oo.oo3ooo
4 ()()(j(;Gco.ooGooo
etc. Ole.
00 f;99.")oo l,22l\Sol^ .
Napier ne conduit cette progression que jusqu'au cinquantième terme, parce que son but est seulement d'en déduire le logarithme de ()995ooo, dont il va avoir besoin tout à l'heure. Dans les soustractions qui l'ont conduit à ce cinquante-unième terme, il faut qu'il ait
commis quelque petite faute de calcul, car la valeur qu'il donne est seulement 9990001, 222927, et elle est en erreur dès la troisième décimale. Ce résultat devenant uue base fondamentale de sa table, comme on va le voir, altère nécessairement les dernières décimales de la plupart de ses logarithmes, et y cause les erreurs que l'on y a remarquées ; mais la faute est dans le détail mécanique du calcul non dans la méthode.
Nous avons déterminé tout à l'heure le logarithme du nombre 9999900 qui est le premier de cette seconde table, et nous l'avons trouvé égal à ioo,ooo5oo; ceux de tous les autres termes suivent donc celui-là par équidifTércnce, puisque ces termes procèdent les uns des autres, suivant le même rapport. Le logarithme du cinquante-unième et dernier sera donc égal à 5o fois la différence commune, ou à
5ooo,02 5oo ;
c'est ainsi que fait Napier. La valeur exacte déduite de nos résultats
précédents serait
5ooo,025oo 01G66 679;
elle diffère seulement dans la septième décimale.
De là, en appliquant ses théorèmes de limites, Napier conclut le logarithme de 9995000, et il le trouve ainsi égal à 5ooi, 2485357; mais ce résultat est influencé par la faute qu'il a commise sur son cinquanteunième terme. En refaisant le calcul par sa méthode, après avoir corrigé l'erreur, on trouva 5ooi,25o4i645 ; la valeur exacte directement
Rangs
i successifs
Termes successifs
des
termes
de la
à partir
du premier.
progression géométrique.
etc.
etc.
ANALYSE DES OUVRAGES ORIGNAUX DE NAPIER S/Jj
déduite des séries, serait 5oot,25oAi 68380, et elle ne diflere encore
que dans la septième décimale de celle que Napier aurait dû obtenir.
Enfin, avec ce dernier nombre, 9996000, il construit une troisième
table qu'il forme encore par soustraction avec le rapport — -► ou
lOOOO
- qui est précisément i — ~ , et il obtient ainsi le tableau de
la page 346.
Napier ne conduit cette troisième progression que jusqu'au vingtième terme, parce qu'il veut seulement en déduire le logarithme de 9900000. Or, cela lui suffit pour l'obtenir ; car, d'abord, comme il a le logarithme du premier terme de sa nouvelle progression, il peut en conclure tous ceux des autres termes par la loi d'équidifférence ; et ainsi le logarithme du vingtième terme s'obtiendra en multipliant par 20 cette différence commune, ce qui lui donne 100024,970774. qu'il se borne à remplacer par 100020, et de là, il conclut le logarithme voisin du 9990000 qu'il trouve égal à ioo5o3.32i 0291 . Mais ces résultats sont encore viciés par la petite erreur du dernier terme de sa seconde table ; et, en les en dépouillant, on trouve par sa méthode le logarithme de 9900000 égal à
ioo5o3, 35852 28,
tandis que le calcul direct par les séries, donne
ioo5o3, 35852 535o;
de sorte que l'erreur du résultat obtenu par sa méthode ne commence plus qu'à la sixième décimale.
Ayant obtenu, par ce qui précède, le logarithme de 9996000 et celui de 9900000, Napier s'en sert pour construire, toujours par soustraction et par équidifFérence, une nouvelle table beaucoup plus étendue, qu'il appelle Table radicale, parce que c'est généralement aux termes qui la composent qu'il rapporte les nombres quelconques, dont il veut déterminer le logarithme. Cette table contient 69 colonnes verticales, comprenant chacune 21 termes, ce qui fait en tout ili!\Ç) termes, ou nombres, accompagnés de leurs logarithmes. Nous rapportons ici, comme type, les deux premières colonnes et la dernière, en rectifiant seulement les conséquences de la faute de calcul que nous avons signalée. (Voir le tableau de la page 348).
La formation de tentes ces colonnes est très simple. D'abord, quant aux nombres naturels, les premiers de chaque colonne se déduisent
successivement les uns des autres, par le rapport commun -^ , ou
I — — , c'est-à-dire on retranchant de chaque terme précédent la loo' ^ ^ ■
centième partie de sa valeur. Par exemple, de looooooo retranchant le
centième qui est loooo, il reste 9900000 qui devient le premier
nombre de la seconde colonne et ainsi des autres successivement.
Dans le sens vertical, les nombres naturels de chaque colonne se dé-
1 . . 1 ] . , .. lOOOOOOO -duisent les uns des autres par la proportion commune p- ou
1 ; leur formation successive est donc facile en les dérivant des
premiers de chaque colonne.
i" colonne
Nombres naturels
10000000.0000 9990000.0000 9990002.. 'ïooo 9980007 . 4987 99SJO 14.9950
etc.'
Logarithme
