CHAPITRE XI. DEVELOPPEMENT DE L ARITHMETIQUE 20I

quotient est 5, et en re transcrivant le diviseur, le tableau de l'opération est :

5 X 8 = 4o et en retranchant ce produit de /jg on trouve 9. Ecrivons ce chiffre 9 à la droite du [\, biffons 49 et 8 et nous avons le résultat suivant :

i330 fl5

Enfin 5 x 4 = 20 qui retranché de 90 donne pour reste 70. Inscrivons 70 et biffons 90 et 4» nous obtenons le dernier tableau de l'opération avec le reste 70 :

Les trois zéros extrêmes que l'on voit dans l'exemple de Tartaglia ne sont pas nécessaires, ils n'influent en rien sur le résultat ; de même il est évident qu'un chiffre du dividende peut être déplacé d'un ou deux rangs dans la môme colonne verticale, si on le juge convenable pour la marche de l'opération.

Les écrivains du moyen âge connaissaient la méthode actuellement en usage, mais ils considéraient comme plus simple le procédé par ratures que nous venons de décrire. Dans certains cas ce dernier €st très incommode comme on peut le voir par l'exemple suivant pris dans Pacioli. Il s'agit de diviser 234oo par 100 et le résultat s'obtient comme le montre le tableau ci-après :

La méthode de la galée était employée dans les Indes et c'est peutêtre là que les Italiens l'ont prise. A peu près vers 1600 elle cessa d'être pratiquée en Italie, mais elle se maintint encore partiellement pendant au moins un siècle dans d'autres contrées. Nous pourrionsajouter que les bâtons de Neper peuvent être employés, et le sont quelquefois, pour obtenir le quotient de la division d'un nombre par un autre.

II) Les signes -f- et — pour indiquer l'addition et la soustraction (^) se trouvent dans l'arithmétique de Widman, publiée en i/iSg, mais ils furent signalés pour la première fois d'une façon générale, tout au moins comme symboles opératoires, par Stifel en 1544. Nous croyons être dans le vrai en disant que Yiète en 1691 fut le premier écrivain bien connu qui utilisa ces signes d'une façon constante dans ses ouvrages, et que ce ne fut pas avant le commencement du dix-septième siècle qu'ils devinrent des symboles admis et bien connus. Le signe == pour indiquer l'égalité {^} a été introduit par Record en loS".

III) L'invention des logarithmes (^) sans lesquels un grand nombre de calculs numériques que nous avons constamment à effectuer seraient pratiquement impossibles, est due à Neper de Merchiston. Cette découverte fut signalée pour la première fois au public dans l'ouvrage intitulé Mirifici Logarilhmorwn Canonis Descriptio publié en 16 14 et dont une traduction anglaise parutl'année d'après (*),, mais il avait déjà vers 1694 communiqué un sommaire de ses résultats à Ïycho-Brahé. Dans cet ouvrage Neper montre comment les logarithmes peuvent se déduire de la comparaison des termescorrespondants d'une progression arithmétique et d'une progression géométrique. Il fait comprendre leur usage par des exemples et donne des tables avec sept décimales des logarithmes des sinus et des tangentes de tous les angles compris dans le premier quadrant, et variant de minute en minute. Sa définition du logarithme d'unequantité 11 correspond au nombre défini aujourd'hui par le symbole ; 10" loe-pf —

(') Voir plus loin.

(-) Voir plus loin.

(') Voir l'article sur les LocjarUhmi clans V Encyclopœdia Brilannica, neuvièmeédition ; voir aussi plus loin.

(■*) Réimpression fac-similé. Paris, A. Hebma.sn, 1890.

CHAPITBE XI. DÉVELOPPEMENT DE l' ARITHMÉTIQUE 20^

Cet ouvrage est pour nous des plus intéressants, car il constitue la première œuvre de valeur ayant contribué au progrès des mathématiques et qui soit due à un auteur britannique.

La méthode employée pour calculer les logarithmes a été expliquée dans la Constriictio, ouvrage posthume puhlié en 1619 : elle semble avoir été très laborieuse et était basée soit sur le calcul direct des puissances et des racines, soit sur la formation de moyennes géométriques. La méthode reposant sur le calcul d'une valeur approchée d'une série convergente a été introduite par Ne^vlon, Cotes et Euler.

Neper avait décidé de changer la base de son système pour une autre qui fût une puissance de 10, mais il mourut avant d'avoir mis son dessein à exécution.

La rapide constatation faite en Europe des avantages que présentait l'emploi des logarithmes dans les calculs pratiques fut principalement due à Briggs, qui, l'un des premiers, reconnut la valeur de l'invention de Neper. Briggs ayant constaté de suite que la base employée par Neper pour le calcul de ses logarithmes était très incommode, alla le voir en 1616, et l'engagea à la remplacer par une base décimale. Neper reconnut que ce serait un perfectionnement.

Une fois de retour, Briggs se mit immédiatement à préparer des tables à base décimale, et en 16 17 il fit paraître une table des logarithmes des nombres de i à 1000, calculés avec quatorze chiffres décimaux.

Il paraîtrait qu'indépendamment de Neper, J. Bûrgi avait construit avant 1611 une table des antilogarithmes d'une suite naturelle de nombres; elle fut publiée en 1620. La même année, une table des logarithmes à sept chiffres décimaux des sinus et des tangentes des angles du premier quadrant fut calculée par Edmond Gunter, professeur à Goresham. Quatre ans plus tard celui-ci imaginait une sorte de règle à calcul, ou, comme il l'appelait, « une ligne de nombres » qui permettait de trouver mécaniquement le produit de deux nombres.

Dans la dernière des années dont il vient d'être question, c'està-dire en 1624, Briggs fit paraître ses tables des logarithmes des nombres ainsi que celles des logarithmes de plusieurs fonctions trigonométriques. Ses logarithmes des nombres naturels sont égaux.

à ceux correspondant à la base lo, multipliés par lo^ et ceux des sinus des angles aux logarithmes à base lo multipliés par lo'^. Le calcul des logarithmes de 70000 nombres qui avaient été omis dans les tables de Briggs de 162/i fut effectué par Adrien Vlacq et le travail parut en 1628 : avec cette addition la Table donne les logarithmes de tous les nombres de i à ici 000.

L' Arilhmetica Logarilhmica de Briggs et Vlacq forme en substance un ouvrage semblable aux Tables existantes : certaines parties ont été calculées de nouveau à différentes époques, mais aucune table d'une égale étendue et aussi parfaite, basée en entier sur de nouveaux calculs n'a été publiée depuis. Ces tables furent complétées par la Trigonometrica Britannica de Briggs, qui contient non seulement des tables des logarithmes des fonctions trigonométriques, mais aussi des tables de leurs valeurs naturelles : cet ouvrage fut publié après sa mort en i633. Une table des logarithmes, correspondant à la base e, des nombres de i à i 000 et des sinus, tangentes et sécantes des angles compris dans le premier quadrant avait déjà été publiée à Londres, vers 1619, par Jean Speidell, mais bien entendu, dans la pratique des calculs, elle n'offrait pas les mêmes avantages que celle des logarithmes à base 10.

Vers i63o, l'usage des Tables de logarithmes était général.

IV) L'introduction de la notation décimale pour les fractions est également (selon nous) due à Briggs. En i585, Stevin avait employé une notation à peu près semblable, car il écrit un nombre tel que 25.879 (') sous la forme 25, 3' 7" 9'" ou encore comme il suit 25 @ 3 ® 7 @ 9 ® ; Neper, en 1617, avait employé la première notation lorsqu'il faisait ses essais pour construire ses réglettes ; et Rudolff s'était servi d'une notation à peu près identique. Biirgi employait également les fractions décimales, écrivant i.4i4

sous la forme . Mais les écrivains que nous venons de men-

tionner n'avaient utilisé cette notation que parce qu'elle leur fournissait une façon concise de faire connaître les résultats, ils n'en faisaient pas usage dans les opérations. La même notation se trouve cependant dans les tables publiées par Briggs en 161 7 et semblerait avoir été adoptée par lui dans tous ses ouvrages ; bien qu'il

(•) Nous avens conservé ici la façon d'écrire les nombres décimaux usitée en Angleterre : 25.879 et non 25,879 comme en France.