CHAPITRE XVI. LA. VIE ET LES TRAVAUX D ISAAC JJEAVTON I

Descartes pour donner les limites du nombre des racines imaginaires. Il se sert du principe de la continuité pour expliquer comment deux racines réelles et inégales peuvent devenir imaginaires, en passant par l'égalité, el donne des exemples empruntés à la géométrie ; il montre ainsi cjue les racines imaginaires doivent se présenter par couples. Newton donne aussi des règles pour trouver une limite supérieure des racines positives d'une équation numérique, et pour déterminer les valeurs approchées des racines numériques. Il énonce de plus le théorème bien connu qui permet de calculer la somme des /?" puissances des racines d'une équation, et il pose les fondements de la théorie des fonctions symétriques des racines d'une équation.

Le théorème le plus intéressant contenu dans cet ouvrage est relatif à la tentative faite pour trouver une règle (analogue à celle de Descartes pour les racines réelles) permettant de déterminer le nombre des racines imaginaires d'une équation. Newton n'ignorait pas que le résultat auquel il était arrivé n'était pas général, mais il n'a pas fait connaître les cas où son théorème tombe en défaut. Son théorème peut se résumer comme il suit : supposons que l'équation soit du if degré et ordonnée par rapport aux puissances décroissantes de x (le coefficient de x" étant positif), et supposons formées les /? + i fractions

Il — lin — 2 2 n — y) p

2 II in — I '

écrivons les sous les termes correspondants de l'équation; alors, si le carré d'un terme quelconque multiplié par la fraction correspondante est plPiS grand que le produit des deux termes qui le comprennent, mettons le signe pliis au-dessus de ce terme ; dans le cas contraire, mettons le signe moins ; plaçons enfin le signe plus au dessus du premier et du dernier termes ; ceci fait, considérons dans l'équation initiale deux termes consécutifs et les deux symboles correspondants. Il peut se présenter un des quatre cas suivants :

{7.) les termes ont le même signe et les symboles le même signe; d^) les termes ont le même signe et les symboles des signes contraires; (y) les termes ont des signes contraires et les sym-

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HISTOIRE DES MATIIKM VTIOUES

boles le nitinc signe ; (o') les termes ont des signes contraires et les symboles des signes contraires ; comme on a fait voir que le nombre des racines négatives ne peut surpasser le nombre des cas (a), et que le nombre des racines positives ne peut surpasser le nombre des cas (y), le nombre îles racines inini/inaires n'esl pas liift'-riciir an nombre des cas (j'S) et (o"). lui d'autres termes, le nombre des cbangements do signes dans la rangée des symboles écrits au-dessus de l'équation est une limite inléricuro du nombre des racines imaginaires. Gej>endant Nc>\ton s'exprimait ainsi : « vous pouvez presque savoir combien il y a de racines impossibles en comptant les cbangements de signes dans la série des symboles formés comme ci-dessus ». Il pensait donc qu'on pouvait généralement obtenir par sa règle, le nombre réel des racines positives, négatives et imaginaires ot non simplement des limites supérieures ot inférieures. Mais bien qu'il reconnut que la ivgle n'était pas générale, il ne put trouver (ou tout au moins il n'établit pas quelles en étaient des exceptions : ce tbéorème fut étudié plus tard par Campbell, Maclaurin, Euler et d'autres auteurs; cnliti en iSGô, Sylvestcr réussit à lui donner son vérilable sens.

Au mois d'août ifxS'i^ Ilalley vint à Cambridge afin de consulter NcAvton au sujet de la loi de la gravitation. Ilooke, Iluyglicus, Ilalley et Wrcn avait tous conjecturé que la force attractive du soleil ou de la terre sur un point extérieur variait en raison inverse du carré de la distance. Ces auteurs semblent avoir montré indépendamment l'un de l'autre que, si les conclusions de Kepler étaient rigoureusement exactes, ce dont ils n'étaient pas absolument certains, la loi de l'attraction devait être celle de l'inverse du carré. Leur argumentation était probablement îa suivante.

Si V est la vitesse d'une planète, /■ le rayon de son orbite considérée comme circulaire, et T la durée de sa révolution,

(') (>f. les l'nxcfiUwjs of Ihc Loinlvit MitlhciiKilirul >iiicirly. iS(\'k Vol. 1. n^a.

CHAPITUE XM. — LV VIE ET LES TRAVAUX u'iSAAG XEAVTON IQ

Mais si /est l'accélération vers le centre du cercle, nous avons f=~. Par conséquent, substituant la valeur ci-dessus v, on a :

Mais, d'après la 3« loi de Kepler, T" varie comme /•» ; par suite/ est inversement proportionnelle à /"-.

Ils ne purent cependant déduire de la loi la forme de l'orbite des planètes. Ilalley expliqua que leurs recbercbes se trouvaient arrêtées par leur impuissance à résoudre ce problème, et il demanda à Newton s'il lui serait possible de trouver ce que pourrait être l'orbite dune planète, si la loi de l'attraction était celle de l'inverse du carré. Newton répondit immédiatement que c'était une ellipse et promit de publier la démonstration qu'il avait trouvée en 1679. Elle fut envoyée en novembre lOS/i-

Poussé par Halley, Newton reprit alors le problème de la gravitation ; et avant l'automne de 1O8/1, il avait mis sur pied les propositions 1-19, 21, 3o, 3-^-35 du premier livre des Princlpia. Ces propositions, avec des notes sur les lois du mouvement et divers lemmes furent indiquées dans ses conférences de i68i

En novembre Ilalley reçut la communication promise par Newton. Sur ces entrefaites il se rendit de nouveau à Cambridge et y vit «un curieux traité» De motu, préparé depuis le mois d'août », Très vraisemblablement ce Traité contenait les notes manuscrites de Newton relatives aux conférences dontil aélé question ci-dessus : ces notes sont actuellement à la Bibliothèque universitaire et intitulées : « De motiicorporam » Halley engagea fortement son ami à publier les résultats auxquels il était arrivé, et, finalement, réussit à lui arracher la promesse qu'ils seraient envoyés à la Société Royale. Ils furent donc communiqués à cette Société avant le mois de février i685, dans le mémoire De Molii, qui contient la substance des propositions suivantes des Princlpia. Livre I, propositions : I, II, G, 7, 10, II, i5, 17, 32 ; Livre II, propositions 2, 3 et /|, ' Il'semble aussi que c'est grâce à l'influence d'Halley et au tact dont il fit preuve dans sa visite du mois de Novembre i684, que Newton se décida à aborder le problème complet de la gravitation et s'engagea à publier ses résultats : ils sont contenus dans les Princlpia.

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Jusque là New ton n'avait pas délcrminô l'attraction d'un corps sphériquc snr un point extérieur, pas plus qu'il n'avait calculé les détails des mouvennents planétaires, même en supposant que les divers corps du système solaire pussent être assimilés à des points. Le premier problème fut résolu en lOS,"), probablement en janvier ou février. « Aussitôt » nous reproduisons le discours que jirononça le D' Cillaisber lors de la célébration du bicentenaire de la publication des Principia, « aussitôt que jNewton eut entrevu ce tbéorème admirable — et nous savons par ses propres déclarations, qu'il n'espérait nullement arriver à un si beau résultat jusqu'à l'instant où il surgit de ses recberclies matbématiques, — tout le mécanisme de l'univers apparut à ses yeux. Lorsqu'il découvrait les théorèmes qui forment les trois premières sections du Livre I, comme lorsqu'il les exposait dans ses cours de 168/4, il ignorait que le Soleil et la Terre exerçaient leurs attractions comme s'ils étaient de simples points. Combien ces propositions durent paraître différentes aux yeux de Newton quand il constata que les résultats auxquels il était parvenu étaient exacts, alors qu'il les croyait seulement approchés en tant que pouvant cire appliqués au système solaire. Jusqu'à ce moment il ne les avait considérés comme vrais qu'autant qu'il était possible de considérer le soleil comme un point comparativement à la distance des planètes, ou la terre comme un point relativement à la distance de la lune — distance égale seulement à environ (Jo fois le rayon de la terre — mais maintenant ils les savait mathématiquement exacts, en tenant compte seulement d'une faible dilTérence provenant de la sphéricité imparfaite du Soleil, de la Terre et des Planètes. Nous pouvons imaginer combien ce passage soudain de l'approximatif à l'exact poussa Newton à entreprendre des elTorts encore plus grands. Il était maintenant en son pouvoir d'appliquer l'analyse mathématique avec une absolue précision aux problèmes actuels de l'astronomie. »

Des trois ])rincipcs fondamentaux appliqués dans les Principia, Newton avait découvert celui qui est relatif à l'attraction mutuelle des divers points matériels de l'Univers, au moins dès iGdG ; la loi des aires, ses conséquences, et le fait que si la loi de l'attraction est celle de l'inverse du carré de la dislance, l'orbite que décrit un point aut(jur d'un centre de force doit être une conique, ont été établis