CHAPITRE II. l'école PYTHAGORICIENNE

les triangles AEF, BFG, CGH et DHE sont égaux. Le carré ABGD est donc encore équivalent au carré construit sur EF et à quatre fois le triangle AEF.

Par suite le carré construit sur EF est équivalent à la somme des carrés construits sur EK et FK.

6) Soit ABC un triangle rectangle dont A est l'angle droit. Traçons la hauteur AD. A

Les triangles ABC et DBA étant semblables, on a :

BGAB

AB — BÏÏ' B D

Fig. 3.

De même, les triangles semblables ABC, ADG donnent la pro portion

BGAG AG~1)G*

De ces deux proportions on déduit :

Ab' + AC' = BC. BD + BC. DC = BG (BD -+- DG) = BCl "

Gette démonstration exige la connaissance des propositions II, 2 ; VI, k et VI, 17 d'Euclide, que Pythagore possédait.

4° On attribue également à Pythagore la découverte des théorèmes kk et 45 du livre I des Eléments d'Euclide, et il aurait donné, dit-on, une solution du problème i4 du livre II des mêmes éléments. On raconte qu'en trouvant la construction nécessaire pour arriver à la solution de cette dernière question, il fit aux Dieux le sacrifice d'un bœuf, mais comme l'Ecole avait tout en commun, la libéralité n'est pas aussi grande qu'on pourrait le croire à priori. Les Pythagoriciens d'une époque plus tnoderhe avaient connaissance de l'extension donnée dans Euclide à la prosition 25 du livre VI, et Allman pense que Pythagore lui-mênle ne l'ignorait pas, mais ceci doit être regardé comme douteux. Il faut remarquer que la proposition i4 du livre 11 d'Euclide fournit une solution géométrique de l'équation

x^ = ab.

5° Pythagore montra que sur un plan la surface autour d'un

point pouvait être couverte par des triangles équilatéraux, des carrés ou des hexagones réguliers. Observations qui ont dû être faites partout où il était d'usage d'employer des carreaux de cette forme.

6" Les Pythagoriciens auraient également trouvé, dit-on, la quadrature du cercle qui était pour eux la plus parfaite de toutes les figures planes.

7° Ils connaissaient l'existence de cinq corps solides réguliers inscriptibles dans la sphère qu'ils considéraient comme le plus beau de tous les solides.

8" Il semblerait d'après leur phraséologie dans la science des nombres et d'après quelques autres remarques faites occasionnellement qu'ils étaient familiers avec les méthodes employées dans les 2* et 5" livres des Eléments d'Euclide et qu'ils avaient la notion des grandeurs irrationnelles. On a, en particulier, des raisons de croire que Pythagore démontra l'incommensurabilité du côté du carré avec sa diagonale et que ce fut cette découverte qui conduisit, les Grecs à exclure de Ifïur géométrie les conceptions du nombre et de la mesure. Nous y revindrons un peu plus loin.

Passons en second lieu à la théorie des nombres (').

Nous avons déjà fait remarquer à ce sujet que les Pythagoriciens s'étaient principalement occupés : i° des nombres polygonaux ; 2" des facteurs des nombres ; 3" des nombres en proportion, et /i" des séries numériques.

Pythagore commence par diviser les nombres en pairs et impairs ; ces derniers étant appelés gnomons. Un nombre impair tel que 2n -f- i était regardé comme la différence de deux carrés (n -+- i)" et n- ; et il montre que la^ somme des gnomons de i à 2 n + I est égale à un nombre carré, à (n -h i)-, dont il appelle la racine carrée un côté. Le produit de deux nombres était un plan, et si le produit n'avait pas une racine carrée exacte on l'appelait un oblong. Le produit de trois nombres était connu sous le nom de solide ou de cabe dans le cas d'égalité des trois nombres.

Toutes ces dénominations ont des rapports évidents avec la

(I) Voir l'appendice à La Science Hellène de P. T.^nnery. Paris 1897. Sur V Arithmétique pythagoricienne.

CHAl'lïilE II.

L EGOLE PYTHAGORICIENNE

géométrie, et une remarque d'Àrislole confirme cette opinion que lorsqu'on dispose un gnomon autour d'un carré, la figure reste un carré bien que ses dimensions soient augmentées. Ainsi, dans la figure ci-contre, dans laquelle n ^= 5, le gnomon AKG (contenant 1 1 petits carrés) placé autour du carré AG (qui en contient 5^) forme un nouveau carré HL (contenant 6^ petits carrés). Il est possible que plusieurs des théorèmes numériques dus aux écrivains grecs aient été découverts et prouvés par une méthode semblable : l'abaque peut être utilisé pour beaucoup de ces démonstrations.

Les nombres (2 n^ -t- 2 n -+- i), (2 n- -+- 2 n) cl {2 n -h i) jouissaient d'ine importance spéciale comme représentant l'hypolhénuse et les deux côtés de Tano-le ^

droit d'un triangle rectangle : Cantor pense que Pythagore connaissait cette propriété avant la découverte de la proposition 4 7 du livre I d'Euclide. Les expressions

n'-), 2 mn et (/

Fifr. 4.

sont plus générales et on remarquera qu'on peut en déduire les résultats obtenus par Pythagore en faisant m ^ n ~\- 1. A une époque plus récente Archytas et Platon donnèrent dans le même but des règles qui reviennent à faire n = i.

Diophante connaissait les expressions générales.

Après avoir posé ces préliminaires, les Pythagoriciens s'occupèrent des quatre problèmes spéciaux auxquels nous avons déjà fait allusion. Pythagore lui-même était familiarisé avec les nombres triangulaires ; les nombres polygonaux d'un ordre plus élevé furent étudiés postérieurement par les membres de l'Ecole,

Un nombre triangulaire représente le nombre total des jetons disposés par rangées sur un plan, la dernière ligne en contenant n et les rangées successives en remontant jusqu'à la première, un de moins que la précédente ; un pareil nombre est dès lors égal à la somme des termes de la série

3o HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

c'est-à-dire à

Ainsi, le nombre triangulaire correspondant à n = /; est 10. Nous avons là l'explication du langage de Pythagore dans le passage bien connu de Lucien où le marchand dehiande au philosophe ce qu'il peut lui apprendre. Pythagore lui répond : « Je vous apprendrai à compter » . Le marchand « Je sais déjà le faire » . Pvthagore « Comment comptez-vous donc? ». Le marchand « un, deux, trois, quatre... ». Pythagore « Je vous arrête là, ce que vous prenez pour quatre est dix, un triangle parfait et notre symbole ».

Nous savons très peu de chose sur ce que les Pythagoriciens ont pu produire en ce qui concerne les diviseurs des nombres. Ils classifiaient les nombres en les comparant à la somme de leurs diviseurs entiers ou facteurs, et les appelaient abondants, parfaits ou déficients suivant qu'ils étaient plus grands, égaux ou plus ■ petits que la somme de ces facteurs. Ces recherches ne conduisirent à aucun résultat utile.

La troisième classe de problèmes qu'ils étudièrent a trait aux nombres en proportion ; cette étude se faisait probablement avec l'aide de la géométrie comme on le voit dans le 5" livre d'Euclide.

Enfin les Pythagoriciens s'occupèrent des suites de nombres

formant des progressions arithmétique, géométrique, harmonique

et musicale. Les trois premières sont bien connues ; quatre nombres

sont dits en progression musicale lorsqu'ils sont entre eux comme

les expressions

a afe a -{- h ,

par exemple, 6, 8, 9 et 12 forment une progression musicale.

Après Pythagore son enseignement semble avoir été dirigé par Epicharmus et Ilyppase, puis par l*hi!olaus, Archippus et Lysis. Un siècle environ après le meurtre du maître, nous trouvons Archyias reconnu comme nouveau maître de l'Ecole.

CHAPITIIE II. — l'école PYTHAGORICIENNE 3l

Archytas ('). — Archylàs (vers — 4oo) un des citoyens les plus en renom de Tarente fut choisi sept fois pour être gouverneur di cette cité. Il jouissait parmi ses contemporains d'une très grande influence et eut l'occasion de l'utiliser pour sauver la vie de Platon menacée par Denys. Il était renommé pour sa sollicitude pour le bien être et l'instruction de ses esclaves et des enfants dans la Cite. Il périt dans un naufrage près de Tarente et son corps fut jeté par les flots sur le rivage. Aux yeux des plus rigides Pythagoriciens cette mort parut un châtiment mérité parce qu'il s'était écarté de la ligne de conduite qui leur avait été tracée par leur fondateur. Il comptait parmi ses élèves et amis plusieurs des chefs de l'Ecole athénienne, et l'on pense que beaucoup de leurs travaux furent dus à son inspiration.

Les premiers Pythagoriciens n'avaient fait aucune tentative pour appliquer leur connaissance à la mécanique, mais Archytas, prétend-on, s'occupa de cette science en se servant de considérations géométriques : on lui attribue l'invention de la poulie dont il exposa la théorie, la construction d'un oiseau volant et de quelques autres jouets mécaniques ingénieux. Il fit connaître divers appareils permettant de tracer mécaniquement les courbes et de résoudre les problèmes ; Platon critiquait leur usage estimant que la valeur de la géométrie, en tant qu'exercice intellectuel, en était amoindrie, et les derniers géomètres grecs se bornèrent à employer seulement deux instruments : la règle et le compas. Archytas était également versé en astronomie : il enseignait que la terre était une sphère eflectuant une rotation autour de son axe en vingt-quatre heures et autour de laquelle se déplaçaient les corps célestes.

Archytas un des premiers, donna une solution du problème de la duplication du cube qui consistait à trouver le côté d'un cube d'iiri volume double de celui d'un cube donné. C'était l'un des plus fameux problèmes de l'antiquité ('').

(') Voir Allma!», chap. iv. Un catalogue des travaux cI'Archytas est donne par Fabricius dans la Bibliotiieca Grœca, Vol. I, p. 833 ; la plupart des fragments sur la philosophie ont été publiés par Thomas Gale dans ses Opuscula Mythologla, Cambridge, 1670 et par Thomas Taylor comme appendice à sa traduction de la Vie de Pythagore de Jamblique, Londres, 18x8.

Voir aussi les références données par CArtTOR, Vol. I, p. 2o3.

(-) Voir plus loin, pp. Sg, 43, ^^.

La construction d'Archytas revient à la suivante : sur le diamètre OA de la base d'un cylindre circulaire droit on décrit une dciïiicirconférence dont le plan est perpendiculaire à celui de la base et on fait tourner ce plan autour de la génératrice passant par le point 0. Dans ce mouvement la surface décrite par la demicirconférence coupe la surface cylindrique suivant une certaine courbe. Cette courbe est à son tour coupée par un cône droit ayant pour axe OA et dont le demi-angle au sommet est connu (60° par exemple) en un point P tel que la projection de OP sur la base du cylindre est au rayon du cylindre dans le rapport du côté du cube cherché au côté du cube donné. La démonstration d'Archytas est naturellement géométrique (•) ; contentons-nous de faire remarquer ici que son exposition montre qu'il connaissait les propriétés faisant l'objet des propositions 18 et 35 du livre III et 19 du livre XI des Eléments d'Euclide.

On peut constater analytiqucmcnt l'exactitude de cette construction : prenons OA comme axe des x, et la génératrice passant par 0 comme axe des z ; avec la notation usuelle en coordonnées polaires et en représentant par a le rayon du cylindre, nous avons pour l'équation de la surface décrite par la demi -circonférence, r = 2 a sin 0, pour celle du cylindre r sin 5 = 2 a cos ©, et pour

celle du cône sin Q cos 'p = - . Ces trois surfaces se coupent en un

point tel que sin'' Q = -', par suite, si rj est la projection de OP sur la base du cylindre, on a :

p'"' = (r sin 0)' = 2 a''.

C'est-à-dire que le volume du cube dont le côté est 0 est égal à deux fois le volume du cube de côté a.

ISous avons mentionné ce problème et donné la construction d'Archytas pour montrer jusqu'à quel point l'Ecole pythagoricienne avait poussé ses connaissances à cette époque.

Théodore. — A peu près à la même époque qu'Archytas vivait un autre Pythagoricien, Théodore de Cyrènc, qui aurait, prétend-

(1) Elle est dontiéc par Âllman, pp. iii-ii3.