CHAPITRE V. LE IV" SIECLE APRES JÉSUS-CIIRIST Il

par là que le produit de — b par — d dans le développement de (a — 6) (c — d) est -h bd, mais en appliquant la règle, il a toujours soin de choisir les nombres a, b, c et d de telle sorte que a soit plus grand que 6 et c plus grand que d.

L'ensemble de l'ouvrage, ou tout au moins ce qui nous en reste, est consacré à la résolution de problèmes conduisant à des équations. Il contient les règles pour résoudre une équation simple du premier degré et l'équalion binôme du second degré. La règle pour la résolulion d'une équation quelconque du second degré se trouvait probablement dans un des livres perdus, mais quand l'équation est de la forme ax- -h 6x 4- c = o, il paraît avoir multiplié les deux membres par a puis « complété le carré » à peu près de la même manière qu'on le fait actuellement. Quand les racines sont négatives ou irrationnelles, il rejette l'équation comme « impossible » ; et même quand les racines sont toutes les deux positives, il ne donne jamais qu'une seule des racines, en prenant toujours le radical avec le signe plus. Diopliante a résolu une équation du troisième degré, à savoir :

x' -h a; = Ux^ -f- 4 (livre VI, proposition 19).

La plus grande partie de l'ouvrage est cependant réservée aux équations indéterminées à deux ou trois variables. Quand l'équation est à deux variables, si elle est du premier degré, il attribue une valeur convenable à l'une des variables et résout l'équation par rapport à l'autre. Beaucoup de ses équations sont de la forme

7» = kx"- 4- Bx + G.

Toutes les fois que les quantités A et G sont nulles, il peut résoudre l'équation complètement, mais lorsqu'il n'en est pas ainsi, si A= a*, il pose j = ax H- /n ; si C = c', il pose y = mx H- c; et enfin si l'équation peut se mettre sous la forme

y2 = {ax ± bf + c-,

il pose y = mx ; dans chacun des cas m est un certain coefficient numérique, variable suivant le problème traité. Quelques équations particulières d'un degré plus élevé se rencontrent aussi dans l'ouvrage, mais alors il modifie généralement le problème de façon

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Il4 HISTOIRE DES MATHEMATIQUES

qu'il lui soit possible de ramener l'équation à l'une des formes déjà étudiées.

Parmi les équations indéterminées simultanées comprenant trois variables ou les « équations doubles », comme il les appelle, celles qu'il considère sont de la forme

y- = Ax^ H- Ba; -f- C et 2^ = ax^ -h bx -{- c

Si A et a disparaissent à la fois, il donne une ou deux manières de résoudre le système. Nous nous contenterons de citer une de ses méthodes qui se résume comme suit :

Il soustrait d'abord membre à membre, ce qui lui donne une équation de la forme

j2 — z^ = mx H- n ; dès lors si

ydzz = l, on en déduit

mx -+- n

et en résolvant on trouve y et z. Sa façon de traiter les « équations doubles » d'un ordre supérieur manque de généralité et dépend des conditions numériques particulières du problème.

Passons enfin à la matière elle-même du livre. Les problèmes qu'il traite et l'analyse qu'il en donne sont si variés, qu'il n'est pas possible de les exposer ici avec toute la concision désirable ; pour donner une idée de ses méthodes nous avons donc choisi cinq problèmes types. Ce qui paraît le plus avoir frappé ses critiques, c'est l'ingéniosité qu'il montre dans le choix comme inconnues de certaines quantités, le conduisant à des équations qu'il peut résoudre, et aussi les artifices au moyen desquels il trouve les solutions numériques de ces équations.

Nous donnons les problèmes suivants comme exemples caractéristiques.

1° Trouver quatre nombres tels que les sommes de trois d'entre eux pris de toutes les manières possibles soient égales à quatre nombres donnés 22, 2k, 27 et 20 (livre I, prop. 17).

Si X est la somme des quatre nombres, les nombres cherchés sont

X — 22, X — 2/j, X — 27 et X — 20.

CHAPIXRE V. LE IV® SIÈCLE APRES JÉSUS-CHRIST Il5

On a donc

d'où

et les nombres sont 9, 7, 4 et 1 1 .

2° Diviser un nombre tel que i3, qui est la somme de deux carrés 4 et 9, en deux autres carrés (livre II, prop. 10).

Puisque, dit-il, les carrés donnés sont 2- et 3^, il prendra {x -f- 2)' et {mx — 3)^ pour les carrés cherchés.

En supposant m = 2, il pose l'équation

{x -i- 2)2 -+- (2x — 3)2 = i3 d'où

Les carrés cherchés sont donc

—^ et

3° Trouver deux carrés tels qu'en ajoutant à leur produit soit l'un, soit Vautre, on ait deux nouveaux carrés (livre II, prop. 29).

Soient x^ et y^ les nombres cherchés. D'après les conditions imposées x^y^ -+- y- et x^y^ -t- x^ sont des carrés.

La première somme sera un carré si cc^ H- i est un carré. Il suppose que ce dernier peut être pris égal à (x — 2)2 ce qui lui donne

ensuite

doit être un carré et dans ce but il suppose que

d'où il lire

Les carrés cherchés sont, par suite,

Si et ^ 16 ^ 570"

ii6

Il faut se rappeler que Diophante n'employait qu'un seul symbole pour désigner une quantité inconnue et dans l'exemple mentionné il commence par appeler les inconnues œ* et i, puis aussitôt la valeur de x trouvée, il remplace le i par le symbole usité pour représenter l'inconnue et détermine cette seconde inconnue à son tour.

4' Trouver un triangle rectangle {rationnel) tel que la bissectrice de l'un des angles aigus soit rationnelle (livre VI, problème 18).

Fig. lO.

Voici sa solution. Soit ABC un triangle rectangle en C remplissant les conditions de l'énoncé.

Représentons la bissectrice AD par 5x et DC par "ix, alors

AC = [\x.

Supposons ensuite que BC soit un multiple de 3, 3 ^ar exemple. Par suite

BD = 3 — Sa- et AB = 4— 4a:.

Alors

(4 — 4^t)2 = 32-+-(4^)^ d'où

En multipliant par 32 nous obtenons pour les côtés des triangles 28, 96 et 100, et pour la bissectrice 35.

5" Un homme achète x mesures de vin, les unes à 8 drachmes, les autres à 5. Il paie pour le tout un nombre de drachmes représenté par un carré, tel que si on y ajoute 60 le nombre résultant est égala x^. Trouver le nombre des mesures achetées à chaque prix (livre V, prob. 33).

Le prix payé est x^ — 60 ; on doit par conséquent avoir

Sx > x^ — 60 et 5x <Cx^ — 60