GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE ET GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES

Toutes les branches des Mathématiques ont reçu de l’impulsion dans la seconde moitié du xixe siècle. La science d’Euclide ne fit pas exception à cette règle. Le Traité des propriétés projectives des figures de Poncelet ouvrit des routes nouvelles à la Géométrie pure en agrandissant ses ressources, en généralisant les conceptions et en les rapprochant de celles de la Géométrie analytique. 11 offrit des moyens propres à déceler d’une façon aisée les propriétés dont jouissent les figures quand 011 les envisage d’une manière abstraite et indépendamment d’aucune grandeur absolue et déterminée. Ges propriétés se retrouvent à la fois dans toutes les projections ou perspectives de la figure considérée. O11 les a alors distinguées des autres en les désignant sous le nom générique de « propriétés projectives » destiné à en rappeler la nature.

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Les deux volumes qui forment l’ouvrage parurent l'un en 1822, l’autre en 1866; mais le savant mit à jour pendant cet intervalle les découvertes les plus importantes qu’il y expose. Elles ont contribué puissamment à fonder la Géométrie moderne, si différente de la Science antique. La marche de celle-ci est timide ; toujours, dans les démonstrations, 011 raisonne sur des grandeurs déterminées, des figures réellement décrites. Celle-là, plus hardie et plus subtile, ignore le plus souvent les formes individuelles représentant les objets sensibles, ou, en tout cas, s’en dégage autant que possible.

Le Traite de Poncelet renferme outre l’exposition de ces principes, les notions élémentaires des pèles et polaires réciproques, une théorie de la perspective des reliefs ou bas-reliefs, et les principales propriétés des centres île moyennes harmoniques. Il fut aussi pour son auteur l’origine d'une polémique avec Chasles. Ce dernier ayant fait paraître en 1 83 j un Mémoire sur deux principes généraux de la Science, la dualité et Y homographie, Poncelet revendiqua le premier comme lui appartenant.

[Michel Chasles était né à Epernon (Eure-et-Loir) le i5 novembre 1798 et fut reçu à l Ecole Polytechnique en 1812, puis à sa sortie donna sa démission pour aller exercer à Chartres la profession d’agent de change, sans cesser de se livrer aux spéculations scientifiques. Ses découvertes lui valurent bientôt d’être élu correspondant de l’Académie (1839) et professeur à la Sorbonne deux ans plus tard. Il mourut à Paris le 18 décembre 1880. Dans ses belles recherches il s'efforça d'affranchir la Géométrie des procédés de calcul que les Descaries, les Newton et les Leibniz avaient introduits et qui, en quelque sorte, avaient mis la Science de l’étendue sous la tutelle du calcul. A la base de ce monument, Chasles posa la notion du rapport anharmonique. Ce fut l’origine de ses belles théories de l’homographie et de l’homologie et il puisa, dans un mode de transformation particulier ou à un point correspond une

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droite, à une droite un point, sa féconde doctrine de la dualité. Grâce à lui, l’idée de transformations des figures1 prit dès lors une place considérable dans la nouvelle Géométrie. On vit nettement les analogies existantes entre les transformations de figures et celles

d’équations. Comme, d’autre part, on peut imaginer des transformations en nombre infini, celte méthode devint entre les mains des géomètres un puissant mode d’investigation.

Plus près de nous, les notions établies par Poncelet ont été généralisées. Avec la Géométrie synthétique de Steiner (1867), avec les Eléments de Géométrie projective de Luigi Cremona, l’érudit professeur de b Université de Rome et avec la Geometria projective 1 du mathématicien espagnol Torroja (i8t)3), ils ont fini par former une science particulière dont les conquêtes s’augmentent chaque jour.

Le dernier quart de ce siècle a vu s’édifier d’intéressantes théories. En i8j3, M. Emile Lemoine publia un mémoire relatif à un point remarquable du plan d'un triangle. O11 avait trouvé de nombreuses propriétés de ce point, mais sans faire attention qu’elles s’appliquaient toutes à ce dernier, dénommé aujourd'hui « point de Lemoine ». Plusieurs savants, entre autres IL Brocard, en France, et Neuberg, en Belgique, dirigèrent alors leurs recherches dans celte voie et la Géométrie du triangle se fonda. Depuis celle époque, des centaines de travaux ont paru sur ce sujet dans les divers journaux mathématiques du monde.

Un doit encore à Lemoine l’invention de la Géométro-

(1) Voici en quoi consiste celte série d’opérations, connues des Grecs, mais utilisée seulement par Chasles et ses successeurs. On déduit d une ligure F grâce à des constructions nettement définies, une nouvelle figure 1<V ; et réciproquement, on pourra revenir de la figure F' à la figure F. Si donc une propriété est facile à découvrir dans la figure F' il s’ensuivra qu’on possédera par le fait même la propriété correspondante de la figure F, souvent très pénible à trouver directement Voir Laisant. La Math cm a t i// u e . Paris,