PG H G

PK, sera divisée par BIÏ dans le rapport -p]v= jjjy •

Avec Ménélaus nous entrons dans une nouvelle phase de l’histoire mathématique, la Trigonométrie sphérique est érigée en corps de doctrine. Ce géomètre, qui llorissait à Alexandrie à la fin du Ier siècle de notre ère, avait écrit un traité intitulé Des sphériques, dont l’original grec ne nous est pas parvenu mais dont nous possédons une traduction latine faite par Halley sur des versions hébraïques et arabes et publiée à Oxford en 1 7 5 8 . On y rencontre l’important théorème, fondement de cette partie de la Science chez les Anciens, à savoir la propriété des six segments déterminés sur les trois côtés d’un triangle sphérique, par un arc de grand cercle.

Pour démontrer la « règle d’intersection », comme les Arabes appelèrent cette proposition, Ménélaiis procéda par analogie, en s’appuyant sur le lemme suivant de Ptolémée : quand une transversale coupe les trois côtés d’un triangle, le produit des segments n’ayant pas d’extrémités communes égale le produit des trois autres. Dans notre siècle, Carnot, en faisant de ce tliéo-

rème la base de sa théorie des transversales, lui a donné une réelle importance.

Nous ne nous appesantirons guère sur Nicomaque et Théon, deux mathématiciens sans grande originalité. Le premier naquit à Gérase vers l’an 5o, et son Introduction arithmétique a joui pendant longtemps d'une grande autorité. C’est un mémento des idées pythagoriciennes sur ce sujet. Remaniée et abrégée par Boèce, cette compilation de connaissances acquises antérieurement fut le vade-mecum de tous ceux qui, au Moyen Age, se livraient aux études mathématiques. Parmi le petit nombre des propositions qui semblent appartenir à l’auteur, on range ja suivante : les cubes sont toujours égaux à la somme des nombres impairs successifs. Par exemple, 8 ou a3 égale 3 -f- 5 ; 27 ou 33 égale 7 + 9 -j- 11, et de la sorte jusqu’à l’infini.

Comme son prédécesseur, Théon, né à Smyrne dans la première moitié du 11e siècle de notre ère, nous a laissé dans ses Choses qui sont utiles pour la lecture de Platon, des études sur les nombres. Après un discours sur l’Histoire des Mathématiques, contenant divers préceptes aussi bien sur la Musique et la Géométrie que sur la peste et les moyens de la faire disparaître, l’auteur aborde l’Arithmétique, la « première des sciences » à son avis; puis il entretient son lecteur de l’unité. Il classe ensuite, les nombres, et leur découvre de singulières propriétés. Relatons-les, car l’historien doit non seulement parler des brillantes découvertes, mais s’inquiéter encore des travaux oiseux ou négatifs qu’il rencontre.

Les nombres premiers sont dits indécomposables, linéaires, euthymétriques et impairement impairs. Nous glisserons sur ces définitions. Les « composés » mesurent un autre nombre. On les nomme « plans » quand ils ont longueur et largeur. (Ex. : 6 == 2X3) et « solides » lorsqu’ils possèdent les trois dimensions (Ex. :3o = 2 X 3 X 5). Si nous passons aux catégories, les nombres

PAPPUS ET DIOPIIAETE

pairs pourront être « pairement pairs » (Ex. : 8 = 2 X 4) ou « pairement impairs « (Ex. : 6 = 2X8). Nous voyons encore les « æqualiter æqualibus » (Ex. : 4 = 2 X 2)i les « inæqualiter inæqualibus » décomposables en nombres inégaux (Ex. : 6 = 2X 3), les nombres « altéra pars longiores » comme 12 dont la longueur 4 dépasse la largeur 3 de l’unité. Ceux-ci sont toujours pairs, car si l’une de leurs dimensions 11e l’est pas, l'autre l’est. L’arithméticien d’Alexandrie donne enfin les formules pour sommer les a premiers nombres pairs ou carrés, mais sans fournir aucune démonstration.

Restons-en là. Cela nous suffit pour montrer, selon une expression contemporaine, « l’état d’âme » des Pythagoriciens en ce qui concerne l’Arithmétique. On comprend alors pourquoi les géomètres grecs traitaient avec tant de mépris la science des disciples de Pythagore, et si, comme le remarque avec juste raison M. Paul Tannery, la forme de l’exposition est la propriété de ces deux commentateurs, elle constitue un irrécusable symptôme de décadence.

Abordons maintenant l’œuvre du grand Ptolémée, de celui qui redonna quelque lustre à l'Ecole d’Alexandrie.

Comme il cultiva beaucoup plus l’Astronomie que la Mathématique, nous n’aurons à nous occuper ici que de la plus faible partie de son labeur, et cependant la mois son sera encore ample. Ce qu’on sait de sa biographie est court. Toutefois les historiens s’accordent pour fixer les premières observations rapportées dans son Almageste, à l’an 12a, et les dernières à l’an 1 jo. Il observait avec les instruments du Musée, qu’il perfectionna. Sans doute il emprunta pas mal à Ilipparque et à ses prédécesseurs alexandrins; mais bien des idées neuves sur la Mécanique céleste lui sont dues. Voici le fondement de son système. La Terre occupe le centre de l’univers; les planètes et le Soleil tournent autour d'elle. Jusqu’à Copernic il régna avec une autorité incontestée. Il fut pour les astronomes ce qu’Aris-

tote était pour les philosophes. Après on le décria, autant qu’on l’avait loué.

Nous pouvons être plus justes. Si ses hypothèses sont compliquées, elles sont marquées au coin de la plus grande originalité et il prépara les voies à Képler qui les aplanit lui-même à Newton. Au point de vue spécial des Mathématiques pures, il apporta d’importants perfectionnements à la Trigonométrie sphérique. D’autre part, si la méthode sexagésimale de division du cercle remonte aux Babyloniens, si Geminus et Hipparque s’en sont servis, le procédé de calcul, pour déduire des cordes de deux arcs les cordes de leur somme ou de leur différence, appartient à Ptolémée. Il considéra le premier les trois axes rectangulaires que nous employons actuellement en Géométrie analytique pour fixer la position d’un point dans l’espace. En outre, on le regarde comme l’inventeur des projections stéréographiques et comme le pionnier des théories de la vision et de la réfraction atmosphérique. Résumons-nous donc. Ptolémée, quelle que soit sa part personnelle dans Y Almcigeste, eut l’incontestable mérite d’appliquer d’une façon méthodique la Géométrie et la Trigonométrie à l’Astronomie. Malgré cela, il n’eut pas d'imitateurs dans la route qu’il avait si remarquablement ouverte. Un siècle et demi sera stérile, car les écrits d’Anatolius qui occupa la chaire de l’enseignement aristotélique à Alexandrie, et devint plus tard évêque de Laodicée, pas plus que ceux du philosophe Plotin, de son disciple Phorphyre et de son contemporain Jamblique n’apportèrent de contributions utiles à l’évolution des Mathématiques.

Il nous faut arriver à Pappus pour rencontrer un homme de quelque envergure scientifique. Les renseignements biographiques le concernant sont très succincts. On sait simplement qu’il vivait à Alexandrie au iv° siècle. Un seul de ses ouvrages, les Collections mathématiques , nous est parvenu et, autant qu’on peut

PAPPUS ET DIOPHANTE

en juger par la lecture, le but qu’il se propose était d’initier, grâce à des commentaires, les géomètres de son époque aux travaux antérieurs les plus arides. Huit livres, dont le premier et une partie du second, sont aujourd’hui perdus, les composaient.

Parmi les propositions y insérées, citons le théorème connu aujourd’hui sous le nom de Guldin parce que ce savant jésuite le redécouvrit au xvnc siècle : le volume engendré par la révolution d’une courbe plane complètement située d’un même côté de son axe de rotation, égale le produit de la surface plane génératrice par la circonférence que décrit son centre de gravité. Puis la recherche des propriétés de la quadratrice de Dinostrate l’occupe aussi. Il donne à ce propos deux modes de construction de cette courbe, dont voici le premier. Soit une hélice tracée sur un cylindre droit circulaire. De chaque point de celle-ci on abaisse des perpendiculaires sur l’axe du cylindre. O11 forme ainsi la surface héliçoïde rampante. Un plan passant par une de ces droites et faisant un angle convenable avec la base du cylindre, coupe la surface héliçoïde suivant une ligne dont la projection orthogonale sur la même base est la quadratrice cherchée.

Un peu plus loin il étudie encore la spirale sphérique obtenue par le mouvement uniforme d’un point sur un grand cercle de la sphère, ce dernier tournant lui-même autour de son diamètre. Il exprime l’aire de la portion de surface comprise entre cette courbe et sa base ; c’est donc Pappus qui donna le premier exemple de la quadrature d’une surface courbe.

Notons qu’on rencontre dans les Collections mathématiques la relation fondamentale du rapport anharmonique de quatre points, devenue entre les mains de Chasles la base des théories modernes de l’homographie et de l’involution. Une autre question, célèbre dans l’antiquité et à laquelle Newton et Descartes ont redonné plus tard un regain d’actualité, s’y trouve

également. On la désigne sous le nom de « problème de Pappus », et elle peut s’énoncer ainsi : Plusieurs droites étant données, trouver le lieu géométrique d’un point tel que les perpendiculaires (ou d’une laeon plus générale les obliques inclinées sous certains angles) satisfassent à la condition que le produit de certaines d’entre elles soit dans un rapport constant avec le produit de toutes les autres. Ce théorème, qui se rattache. à la théorie des transversales, avait été résolu par Euclide et Apollonius seulement dans le cas de trois ou quatre droites. Le lieu est alors une conique. Il découle de ce résultat la propriété remarquable de ce genre de courbe : quand un quadrilatère quelconque est inscrit à une conique, le produit des distances de chaque point de celle-ci à deux côtés opposés du quadrilatère, est au produit des distances du même point aux deux autres côtés, dans un rapport constant. Cette proposition a très utilement guidé Pascal et Desargues, et elle est regardée par Chasles comme « la plus universelle et la plus féconde de toutes les propriétés » 1 des coniques.

Bien d’autres sujets sont envisagés au cours des Collections mathématiques , mais nous sommes forcés d’y renvoyer le lecteur. Signalons toutefois, pour terminer, un exposé très net du but de l’analyse et de la synthèse. L’auteur donne parfois deux solutions du même problème, par l’une ou l’autre de ces méthodes.

Avec Pappus disparaît le dernier grand géomètre de l’antiquité. Une longue période s’écoulera avant que la Géométrie ne fasse de nouveaux progrès. Nous apercevrons çà et là quelques commentateurs des Euclide ou des Archimède, mais pas de découvertes originales. Cependant cette suite de siècles ne sera pas complètement stérile dans toutes les parties des .Mathématiques, puisqu’une nouvelle science va naître avec Diophante.

( i) Ciiasles. Aperçu historique sur l origine et le développement des méthodes en Géométrie , 3e édit. Paris, 1889.

P AP P US ET DIOPHANTE

Mais pour prendre son merveilleux essor, l’algèbre devra attendre que le génie des Viète, des Descartes, des Leibniz et des Newton l’ait fécondée.

L’inventeur de ce puissant instrument de progrès, mourut à Alexandrie au commencement du vc siècle de l’ère chrétienne. Il était âgé de 84 ans. A la vérité, Ahmes, dans le papyrus conservé au Britisli Muséum de Londres, employa, selon le mot de Nesselmann, une « rhétorique algébrique » *, il raisonnait au moyen de mots sans faire usage de symboles, Pappus se servit de-ci de-là de quelques notations où le savant professeur de Heidelberg M.Moritz Gantor veut voir l’embryon de l’algèbre. Dans un papyrus grec très ancien on trouve des signes de l’addition et de la soustraction, et d’autre part, au dire de certains érudits, Diophante n’aurait eu que le facile mérite de systématiser des connaissances familières aux mathématiciens de son temps2. II est donc peu commode de choisir au milieu de tant d’opinions contradictoires, et de fixer avec précision le degré d’originalité de son Arithmétique. Constatons donc qu'il s’y- sert d’une nouvelle langue, qu’il en fit usage non seulement pour les questions déjà connues, mais qu’il sut également l’appliquer à de nombreux problèmes insolubles avant lui. Malgré cela, ses écrits eurent peu de vogue de son temps. Après sa mort on les oublia durant de longs siècles, et en 1460 seulement Régiomontanus les révéla au monde savant, une fois qu’il eut [tris connaissance des fragments conservés dans un manuscrit du Vatican. Depuis lors on l’étudia, on le traduisit à plusieurs reprises, et le grand Fermât lui-même le commenta.

Contrairement à ce qu’à la vue de son titre des lecteurs modernes peuvent supposer, Y Arithmétique est presque uniquement consacrée à l’Algèbre, et en voici

(1) Nesselmann. Die Atgebra der Griechen. Berlin, 1842.

(2) Cossali. Origine , transporto in ltalia, primi progressi in cssa dell algebra, t. I, Parme, 1797; Cantor. Vorlesungcn uber Geschichle der Mathematik, t. I, Leipzig, 1880.

l’économie générale. D’abord sa notation diffère de la nôtre. Pour représenter la quantité inconnue il se sert du symbole c,' ou ;0/ et il la nomme 6 àpt,9péç. Il appelle son carré Ô'jvxlm,; et son cube, y.6ëo;. Dans les calculs ces derniers sont désignés par leurs initiales o et x combinées avec la seconde lettre u surmontée d’une barre horizontale et ainsi de suite jusqu’à la sixième puissance, l’auteur n’allant pas plus loin. Ci-joint le tableau résumant ces abréviations :