ooi
i5oo3.7 uooo5.o
etc.
2" colonne
Nombres
Loga-
naturels
rithme
ioo5o3.4
io55o4.6
iio.ooij 9
iio;)07.i
etc.
etc.
69* colonne
Nombres naturels
5o48858.8879 ,5046334.4584 5o438ii.2ii2 504:289 3856 5038766.7409
etc.
oo3i 109.6568 4998609.4019
Logarithme
etc.
Quant aux logarithmes qui correspondent à ces nombres, ils sont également faciles à calculer. Car, d'abord pour les premiers nombres de chaque colonne qui ont un rapport constant, leurs logarithmes marclient par équidifférence, et la raison de leur progression est le logarithme de 9900000 moins celui de lOoooooo, c'est-à-dire celui même de 9900000, l'autre étant zéro.
Ainsi, par les déterminations précédentes, celte différence commune est ioo5o3, 3585228.
Dans le sens vertical, les logarithmes de chaque colonne sont encore équidifférents. Mais la raison est égale à la différence des logarithmes de 9995000 et de looooooo, c'est-à-dire à 5ooi,25o4iCA5, d'après les évaluations rapportées plus haut.
Cette table radicale étant ainsi formée, seulement à l'aide de sous-
tractions et d'additions, Napier y ramène tous les nombres dont il veut trouver les logarithmes.
Cherchons, par exemple, le logarithme de 5oooooo nombre qui représente le sinus de So", lorsque le ravon est looooooo ou lo^. Ce logarithme se trouve évidemment compris entre les deux derniers de la dernière colonne; et l'on peut calculer combien il en diffère, par la méthode des moyens auxiliaires expliquée plus haut. Partant donc ainsi du nombre tabulaire 5001109,9068, qui est le plus voisin de 000000, le premier moyen proportionnel auxiliaire, est 9997780,5-90294. Si l'on veut le considérer comme suffisant, il donne pour la difiérencc cherchée, des logarithmes 2219,6073162. Mais on pourrait craindre que ce premier moyen ne fût trop différent de 10', pour qu'on pût lui appliquer directement les conditions des limites avec une suffisante exactitude. En ce cas, il faudrait le comparer à son analogue tabulaire qui se trouverait être le vingt-troisième terme de la seconde table préparatoire, lequel a pour valeur 9997800,230988, avec un logarithme égal à 2200,01 loob. Alors, en rapportant à ce terme le premier moyen auxiliaire, on formerait un second moyen qui, cette fois, par ses limites, donnerait pour différence des derniers logarithmes I9,6563ii5 ; laquelle étant ajoutée à 2200,011000, donne 2219,66731 r, résultat qui diffère seulement dans la sixième décimale de celui qui donnait la première proportionnalité. Toutefois ce second résultat étant déduit de limites plus étroites, est préférable; l'ajoutant donc au logarithme tabulaire de 5001109,9568 qui est 6929252, i4i63i, on aura le logarithme de 000000 qui se trouvera être 6931(^71, 808942, lequel, ainsi qu'on l'a vu plus haut, n'est en erreur que de trois unités sur la quatrième décimale, ^sapier, dans son ouvrage, lui attribue une valeur différente et plus fautive, laquelle est 6931469,22. Mais cela provient sans doute de la petite faute de calcul qu'il avait faite dans sa seconde table préparatoire ; et, dans tous les cas, la valeur que nous venons d'oblenir est bien réellement celle que sa méthode doit donner.
J'ai calculé de même par sa méthode le logarithme de 8000000 dont il fait également un usage spécial, comme nous le verrons tout à l'heure. Pour l'obtenir, n'ayant pas toute sa table radicale explicitement formée, ie cherche d'abord la puissance de -^~ qui en diffère le moins, et j i 100 ^
je trouve par une évaluation facile que c'est la 23'. Le calcul exact de ( ' ) qui se fait aisément par la formule du binôme, me donne le premier terme de cette 23'^ colonne que je trouve égale à
35o HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES
Son logarithme est 22 fois la différence commune horizontale
ioo5o3, 3585228,
ce qui produit 22310788891672. Maintenant, pour se rapprocher du nombre proposé 8000000, il faut descendre graduellement dans cette 23° colonne, suivant les conditions de proportion et de différences assignées plus haut. Alors, après quatre opérations de ce genre, on trouve pour le 5^ terme le nombre 8000285, 3o4o5o85, ayant pour logarithme 2231078,8891672, C'est le plus voisin de 8000000 qui soit dans la colonne. La différence des logarithmes de ces deux nombres conclue d'un seul moyen auxiliaire, se trouve être 356,6235o45 : et en l'ajoutant au logarithme tabulaire, on a le logarithme de 8000000 égal à 2231/135,5126717. C'est aussi généralement celui du rapport abstrait
; car ce rapport est le même que , et dans le svstèine de
10 '^'^ ^ looooooo •'
Napier, le logarithme de lOoooooo est nul.
Or, nous avons trouvé tout à l'heure le logarithme de 5oooooo, lequel est aussi celui du rapport abstrait - par une raison pareille ; donc,
en le triplant, nous aurons le logarithme de g, lequel sera
Ajoutons ce dernier logarithme à celui de —, nous aurons le loga-
rithn/e du produit —, lequel sera ainsi 23o2585o, 9394977 ; ce sera le logarithme du nombre 1 000000.
Si nous voulons celui de ^ , il est aussi celui de 2000000; il n'y a
qu'à retrancher de ce résultat le logarithme de , et il viendra le logarithme de -p égal à 16094379,1305557.
On peut aisément apprécier le degré de précision de ces résultats en les comparant à nos tables actuelles, d'après les relations assignées plus haut entre les logarithmes népériens et nos logarithmes hyperboliques. Mais il y a une de ces vérifications qui se présente d'elle-même ; car puisqu'on a généralement
1 1 /N\ log nép. N , , /A\ log. nép. N
loghyp. (a) = -^a °" log- %p- (n) = -^X '
si l'on fait N = 1000000 = lo^ comme A == lo^ on aura
1 losr nép. 10' „ „ „ . r
log hyp. 10 = —2 K = 2,0020850939495770.
Or, d'après nos tables actuelles, on a
log hyp. 10 = 2, 3026850929 940.
L'erreur de Napler n'est donc que d'une unité sur la 9* décimale de ce logarithme.
Les logarithmes des rapports - ; — , trouvés tout à l'heure, servent
à Napier pour obtenir les logarithmes des nombres inférieurs à Soooooo; car il est évident qu'en multipliant ces nombres par 2, 5, ou 10; ou par une puissance quelconque de ces rapports, il peut les ramener dans sa table radicale et en déduire leurs logarithmes dans cet état. Après quoi, ajoutant au résultat les logarithmes des rapports employés pour les multiplier, il obtient les logarithmes qui conviennent à ces mêmes nombres, dans leur état primitif.
L'application principale que Napier avait en vue en construisant sa table, c'était de donner les logarithmes des lignes trigonométriques, dont les valeurs numériques étaient alors consignées dans des tables continuellement employées par les astronomes. Voilà pourquoi Napier appelle toujours les nombres naturels des sinus. Dans sa table, le nombre 10000000 représente le sinus de l'angle droit, et sa moitié 5oooooo, celui de 3o°. Sa table radicale ne descendant pas plus bas que ce dernier arc, il trouve les logarithmes des sinus qui conviennent aux arcs moindres en les ramenant dans sa table radicale par les artifices de multiplications indiqués ci-dessus, et il emploie aussi au même usage les relations trigonométriques qui peuvent abréger les calculs pour les diverses parties d'un même quadrans. Mais comme ces détails n'ont plus de rapport avec son invention originale, nous cesserons de nous en occuper.
Seulement pour achever de mettre en rapport ses idées avec les nôtres nous appliquei'ons à un système de logarithmes quelconque, le mode de génération qu'il a imaginé pour les siens. Concevons donc de nouveau deux droites BABj, ab, sur ces droites, deux mobiles M, m,
M Ml
lesquels partent simultanément du repos en A et a avec des vitesses initiales données Aa et Aa, se meuvent tous deux dans le même sens sur leur droite, le premier M avec une vitesse géométriquement va-
riable, toujours proportionnelle à sa distance à un point fixe B, tel que AB = A, et le second m, avec vitesse constante toujours égale à sa vitesse initiale Ax. Supposons qu'après un temps fini quelconque, M soit arrivé en Mj, m en m^ aux distances y et X de leurs points de départ respectifs. Partageons le temps t en un très grand nombre de parties très petites que nous prendrons pour unité, et concevons que les vitesses Aa et Aa soient exprimées pour cette unité-là. Alors, en substituant au mouvement continu géométrique, un mouA^ement intermittent, modifié après chaque unité de temps écoulée précisément comme nous l'avons fait pour le cas particulier de Napier ; nous trouverons qu'après un nombre quelconque d'instants n, les positions simultanées des deux mobiles sont liées par les relations suivantes :
X = nAa, j = — Ah- A(i h- a)" ; ici A -î- j est le nombre dont x est le logarithme ; de là on tire
•^ \ ^ nA
ou en développant le second membre,
^"" LU/ Â"^ 1.2 \â) J?Â^~^ TTÏÏTS '[a) nW'y
Ici , le nombre n des intermittences est quelconque ; en le faisant infini, X restant fini, nous passerons de la discontinuité à la continuité. Alors il restera
La série comprise entre les parenthèses est égale à
e étant le nombre cjui sert de base aux logarithmes hyperboliques ; on aura donc par cette contraction,
;U/A, d'où A+j = Ae\aA,
y = — A -I- AtfN
A -h j est généralement le nombre dont x est le logarithme dans le système donné. Représentons pour abréger ce nombre par N, et nous aurons
N = AeU/^.
Dans le système adopté par Napier, les deux vitesses initiales Aa et Ax sont égales, mais de signes opposés, puisqu'il fait décroître les nombres, quand les logarithmes augmentent. On a donc, par ces suppositions,
]N = Ae~^,
comme nous l'avions trouvé directement, page 336. Dans le système appelé hyperbolique, on suppose que chaque nombre N est donné par l'équation
X étant son logarithme dans ce système ; on a donc alors a = a, et en outre, A = 1 , c'est-à-dire que les vitesses initiales des deux progressions sont égales, comme dans le système de Napier, mais elles sont de même sens, au lieu qu'il les met en sens contraire ; et en outre, A = i, tandis que Napier le fait égal à lo''.
Dans notre système décimal de logarithmes, en les représentant par a;, on a généralement.
N = (lo)^ = e'' '''S hyp- (i«);
donc, pour assimiler ces logarithmes à ceux qui seraient engendrés par le mouvement, il faut prendre A = i, comme dans les logarithmes hyperboliques, et en outre faire
^ = loghyp. 10,
c'est-à-dire que le rapport des deux vitesses initiales des deux progressions est précisément égal au logarithme hyperbolique de la base. 11 est pareillement facile de voir que, pour ce cas, où les logarithmes croissent dans le même sens que les nombres, la marche arithmétique de Napier serait encore applicable, pourvu que la progression choisie
fût ascendante. Par exemple, si sa raison était -— , en sorte que
^ looooooo '
chaque terme se déduirait du précédent par simple addition, en lai
ajoutant sa dix-millionième partie qui se prend à vue. Si Napier eût
voulu, ou bien eut vécu assez, pour efTectuer cette application de sa
méthode avec des progressions convenablement choisies, il aurait pu
obtenir nos tables actuelles ou des tables analogues, aussi exactement
et plus aisément que par les blssections dont Briggs s'est servi pour les
former.
R. B. — Tome I. i3
NOTE m
