RECHERCHES GÉOMÉTRIQUES

graphie (1893) ou art des constructions géométriques, ébauché déjà par Steiner. Il montra que toute construction quelle que soit sa complication est toujours réductible à un petit nombre de constructions faciles et identiques. Au moyen d’une hypothèse naturelle permettant de comparer entre elles ces constructions élémentaires de même nature, il arriva à un système de notation commode où deux nombres, le coefficient de simplicité et le cofficfent d’exactitude, permettent d’analyser et de caractériser une construction géométrique quelconque.

D’autre part, Schœnflies, professeur à l’Université de Gottingue, dans sa Géométrie du mouvement , et le colonel Mannheim dans sa Géométrie cinématique (1894) ont tiré de la Mécanique rationnelle de nouvelles méthodes pour la détermination des propriétés des figures.

Mais sans contredit les recherches les plus originales de cette période se rattachent aux Géométries non euclidiennes , et c’est par elles que nous terminerons cet exposé bien incomplet de la Science contemporaine.

Depuis longtemps, on a cherché à démontrer le fameux axiome posé il y a vingt siècles par Euelide, à savoir : par un point on ne peut mener qu'une parallèle à une droite donnée.

Ces tentatives demeurèrent infructueuses. Cependant, à la fin du xviii0 siècle, un jésuite italien, Saccheri, voulut fonder une Géométrie reposant sur un principe différent du célèbre postulat; enfin, au début du xix°, un russe, Lobatschevsky, et un hongrois, Jean Bolyai, aperçurent à peu près en même temps l’impossibilité de celle démonstration. Leurs travaux publiés indépendamment les uns des autres avaient sans doute été inspirés par les doctrines du philosophe Kant qui, dans un passage de sa Critique de la raison pure , indiquait une nouvelle considération de l'espace. Pour ce dernier, l’espace existait a priori , précédant

Boyer. Hist. des Math. iG

toute expérience, comme forme complètement subjective de notre intuition.

Nicolas Lobatchevsky était né en 1793 à Makarief, dans la province de Nijni-Novgorod, et fit ses études à l'Université de Kazan qu’on venait de fonder. Il y suivit les cours de Bartels, puis obtint, en. 1811, le titre de licencié, avec une thèse de Mécanique céleste. Dès lors il s’absorba dans de profondes méditations *. A l’hypothèse de Kant, il en opposa une autre affirmant la relativité de nos notions d’espace. Sa façon de procéder est simple : il préfère aux méditations métaphysiques la vérité scientifique qui repose sur l’expérience. « Les premières données, dit-il dans ses Nouveaux Principes de Géométrie (1 836-38), seront incontestablement les concepts que nous acquérons dans la nature au moyen de nos sens; la raison peut et doit les réduire au plus petit nombre possible, pour qu’elles servent ensuite de base solide à la science. » Gela posé, voici comment il procède au développement de sa doctrine.

Il énonce au début l’axiome suivant : par un point on peut mener plusieurs parallèles à une droite donnée. Puis, tout en conservant les autres axiomes primordiaux de la Géométrie ancienne, il en tire une série de conclusions qui, s’enchaînant d’une façon logique et sans aucune contradiction, constituent la Géométrie noneuclidienne.

Naturellement, ces théorèmes diffèrent de ceux auxquels nous sommes habitués. Citons-en deux exemples :

La somme des angles d’un triangle est toujours plus petite que deux droits, et la différence entre cette somme et deux droits varie proportionnellement à la surface du triangle.

La construction d’une figure semblable à une figure

(1) -Vassilief. Eloge historique de Nicolas- J. -Loba ich cas hq , traduit du russe par M|,e Fichtenholtz, Paris, librairie Hermann, 1896. Consulter également un remarquable article de II. Poincaré dans la Revue generale des Sciences, t. II. Paris, 1891.

Fig-. 34.

Porli ait do Nicolas Lohatchevsk y. morl ù Kazan (Russie) en i85(5. (D’après une photographie.)

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donnée, mais de dimensions différentes, est impossible.

Ces curieuses vues mirent du temps à se répandre, et le savant russe n’eut pas la satisfaction d’assister à leur triomphe. Sa carrière s’était pourtant poursuivie avec honneur. Il était devenu professeur, et quand il mourut en 1 856 il occupait les fonctions de recteur de l’Université où il était entré comme simple étudiant. Quatre ans plus tard Iloüel publia une traduction française de son ouvrage sur la Théorie des parallèles , et dès lors ces idées pénétrèrent un peu partout. En France, en Allemagne, en Angleterre et en Italie, on vit éclore de nombreux travaux dans le champ qu’il venait de défricher. Lobatchevsky pas plus que Bolyai n’avaient, en effet, épuisé le sujet, et Riemann, en 1867, ouvrit de nouveaux horizons en considérant l'espace comme sphérique. Dans cette hypothèse l’espace est sans limites, puisqu’en continuant à marcher toujours droit devant soi on n’est jamais arrêté; et cependant il est fini, car on peut faire également le tour d’une sphère.

Pour construire cette Géométrie, son inventeur rejette le postulatum et le premier axiome d’Euclide : deux points déterminent une droite. Si effectivement on ne peut, en général, tracer entre deux joints qu’un grand cercle (jouant ici le rôle de la droite), il y a une exception au cas où les deux points sont aux extrémités diamétralement opposées; une infinité de grands cercles peuvent y passer. D’une façon analogue, dans la Géométrie de RiemaSn, il se trouvera certains cas où par deux points, passeront une infinité de droites . Les propositions qu’elle renferme sont différentes bien entendu, et de la Géométrie de Lobatchevsky et de celle d’Euclide.

Prenons les deux exemples correspondant à ceux de tout à l'heure : ils deviennent ceux-ci dans la doctrine de Riemann.

La somme des angles d’un triangle est plus grande que (Jeux droits.

Le nombre des droites qu'on peut tracer parallèle-

ment à une droite donnée par un point fixe est égal à zéro.

D’autre part Eugemo Beltrami, professeur à l’Université de Rome, ramena dans une suite de mémorables travaux la Géométrie de Lobatchevsky à deux dimensions, à n’être plus qu’une branche de la Géométrie ordinaire, à l’aide des considérations ci-après. Supposons qu’une figure quelconque soit tracée sur une toile flexible et inextensible appliquée sur une surface de manière que quand la toile se déforme les différentes lignes de cette figure changent d’aspect, leur longueur restant la même. La flexibilité et l’inextensibilité empêcheront en général cette figure de se déplacer sans quitter la surface, à moins qu’on n’ait affaire au y. surfaces à courbure constante. Mais celles-ci sont de deuxespèces : les unes sont à courbure positive , et se déforment de cette manière en s’appliquant sur une sphère (Géomé trie de Riemann) ; les autres sont à courbure négative , et Beltrami a montré que la Géométrie de ces surfaces n’étaient ni plus ni moins que celle de Lobalschevsky.

En outre un mathématicien suédois Sophus Lie1, enlevé malheureusement à la Science le 18 février 1899, en cherchant à réduire au minimum le nombre des axiomes dont on se sert implicitement dans les démonstrations habituelles, est arrivé, en posant simplement les prémisses suivantes — l’espace a n dimensions; le mouvement d’une figure invariable est possible; pour déterminer la position de celte figure dans l’espace il faut P conditions ; — Lie est parvenu, dis-je, à la curieuse proposition suivante : le nombre des géométries compatibles avec ces prémisses est limité.

Enfin, et cette remarque clora notre livre, quelques astronomes ont été amenés à se demander si « l’espace

(1) S. Dickstein. I Viadvmosci Matematyczne, t. III, fasc. 3-4. A arsovie,

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physique de notre expérience » est celui de Lobatchevsky, et si nos télescopes permettaient de résoudre le problème. Peirce conclut par l’affirmative en se basant sur de délicates observations des parallaxes d’étoiles fixes. En admettant comme acquis ce dernier résultat, il ne s’ensuivrait nullement qu’une seule de ces géométries serait exacte. La question ainsi posée n'a aucun sens. Gomme l’a dit Poincaré, une Géométrie ne saurait être plus vraie qu’une autre : elle est seulement plus ou moins commode. La Science fondée par Euclide, il y a deux mille ans, n’a donc rien à redouter de l’avenir. Simple, et en parfaite harmonie avec les propriétés des corps solides qui nous, environnent nous n’aurions aucun intérêt à l'abandonner.

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