CHAPITRE XI. DÉVELOPPEMENT DE l'aRITHMÉTIQUE Iq

il en fut ainsi dans les monastères et les collèges jusque vers i65o, mais il est probable que, même dans ces deux cas, on faisait à partir du quinzième siècle les opérations par les méthodes algorithmiques. En Angleterre, soit dans les registres des paroisses, soit dans les archives généalogiques des châteaux, on ne trouve, avant le seizième siècle, aucun exemple d'une date ou d'un nombre écrit ■en chiffres arabes ; ils sont pourtant employés en 1^90 dans l'état des revenus du chapitre de Saint-André, en Ecosse, pour la mention d'une rentrée. Les chiffres arabes furent introduits à Constantinople par Planude (') à peu près à l'époque où ils pénétraient •en Italie.

L'histoire de l'arithmétique commerciale moderne commence donc en Europe avec son emploi par les négociants italiens et nous devons son précoce développement et ses perfectionnements aux marchands et aux écrivains Florentins. Ce sont eux qui inventèrent le système de tenue des livres par double entrée, consistant à inscrire chaque transaction du côté crédit sur un grand livre et du côté débit sur un autre.

Ce sont eux aussi qui classèrent en différents groupes les problèmes auxquels on pouvait appliquer les méthodes arithmétiques : règle de trois, intérêts, profits et pertes, etc. Ils réduisirent aussi au nombre de sept les opérations fondamentales de l'arithmétique, à savoir : la numération, l'addition, la soustraction, la multiplication, la division, l'élévation aux puissances et l'extraction des ra- •cines, en souvenir, dit Pacioli, des sept dons de l'Esprit Saint. Brahmagupta avait donné vingt procédés de calcul différents en déclarant « que leur connaissance complète était essentielle à tous ceux qui désiraient devenir calculateurs » . Quoiqu'on pense de la raison qui a poussé Pacioli à en réduire le nombre, la simplification qui en résulta fut avantageuse. On peut ajouter que des écoles d'arithmétique furent créées dans plusieurs villes de l'Allemagne, surtout à partir du quatorzième siècle et qu'elles contribuèrent beaucoup à familiariser les négociants de l'Europe septentrionale et occidentale avec l'arithmétique commerciale et algorithmique.

Les opérations de cette arithmétique ne laissèrent pas d'être tout d'abord très embarrassantes. Les principaux perfectionnements

l^) Voir ci-dessus, p. 121.

igÔ HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

introduits successivement dans l'algorithme italienne primitive furent : i" la simplification des quatre opérations fondamentales; 2° l'introduction de signes pour l'addition, la soustraction, l'égalité et (bien que moins importants) pour la multiplication et la division ; 3° l'invention des logarithmes ; et 4° l'usage des décimales. Nous allons les considérer l'un après l'autre. Les Arabes faisaient généralement l'addition et la soustraction en allant de gauche à droite, La méthode moderne consistant à opérer de droite à gauche aurait-été, dit on, introduite par un Anglais du nom de Garth, dont la vie nous est inconnue. L'ancienne méthode continua à être partiellement en usage jusque vers i6oo; de nos jours encore elle serait plus avantageuse pour les calculs d'approximations, où il est nécessaire de conserver seulement un certaia nombre de décimales.

Les Indiens et les Arabes avaient plusieurs manières d'effectuer la multiplication. Elles étaient toutes quelque peu laborieuses, d'autant plus que les tables de multiplication, si elles n'étaient pas inconnues, n'étaient dans tous les cas employées que rarement. L'opération était réputée très difficile, et la vérification de l'exactitude du résultat au moyen de la preuve par neuf fut imaginée par les Arabes. D'autres systèmes variés de multiplication ont été successivement employés en Itahe ; Pacioli et Tartaglia en donnent plusieurs exemples; et l'usage de la Table de multiplication — allant au moins jusqu'à 5 X 5 — devint général. Avec cette table réduite on peut obtenir le résultat de la multiplication de tous les nombres jusqu'à lo X lo par la méthode désignée sous le nom de regala igiiavi. C'est une application de l'identité :

(5 H- a) (5 -H 6) = (5 — a) (5 — 6) + lo (a + 6)

La règle s'énonçait généralement sous cette forme : supposonsque 5 soit représenté par la main ouverte, 6 par la main ouverteavec un doigt fermé, 7 parla main ouverte avec deux doigts fermés, 8 par la main ouverte avec trois doigts fermés et enfin 9 par la main ouverte avec quatre doigts fermés — ; pour multipHer un nombre par un autre on représente le multiplicande par une main et le multiplicateur par l'autre main conformément à la convention cidessus, on multiplie le nombre des doigts ouverts dans l'une des mains par le nombre des doigts ouverts dans l'autre, en ayant soin