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répandit bientôt dans toute la chrétienté. Mais les moines et les seigneurs voisins, jaloux de sa renommée, portèrent contre les mœurs de Gerbert d’odieuses accusations. Celui-ci dut fuir devant l’orage et se retirer en Allemagne qu’il ne tarda pas à quitter de nouveau pour la France, rappelé par l’archevêque de Reims.

Par son intelligence il sut redonner quelque lustre à l’université de cette ville où ses cours de Mathématiques et d’ Astronomie attirèrent de nombreux disciples. Aussi Grégoire V voulant récompenser son mérite lui donna le siège épiscopal de Rave née. Enfin, à la mort de ce dernier pontife, et grâce à l’appui de l’empereur Othon III, il devint à son tour chef de l’Eglise catholique, sous le nom de Sylvestre II (999)- Quatre ans plus tard il décédait. Malgré les hautes fonctions qu’il occupa, Gerbert trouva le temps île composer de multiples ouvrages scientifiques. Il s'y montre plutôt disciple de Boèce, que continuateur des Arabes. Les principaux sont le De numéro rum divisione et la Régula de çibaco 00mputi où il emploie un système de numération différent de celui des Latins, alors seul usité. C’est en somme la notation décimale moins le zéro, et on désignait ce procédé sous le nom d'abaque.

Dans sa Geometria il donne d’abord les premières définitions, en commençant toutefois par celle du corps solide, puis il passe à la nomenclature des mesures romaines dont l’usage s’était conservé. Il en énumère un certain nombre : le digitus , le palmus (quart du pied), la pertica (d’où est venu la perche), la leuca (d’où dérive notre lieue), etc. Aux chapitres suivants il étudie les triangles rectangles en appliquant les méthodes grecques qui fournissent des nombres rationnels pour les cotés; mais il utilise concurremment d’autres règles conduisant à des nombres fractionnaires.

Parmi les questions intéressantes qu’il y traite se trouve la suivante : la surface et l’hypoténuse étant

donnés, trouver les deux côtés. Ce problème est assez remarquable pour l’époque, puisqu’il répond à une équation du second degré. L’auteur aborde ensuite la Géométrie pratique. Il passe en revue les moyens propres à déterminer la profondeur d’un puits, la hauteur d’un monument, la distance d’un objet inaccessible, etc. La fin de son livre est moins heureuse, car, dans ses formules relatives aux aires des polygones réguliers, il répète les erreurs des agrimenseurs romains.

On considère comme ses élèves quelques mathématiciens du même siècle, entre autres Adalbolde, Berlinus et Heriger. Mais leurs ouvrages, reflets des doctrines du Maître, ne méritent guère d’être tirés de la poussière des bibliothèques.

Vers la même époque, il faut placer Francox, écolatre 1 de Liège, qui composa un opuscule De Quadraturci circuit (io5o) où il expose une solution nécessairement fausse de ce problème dont la difficulté ne l’effraye pas. On y rencontre toutefois certaines considérations assez nettes. Il montre, par exemple, que l’expression en termes rationnels, même à l’aide d’une série de substitutions, de la racine d’un nombre entier non carré parfait, comme 1 54, est impossible.

En Russie, les études mathématiques commençaient à se poursuivre, mais elles se bornaient à l’arithmétique et à l’arpentage. Le moine Kirique, de Nijni-Novgorod, nous a laissé un Traité des calculs chronologiques et du comput (i 1 34), où il cite d’autres amateurs de la théorie des nombres 2.

La particularité la plus curieuse, constatée dans ces auteurs slaves du moyen âge, est le penchant qui les pousse vers les spéculations arithmético-algébriques, — trait de ressemblance avec les Hindous, et cependant ceux-ci n’eurent aucune relation directe avec l’empire

(ij Revue générale internationale scientifique, n“ i5 (septembre 1897).

(2) L Enseignement mathématique. Paris, n° du i5 mars 1899.

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des Czars. Leurs premiers maîtres furent même les Grecs.

Cependant leur numération était assez rudimentaire. Au xiu siècle elle allait jusqu’à ioooo, puis au siècle suivant on la prolongea jusqu’à iooooooo; enfin du xmB au xvi°, siècle elle se développa de ioooooooo jusqu’aux unités du 5o° ordre. Le domaine embrassé par leur calcul s’élargissait donc lentement. Puis ils arrivèrent à exprimer d’une manière méthodique les multiples des différentes unités par des lettres.

Dans le livre de Kirique on trouve en particulier sous la dénomination « d'heures fractionnaires » les subdivisions de l’heure écrites d’après le système quinaire.

Durant les cinq cents années qui suivirent, les premières écoles fondées par le clergé gréco-bulgare furent peu florissantes au point de vue des études scientifiques. On n’y apprenait même pas à calculer. Les Russes qui désiraient acquérir des connaissances mathématiques étaient obligés de le faire dans des institutions privées. Ces établissements, dirigés par des laïques, vivaient ignorés de FEtat comme des popes, et d’après les rares documents qui nous restent sur leur fonctionnement, on voit qu’on y enseignait à peu près ce qu’on nommait dans le monde latin du moyen âge les « sept arts libéraux », c’est-à-dire la Grammaire, la Dialectique, la Rhétorique, la Musique, l’Arithmétique, la Géométrie et la Cosmographie.

Pour ce qui nous regarde, le programme des études comportait peu de chose : les opérations sur les nombres, le calcul des fractions, certaines notions de métrologie, l’arpentage. Quant à l’Astronomie et au conquit, ils formaient l’objet d’études complémentaires. Mais en 1492, à la fin de la période pour laquelle les calculs relatifs au calendrier avaient été effectués, on sentit la nécessité de les prolonger plus loin, et plusieurs savants indigènes s’en tirèrent à leur honneur.

Le métropolite Zossima se chargea des vingt pre-

Boyiîr. llist. des Malh.

mières années, et Philopé, évêque de Perm, vérifia son travail, puis l’archevêque de Nijni-Novgorod, Ilennadv, le continua pour soixante-dix ans.

Mais, somme toute, la science slave jusqu’à Pierre le Grand ne compte guère. Au moyen âge d’ailleurs celle de l'Europe ne la dépassait pas de beaucoup. Dans l’Université de Paris, la plus ancienne et la plus en renom, on commentait Boèce, on exécutait des calculs soit au moyen de Vabâcus, soit avec le vieux système des jetons représentant chacun une unité, soit selon la nouvelle méthode introduite par Gerbert, à l’aide de jetons numérotés. En Géométrie on était peu avancé. On enseignait des règles et des énoncés de théorèmes sans démonstrations.

Revenons à l’ouest de l’Europe et quelque peu en arrière. L’Ecole arabe va faire sentir sa bienfaisante influence et secouer la torpeur intellectuelle du monde romain. Les connaissances mathématiques s’implantèrent d’abord en Espagne où les Maures s’étaient fixés dès y47- Après trois siècles environ de barbarie ces peuples fondèrent les Universités de Grenade et de Cordoue, pâles reflets de celle de Bagdad. Puis dans la première moitié du xie siècle naît à Séville un astronome de talent Geber-iba-Aphla. Par son traité de. Astronomie i il rendit aisée à ses contemporains la lecture de l’Almageste, en simplifiant les méthodes et en démontrant ce que Ptolémée avait formulé d’une manière trop concise.

Son compatriote Arzaciiel, qui florissaità Tolède vers 1080, crut reconnaître l’excentricité des orbites planétaires, mais celle opinion fut combattue comme contraire aux doctrines admises jusque-là.

Au siècle suivant un moine anglais, Adelhard, vint en Espagne se perfectionner dans la Science, et traduisit pour la première fois les Eléments d’Euclide d’arabe en latin. Un rabbin de Tolède, Abraham ben Ezra, contribua aussi pour sa part à répandre en Europe les

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ouvrages des malhémaliciens musulmans. Gomme livres originaux, il nous a laissé quelques tables astronomiques et une arithmétique. Il vint même professer jusqu’à Rome où il mourut en 1097.

D’autre part, au xne siècle Gérard de Crémone, Platon de Tivoli et le juif Jean d’Espagne publièrent des traductions latines de la plupart des auteurs arabes. Ils s’occupèrent aussi de l 'algorithme, ainsi appelé du surnom de Mohammed-ben-Musa qui en donnant à chaque signe numéral de zéro à neuf une valeur déterminée par sa position, opéra une grande réforme arithmétique, bien (pie cela nous paraisse aujourd’hui si simple et si enfantin !

Mais passons à un savant d’une plus grande envergure, à Jean de Sacro-Bosco qui naquit à Holywood dans le Yorkshire *. Après avoir lait ses études à l’inversité d’Oxlbrd, il vint les terminer à Paris. On ne sait du reste pas grand’chose sur son existence, sinon qu’il enseigna les mathématiques avec le plus grand succès dans un collège de la Montagne Sainte-Geneviève, et qu’il mourut probablement en ia56.

Son Algorithme renferme tout ce qu’on savait sur le nouveau système de notation arabe. Les quatre règles s’y trouvent formulées, et il applique à diverses questions pratiques les principes do proportion. Le livre se termine par différentes formules algébriques propres à résoudre les problèmes les plus communs de la vie courante.

Nous reproduisons ci-après, en fac-similé , la première page d’un manuscrit de ce traité conservé à la Bibliothèque Nationale de Paris. Cette gravure est curieuse car on y voit (ligne 26) la forme de nos chiffres à cette époque. Le 5 et le 4 sont seuls assez notablement modifiés.

(1) Sacro-Bosco, dans le latin du moyen âge, est la traduction de Iloly vvood.

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Fig. io. — Manuscrit de Y Algonthmus de Jean de Sacro-Bosco.

(. Bibliothèque Nationale de Paris , fonds latin n° 7363, xiv° siècle. Cette page traitant de la numération montre (ligne 26) la forme de^ nos chiffres a cette époque.)