AI A

m M <C M, A ou r «cr -. — "■

Ayant ainsi démontré l'existence de ces deux limites, il forme leur valeur numérique lorsqu'il a besoin d'un logarithme exact ; et lorsqu'elles diffèrent seulement au-delà de l'ordre de décimales qu'il se propose de conserver, il prend la moyenne entre elles, comme étant une valeur suffisamment exacte, ce qui est en effet évident.

Puisque nous connaissons l'expression analytique exacte de ses logarithmes, nous pouvons apprécier le degré absolu de cette approximation ; pour cela, revenons à la relation générale,

A — j = Ae ^ .

ANALYSE DES OUVRAGES ORIGNAUX DE NAPIER SSg

En prenant de part et d'autre les logarltmes dans le système hyperbolique, il viendra

x = —klog hyp. (-^'^) = — A log hyp. (i — l)' et en développant le second membre,

c'est la valeur vraie du logarithme népérien x en fonction de j. Maintenant la limite supérieure -r = ou : ... 1. 1 r 1

^ A — y Y étant développée, donne

y2 y3 yt

ajoutant donc la limite inférieure y, et prenant la moyenne des deux, comme le fait Napier, on a pour résultat.

On voit donc qu'en prenant cette moyenne pour la vraie valeur de son' logarithme, c'est-à-dire pour x, l'erreur de Napier ne commence qu'aux quantités du troisième ordre ; et encore, pour cet ordre, elle consiste

seulement dans l'excès de —^ y^ sur s-vi j'. de sorte qu'elle est seulement -fÇKjy^- D'après cela, si l'on veut savoir pour quelle valeur de y

elle produira une unité sur les décimales du quatorzième ordre de ses logarithmes, ce qui répond au vingt-unième des nôtres, il n'y a qu'à supposer

rT2 y ^^ 0,00000 ooooooo oo i ,

et puisque A = i ooooooo, il viendra v =: y 6 ; c'est-à-dire que y sera plus grand que i et moindre que 2 , d'où A — y moindre que 9999999, et plus grand que 9999998. Or, en effet, l'emploi fondamental que Napier fait de ces limites, pour la construction de sa table, s'applique au nombre 9999999, et aussi le logarithme se

trouve-t-il seulement en erreur de T^ d'unité sur les décimales de l'ordre

quatorzième comme on le verra plus loin.

Ici Napier établit plusieurs théorèmes très dignes de remarque, non

34o HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

par leur complication, car ils sont avi contraire fort simples, mais par l'extrême recherche d'exactitude qu'ils annoncent. Le but de ces théorèmes est de fixer les limites définitives d'approximation des résultats numériques, lorsqu'ils sont obtenus par l'addition, soustraction, multiplication ou division de quantités qui ne sont elles-mêmes connues^ qu'entre certaines limites définies d'erreur.

Il démontre ensuite l'équidifFérence des logarithmes pour les nombres qui se suivent continûment dans un même rapport. Ce théorème n'est au fond que celui d'Archimède sur les relations qu'ont entre eux les termes correspondants des deux progressions de VArénaire. Mais Napier en tire un corollaire qui lui devient fort utile pour déduire, avec une précision indéfinie, le logarithme d'un nombre, du logaritlmifr d'un autre c[ui en est voisin. Soient N le plus grand des deux nombres, Ni le moindre ; cherchez-en un troisième N^ qui soit à X, comme N, est à N, de manière qu'on ait

Puisque N — Nj est supposé une quantité très petite, Nj différera trèspeu de A ; et en outre le terme qui exprime cette différence sera par sa . petitesse même facile à calculer exactement. Mais, par hypothèse, A sert d'origine à la série des nombres, et l'on a pris zéi'o pour son logarithme. Gonséquemment Nj en différant peu, son logarithme pourra être donné

avec assez de précision par la moyenne des deux limites r et ^ — -^ — , qui

qui deviennent ici A — jN^et ^ ^ , ou, en éliminant iN 3, -^ — ^^jj — *^

N et 7>T Af-\ ; on iugcra aisément de cette condition par l'étendue

même de ces limites, en voyant si elle:> diffèrent seulement dans lesordres de décimales que l'on est résolu de négliger. Alors en prenant leur moyenne, ce sera la difl'érencc cherchée des logarithmes de N et de N, qu'il ne restera plus cju'à appliquer dans le sens convenable à celui de ses logarithmes qui est donné. Napier n'a pas présenté ces réductions sous la forme analytique que nous venons d'employer, et il est évident qu'il ne pouvait le faire à celte époque, mais sa méthode et sa marche sont exactement équivalentes.

Si l'on veut connaître les nouvelles limites d'erreur que la réduction ainsi opérée introduit dans le résultat final, c'est-à-dire dans la détermination du logarithme inconnu, il n'y a qu'à employer séparément

ANALYSE DES OUVRAGES ORIGINAUX DE NAPIER o/j I

les limites trouvées pour le logarithme de N2 ^^ les combiner avec celles du logarithme donne, soit par somme, soit par différence, selon qu'il sera nécessaire ; de manière à connaître les limites extrêmes du résultat final, conformément aux règles établies plus haut par ?sapier pour •ce mode de combinaison.

Mais il peut arriver que le mojen proportionnel auxiliaire Nj ne se trouve pas assez voisin de X pour que son logarithme soit donné imi-aédialement avec une précision suffisante par la moyenne des deux limites qui l'embrassent. Alors, comme la table générale des logarithmes calculés commence au nombre A. on cherchera dans cette table le nombre qui diffère le moins de N.,. Soit ce nombre N^ ; son logarithme sera connu par la table même ; il ne restera donc qu'à détei'miner la différence des logarithmes de N^ et de N3, ce qui se fera par un nouveau moyen auxiliaire N^, comme nous venons tout à l'heure ■de l'expliquer. Si N^ se trouve assez près de A pour que son logarithme puisse être assigné avec une exactitude suffisante par la moyenne des limites qui l'embrassent, on en déduira celui de N^, puis enfin celui •de N ou de Nj ; mais, si Nj se trouvait encore compris entre des limites trop larges, on le comparerait encore au nombre tabulaire qui en approche le plus, et l'on formerait un nouveau moyen auxiliaire N.^ pour détei'mincr la différence des logarithmes ; puis, au besoin, on recourrait à un autre, à un autre encore, jusqu'à ce qu'enfin les limites du dernier logarithme dilTcrent entre elles aussi peu qu'on le voudra.

Ces préliminaires étant établis, je passe à la construction des tables. Une disposition très ingénieusement choisie par Napier, c'est d'avoir pris sa progression géométrique descendante, ce qui lui permet d'en former les termes successifs avec autant de précision qu'il le désire par de simples soustractions successives sans multiplications ni divisions. Ainsi, prenant pour terme supérieur le nombre 10 000 000, si la raison de la progression doit être v">--'-'-'^. comme il le fait dans une '■ "^ 1 0000000

première table préparatoire indispensable à expli(!juer d'abord, il est évident qu'il suffira de retrancher du premier terme looooooo, sa dixmillionième partie, ou simplement i pour avoir le second terme de la progression qui sera 9999999 ; puis de celui-ci encore ôtant sa dixmillionième partie, ou 0,9999999, on aura le troisième terme et ainsi de suite, aussi loin que l'on voudra. Napier pousse d'abord cette première table jusqu'à 101 termes en comptant le premier. On compiendra tout à l'heure la raison de ce nombre. Pour le moment, je me borne à présenter la succession de ces calculs, comme le fait Napier, en y signalant l'usage des décimales avec la même généralité et

simplicité que nous leurs donnons aujourd'hui, sauf qu'il emploie un point au lieu d'une virgule pour les séparer.

Rangs successifs Termes successifs

des termes, de la

à partir du premier progression géométrique.

I OOOOOOO . OOOOOOO I .OOOOOOO

9999999 -OOOOOOO •9999999

etc. etc.

La vraie valeur de ce centième terme, calculée directement avec vingt décimales, par nos méthodes de développement actuelles, est

On l'obtient aisément, d'après l'expression générale de ce 10 1* terme qui est 10'' (i — a)'"", a représentant la fraction un dix-millionième,

ou — = . Cette expression développée devient

N 100,09 „ 100. on. 08 , 100.00,08.07 , ^ ' 1.2 1.2.3 i,a.3,4

et en mettant pour a sa valeur

,o^ioo-H i^îî3.-L li^9 9^9 8 JL ^ HMiM)M7 L.etc. 1.3 10^ 1.2,3 10'* 1.2 3,4 10^'

Le calcul effectué jusqu'aux a* donne la valeur que nous venons de rapporter. On voit que celle de Napier n'en diffère que dans la neuvième décimale.

Cette table sert à Napier pour deux choses : d'abord pour trouver le logarithme du premier terme 9999999. et par déduction, tous les logarithmes des termes suivants qui dérivent les uns des autres par le

même rapport ; secondement, pour calculer, d'après le dernier terme de la table, le logarithme du nombre 9999900 qui est extrêmement peu différent de ce terme-là.

Pour la première opération, il considère que le nombre 9999999 étant égal à A — i, j est i ; de sorte que les limites de son logarithme

sont I et ou 1,00000 oiooo 0001... ; lesquelles ne diffèrent

9999999 l'une de l'autre que par la septième décimale, on peut donc, dans cet ordre d'approximation, prendre pour valeur du logarithme, la moyenne de ces limites, c'est-à-dire 1,00000 oo5. Napier s'arrête à ce résultat. Pour en apprécier la précision, il n'y a qu'à reprendre la relation générale trouvée plus haut entre ses logarithmes et les nôtres, laquelle est 4

log nép. N = — A log hyp. ( ^ j »

ici l'on a

A =10''; N = 9999999 = 10^ — I d'où

et en développant ce logarithme en série, puis effectuant la multiplication par A ou 10^, il vient

log nép. (9999999) = ^ -+- ^ + âTi'oT* ^ Ï:T^ '

ou, en effectuant les calculs,

log nép. (9999999) = 1 ,00000 noôoo ooooS 333, d'où l'on voit que le résultat de Napier n'est en erreur que de „ d'unité

sur la quatorzième décimale.

Le logarithme du premier terme de sa progression géométrique étant connu, il en déduit aussitôt ceux de tous les termes suivants par la la condition d'équidifférence, c'est-à-dire, en multipliant ce premier logarithme, par le rang successif de chaque terme ; le centième et dernier terme de sa progression se trouve donc ainsi avoir pour logarithme cent fois la valeur précédente, c'est-à-dire ioo,oooo5o, avec ses limites comprises entre 100,000000 et 100,000010; d'après le résultat exact obtenu

plus haut, on voit que cette évaluation n'est en erreur que de ^ d'unité

sur la douzième décimale.

Ceci est le logarithme du dernier terme de sa première table. Pour passer de là au logarithme de 9999900, Napier emploie des moyens proportionnels auxiliaires qui se rapprochent davantage du premier terme de la progression. Nous avons expliqué plus haut ce procédé d'après lui. Ceci va nous fournir un exemple de la manière dont il l'applique.

11 cherche donc d'abord un moyen auxiliaire N^, tel qu'on ait

N, N^ ^ AN, , AfN — Ni)

ici l'on a

Conséquemment le terme correctif

A(N — Ni) 10^0,000^95 10^0,000^95 0,000495

Ainsi, d'après les formules de la page 34o, les deux limites du logarithme de Nj, selon Napier, seront

m=^ =0 ,oooi95ooi95 et ^7-4'\ = °.°°°^05°°A!)5 .

rs - ^ ,/ ^('V—^^ ) I — 0,0000000009490

Ces deux quantités étant égales, dans les douze premières décimales, on peut prendre à volonté l'une ou l'autre pour la limite de N2, et les ajoutant à celles déjà obtenues pour le logarithme du dernier terme de la progression, c'est-à-dire à 100,000000 et 100,00001c, on aura celles du logarithme de 9999900, lesquelles seront ainsi

100,00049500495 et i,ooo5o5oo495 ;

ce qui, en se bornant à Imit décimales, donne pour la valeur movenne de ce logarithme,

ioo,ooo5o 000495

C'est la valeur que lui donne Napier. Le calcul exact, par les séries, donne un résultat qui dilTère à peine. En effet, on a alors

ce qui. étant mis dans l'expression générale du logarithme népérien

ANALYSE DES OUVRAGES OUIGIXAUX DE ?JAPIER .)-|0

donne

log nép. (9999900) = — 10' log hyp. ^1 — ^,j =