 1891-93, accompagnée d’une traduction latine. Elle comprend les quatres premiers livres, les fragments et les commentaires de Pappus et d’Eutocius.

On attribue au savant géomètre alexandrin un De sectioite rcitionis et un De tactionibus que Yiète au xvic siècle a essayé de restaurer d’après quelques passages isolés. Il contenait le célèbre problème : Trois cercles étant donnés, trouver un quatrième qui les touche tous les trois. Il avait été proposé par le génial algébriste au Hollandais Adrianus Itomanus. Par l’intersection de deux hyperboles, celui-ci détermina le centre cherché, mais Yiète répondit simplement en s’adressant à la Géométrie ordinaire.

Robert Simson a tenté de reconstituer d’après certaines données un autre ouvrage perdu : le De seclioiie deterininata , et Fermât le De locis planis dont on ne connaissait guère que le titre. Mais laissons là cette gymnastique intellectuelle. Apollonius a composé son admirable livre des Sections coniques sur lequel tant de ses successeurs ont vécu : cela suffit à sa gloire.

Après lui, l’Ecole d’Alexandrie s’oriente vers un but moins spéculatif, en cherchant à appliquer les découvertes mathématiques aux progrès de la Mécanique et de l’Astronomie. Dans la période que nous allons par-