CHAÎPITRE XIV. L HISTOIRE DES MATHEMATIQUES MODERNES
cette époque sont à la portée de tous, nous pouvons parler de la vie et des écrits des mathématiciens modernes d'une façon plus concise que nous ne l'avons fait pour leurs prédécesseurs, et nous borner plus strictement que par le passé à mentionner ceux qui ont contribué d'une façon effective à faire progresser la science.
Pour donner de l'unité à une histoire des mathématiques, il est nécessaire d'adopter un ordre chronologique, mais on peut le faire de deux façons. Ou étudier séparément le développement des différentes branches des mathématiques pendant une certaine période (pas trop longue) et analyser les travaux de chaque mathématicien, quel que soit la nature] de ses travaux. Ou encore décrire la vie et les écrits des mathématiciens d'une certaine période et suivre pour chacun d'eux le développement des différentes branches de la science qu'il a étudiées. Personnellement nous préférons cette seconde manière d'envisager la question, et à notre point de vue elle présente cet avantage qui est à considérer, d'ajouter un intérêt, pour ainsi dire humain, à celui de la narration. Il est certain que celte façon de procéder devient plus difficile à mesure que la complexité du sujet augmente et lorsque nous arriverons au dix-neuvième siècle il pourra être nécessaire de traiter séparément les diverses branches des mathématiques ; en attendant et autant qu'il nous sera possible, nous continuerons l'exposé de notre histoire par la biographie des auteurs.
A première vue nous pouvons distinguer dans l'histoire des mathématiques modernes cinq phases distinctes.
Dans la première, nous nous trouvons en présence de l'invention de la géométrie analytique par Descartes, en iGSy, et presque en même temps s'introduit la méthode des indivisibles, au moyen de laquelle on peut déterminer par sommation les aires, les volumes et la position des centres de gravité d'une n^anière analogue à celle que nous fournit de nos jours le calcul intégral. La méthode des indivisibles fut bientôt remplacée par le calcul intégral. Quant à la géométrie analytique, on n'a jamais cessé de la considérer comme une science indispensable à tout mathématicien, et comme une méthode de recherches incomparablement plus puissante que la géométrie des anciens. Cette dernière constitue, sans nul doute, un admirable enseignement intellectuel, et permet fréquemment une démonstration élégante d'une proposition dont l'exactitude est
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déjà connue, mais elle exige une manière de procéder spéciale pour chaque problème particulier que l'on aborde.
La géométrie analytique nous donne quelques règles simples au moyen desquelles on peut établir une proposition géométrique ou reconnaître son inexactitude.
Dans la seconde période, nous avons l'invention, une trentaine d'années plus tard, du calcul des fluxions ou calcul différentiel.
Toute les fois qu'une quantité varie d'une façon continue suivant une certaine loi (et il en est presque toujours ainsi dans la nature), le calcul différentiel nous permet de suivre son accroissement ou sa décroissance ; et le calcul intégral nous fournit le moyen de retrouver la quantité primitive d'après la formule qui donne la loi de variation. Anciennement chacune des diverses fonctions de x, telles (i -h œ)'", log (i -\- x), sin x, arc tg. x etc.. ne pouvait être développée suivant les puissances croissantes de x qu'au moyen seulement d'un procédé spécial à chaque fonction particulière considérée ; mais avec l'aide du calcul différentiel le développement d'une fonction quelconque de x suivant les puissances croissantes de x est, en général, réductible à une règle' unique embrassant tous les cas possibles. De même la théorie desmaxima et des minima, la détermination des longueurs des courber, et des aires qu'elles limitent, la détermination des surfaces des volumes, des centres de gravité et bien d'autres problèmes, peuvent se ramener à des règles très simples. Les théories des équations différentielles, du calcul des variations, des différences finies, et ne sont plus que le développement des principes de ce calcul.
La géométrie analytique et le calcul différentiel devinrent les principaux instruments des progrès ultérieurs en mathématiques. Chacun d'eux permet de construire une sorte de machine. Pour résoudre un problème, il suffisait de soumettre à son action la fonction particulière traduisant la question, l'équation de la courbe ou de la surface considérée, et le résultat s'obtenait naturellement en effectuant certaines opérations simples. La validité du procédé avait été démontrée une fois pour toutes et on ne se trouvait plus dans l'obligation d'imaginer une méthode spéciale pour chaque fonction, courbe ou surface.
Dans la troisième phase, Huygens, poursuivant les traces de
