I.mr^ agM

TRAVAUX DE HUïGHENS 4o3

23. — Nous voyons donc que la durée de l'osclllalion infiniment petite d'un pendule dépend de deux facteurs ; la valeur de l'expression I.mr^ qu'Euler a appelée moment d'inertie et que Huyghens emploie sans lui donner de nom particulier, et la valeur de ag^l. Cette dernière expression, que pour 1^ brièveté nous appellerons moment statique, est le produit «P du poids du pendule par la distance du centre de gravité à l'axe de rotation. La connaissance de ces deux valeurs détermine la longueur du pendule simple de même durée d'oscillation (isochrone) et la position du centre d'oscillation.

Pour calculer la longueur de ce pendule simple isochrome, ïluyghens ne possédait pas de méthodes analytiques qui ne furent découvertes que plus tard. Il employa un procédé géométri(jue vraiment ingénieux dont nous donnerons quelques exemples. Proposons-nous de déterminer la durée d'oscillation d'un rectangle matériel pesant ABCD, oscillant autour de l'axe AB. Partageons le en petits éléments de surface /, f^ /",... situés aux distances r, r', r"... de l'axe. La longueur du pendule simple isochrone — égale à la distance du centre d'oscillation à l'axe, — est donnée par la formule

fr^^/y» -^fr"i + ...

fr-\-f'r' -f-fy-^ ... '

Aux points C et D élevons CE et DF perpendiculaires sur ABCD, telles que CE = DF = AG = BD, et construisons ainsi le prisme homogène ABCDEF. Cherchons la distance du centre de gravité de ce prisme au plan mené par AB parallèlement à CDEF. Nous devons pour cela considérer les colonnes mincesyr,y"'r,y"r..., et leurs distances r, r', r*, . . . à ce plan ; la distance cherchée est donnée par l'expression :

Fig. 68.

fr .r-\-fr' . r' -f- f\

fr-hfr' -hf'y ^...

On retrouve donc la formule précédente. Le centre d'oscillation du rectangle et le centre de gravité du prisme sont donc situés à la même

distance : „ AC.

Dans cet ordre d'idées on reconnaît sans peine l'exactitude des propositions suivantes : Pour un rectangle homogène de hauteur h, oscillant autour de sa base supérieure, le centre de gravité est à la distance

- de l'axe et le centre d'oscillation à la dislance -g- . Pour un trianele 2 6 °-

homogène de hauteur h, dont l'axe de rotation passe par le sommet et

est parallèle à la base, les distances à l'axe des centres de gravité et

d'oscillation sont respectivement o /* et . h. En appelant Ai, Aj les

moments d'inertie et Mj, Mj les masses du rectangle et du triangle on trouve :

d'où

hm,

o /iMj

hm.

Ce procédé géométrique très élégant permet de résoudre nombre d'autres problèmes de ce genre, que l'on traite aujourd'hui d'une façon routinière mais sans contredit beaucoup plus commode.

S3. — Huyghens se servit aussi, mais sous une forme un peu différente, du théorème suivant relatif aux moments d'inertie. Soit 0 le centre de gravité d'un corps quelconque (fig. 70) : choisissons-le pour origine d'un système daxes coordonnés rectangulaires et supposons connu le moment d'inertie par rapport à l'axe des z. En appelant m un élément de masse et r sa distance à cet axe, ce moment d'inertie est :

A = ^mr^.

Déplaçons l'axe de rotation, parallèlement à lui-même, d'une longueur a suivant l'axe x ; soit 0' sa nouvelle position. La distance r de l'élément dé masse à l'axe devient p et le nouveau moment d'inertie est :

e == -Lmf = 2m [{x — af -\- y% = Sm (x^ -\- y-) — 2al.mx -+- a'^m,

or I.m{x^ -+- y^) = I.mr^ = A et les propriétés du centre de gravité

TRAVAUX DE IIUYGHENS 4o5

donnent Imx = o ; d'autre part Sm = M est la masse totale du corps ; par conséquent :

Cette formule permet donc de calculer aisément le moment d'inertie par rapport à un axe quelconque, étant donné le moment d'inertie par rapport à une axe passant par le centre de gravité et parallèle au premier.

^4. — Ce théorème conduit à une proposition importante. La distance du centre d'oscillation est donnée par

A» M et a conservant leurs significations précédentes. Les valeurs A et

M sont invariables pour un corps donné ; il s'en suit que l est constant

tant que a ne varie pas. Donc le pendule composé formé par un corps

oscillant autour d'un axe a la îiême durée d'oscillation pour tous les

axes parallèles sitaés à la mêni^ dislance du centre de gravité. En posant

1^ = y., il vient :

l et a sont respectivement les distances à l'axe du centre d'oscillation et du centre de gravité. On voit donc que le centre d'oscillation est toujours plus loin de l'axe que le centre de gravité et que l'excès de sa

distance à l'axe sur celle du centre de gravité est - , qui représente donc

la distance de ces deux points. Menons par le centre d'oscillation un axe parallèle à l'axe primitif. Choisissons-le pour nouvel axe de rotation ; la longueur l' du pendule composé nouveau ainsi formé s'obtiendra en remplaçant a par - dans la formule prçcédente, ce qui donne

La durée d'oscillation est donc la même pour un axe parallèle mené par le centre d'oscillation et, par conséquent, pour tout axe parai"

lèle dont la distance au centre de gravité est égale à la distance -

du centre d'oscillation.

L'ensemble de tous les axes pai-ailcles donnant la même durée d'oscillation et situés, par conséquent, aux distances a ou - du centre de

gravité forme donc deux cylindres coaxiaux. La durée d'oscillation est la même, quelle que soit la génératrice de ces cylindres que l'on prenne pour axe de rotation.

S5. — Nous donnerons à ces deux cylindres le nom de cylindres des axes. Pour établir les relations qxii existent entre eux, on peut procéder comme suit. Posons A = /c^M, il vient

En cherchant la valeur de a qui correspond à une valeur donnée de h c'est-à-dire à une durée d'oscillation donnée, il vient :

Donc, en général, deux valeurs de a correspondent à une valeur de l. Mais si

-, k'^ = 0, c'est-à-dire l = 2k,

ces deux valeurs coïncident et deviennent a z= k.

Fig- 7'- Fig. 72.

Appelons a et P les deux valeurs de a correspondant à une valeur de l, nous aurons :

d'où

Supposons que l'on connaisse dans un corps deux axes parallèles, donnant la même durée d'oscillation et situés à des distances inégales

TRAVAUX TE HUYGHENS ^Oy

a et p du centre de gravité, — ceci aura lieu lorsque l'on connaîtra le centre d'oscillation correspondant à un axe de suspension quelconque. — la formule précédente nous permet alors de construire k ; il suffit de porter a et p bout à bout et de décrire sur leur somme, une demicirconférence, dont l'ordonnée, ^correspondante à l'extrémité commune de a et p, est égale à k (fig. 71). Inversement, si k est donné, on pourra obtenir pour toute valeur donnée X de a une autre valeur [jl qui donne la même durée d'oscillation en construisant un triangle rectangle de côtés X et k ; la perpendiculaire élevée sur l'hypothénuse à l'extrémité^ du côté k détermine le segment [jl sur le prolongement deX„ ^

Fig. 73.

Considérons un corps quelconque, de centre de gravité 0 situé dans le plan du dessin (fig. 73). Faisons-le osciller- autour de tous les axes perpendiculaires à ce plan. Pour ce qui a rapport à la durée d'oscillation, tous les axes qui ont leurs pieds sur l'une ou l'autre des circonférences a et ^ sont interchangeables entre eux. Si l'on substitue à a une circonférence plus petite X, on doit remplacer P par une circonférence plus grande [i et, si a diminue de plus en plus, les deux circonférences finissent par se confondre en une seule de rayon k.

ÎÎ6. — Ce n'est pas sans raisons que nous avons tant appuyé sur ces problèmes particuliers. Ils mettent tout d'abord bien en lumière la

4o8 HISTOIRE DES MA.THÉMATIQUES

richesse des résultats de Huyghens, car tous ceux que nous avons donnés ici sont contenus dans ses écrits, quoique sous une forme' un peu différente, et ceux cpi n'y sont pas expressément s'y trouvent sous une forme si voisine que l'on peut les compléter sans la moindre difficulté. Bien peu de ces résultats se trouvent dans les traités élémentaires modernes ; un de ceux que l'on y rencontre est la réversibilité des centres de suspension et d'oscillation, mais la façon dont il est ordinairement présenté n'épuise point le sujet, Kater s'est servi de ce résultat pour la détermination précise de la longueur du pendule à secondes.

Les considérations précédentes nous ont été utiles aussi en ce qu'elles ont éclairci la notion du a moment d'inertie ». Cette notion ne conduit à aucun aperçu de principe que l'on ne puisse acquérir sans elle, mais elle épargne la considération individuelle de chacune des masses du système et permet d'en disposer une fois pour toutes. Elle conduit donc ainsi à une solution plus rapide et plus commode et a, par conséquent, une importance dans l'économie de la mécanique. Api'ès des essais moins heureux d'Euler et de Segner, Poinsot a beaucoup développé ces idées et y a apporté de nouvelles simplifications, par l'emploi de son ellipsoïde et de son ellipsoïde central d'inertie.

ST. — Les recherches de Huyghens sur les propriétés géométriques et mécaniques de la cycloïde sont de moindre importance. Huyghens réalisa par le pendule cycloïdal l'isochronisme des oscillations, non plus approché, mais rigoureux, pour des oscillations d'amplitude quelconque. Ce pendule est aujourd'hui sans utilité pratique. Nous ne nous occuperons donc pas davantage de ces études, quelle que soit d'ailleurs leur beauté géométrique.

Quelque grands que soient les mérites de Huyghens dans les théories physiques les plus différentes, dans l'art de l'horloger, dans la dioptrique pratique et surtout dans la mécanique, son chef-d'œuvre, celui qui demanda la plus grande énergie intellectuelle et qui eut aussi les conséquences les plus importantes, reste l'énoncé du principe par lequel il résolut le problème du centre d'oscillation. Ce fut justement ce principe qui ne fut pas apprécié à sa valeur par les vues peu perspicaces de ses contemporains et même encore longtemps après. Nous avons montré qu'il est équivalent au principe de la force vive et nous pensons l'avoir ainsi présenté sous son véritable jour.

S8. — Il est impossible de parler ici des importants travaux de Huyghens dans le domaine de la physique. Nous en citerons seulement quelques-uns. Il est le créateur de la théorie vibratoire de la lumière, qui l'a enfin emporté sur la théorie newtonienne de l'émission. Sonat-

TRAVAUX DE nUYGHE:<S 409

tention se tourna vers les côtés des phénomènes lumineux qui avaient échappé à Newton. En physique, il fut un ardent partisan de l'idée cartésienne du mécanisme universel, sans pourtant fermer les yeux sur ses défauts qu'il critiqua plus d'une fois d'une façon catégorique et rigoureuse. Ses préférences pour les explications purement mécaniques firent de lui un adversaire des actions à distance affirmées par l'école de Newton ; il les remplaçait volontiers par des pressions et des chocs, c'est-à-dire par des actions au contact. Dans cette controverse il émit certaines idées nouvelles, comme celle d'un flux magnétique, qui resta sans écho à cause de la grande influence de Newton, mais qui, grâce à l'impartialité de Faraday et de Maxwell, a été dans ces derniers temps apprécié à sa valeur. Huyghens fut en outre un grand géomètre et un grand mathématicien et, dans est ordre d'idées, il est nécessaire de citer sa théorie des jeux de hasard. Ses observations astronomiques et ses travaux dans la dioptrique théorique et pratique ont fait avancer considérablement ces sciences. Comme technicien, il est l'inventeur d'une machine à poudre dont l'idée a été pratiquement réalisée dans nos moteurs à gaz modernes. En physiologie, il pressentit la théorie de l'accommodation par déformation du cristallin. Tout cela peut à peine être indiqué ici. Le génie de Huyghens se révèle davantage à mesure que ses travaux viennent successivement au jour, dans la collection de ses œuvres complètes ('). Dans une courte notice, imprégnée d'une pieuse vénération, J. Bosscha a donné un aperçu de l'ensemble de ses travaux (cf. J. Bosscha : Christian Hayghens ; Discours prononcé au 200" anniversaire de sa mort, 1895).

(i) Christian Huyghens. — Œuvres complètes, publiées par la société hollandaise des sciences, Haarlcm, 1888.