CHAPITRE XVI. LA VIE ET T,ES TRAVAUX d'iSAAC >EAVTO:f l

m étant un nombre entier positif et n un nombre quelconque. Enfin, il indique que l'aire approchée d'une courbe quelconque peut être aisément déterminée ; nous décrirons la méthode d'interpolation de NeAvton en analysant sa Methodus DiJJerentialis.

A la fin de sa lettre, Newton fait allusion à la solution du « problème inverse des tangentes » sujet sur lequel Leibnitz avait demandé des explications. Il donne des formules pour l'inversion d'une série quelconque, en ajoutant qu'indépendamment de ces formules, il possède deux méthodes pour résoudre les questions de ce genre, mais que pour le moment il ne veut s'expliquer qu'au moyen de l'anagramme que voici : « Una methodus consistit in extractione fluentis quantitatis ex jequatione simul involvente fluxionem ejus : altéra tantum in assumptione seriei pro quantitate qualibet incognita ex qua caetera commode derivari possunt, et in collatione terminorum homologorum œquationis resultantis, aderuendos terminos assumpta? seriei. »

Il fait comprendre dans cette lettre qu'il est obsédé par les questions qui lui sont posées et par les controverses qui surgissent à piopos de chacune de ses productions, ce qui lui fait voir combien il a été imprudent en les publiant « quod umbram captando catenus perdideram quietem meam , rem prorsus substantialem. »

Leibnitz, dans sa réponse datée du 21 juin 1O77, explique sa méthode pour tracer les tangentes aux courbes; elle procède, dit-il, « non par les fluxions des lignes mais par les différences des nombres », et il introduit sa notation dx et c/ypour les différences infinitésimales entre les coordonnées de deux points consécutifs sur une courbe. Il présente aussi une solution du problème consistant à trouver une courbe dont la sous- tangente est constante, ce qui montre qu'il pouvait intégrer.

En 1679, Hooke, à la requête de la Société Royale, écrivait à Newton, exprimant l'espoir qu'il ferait de nouvelles communications à la Société en lui faisant part de découvertes récentes. Newton répondit qu'il avait abandonné l'étude de la physique, mais il ajoutait que le mouvement diurne de la terre pouvait être démontré expérimentalement en observant la déviation de la verticale d'une pierre tombant d'une certaine hauteur — expérience qui fut réalisée plus tard, avec succès, par la Société

i6 iiiSTOinr des mathématiques

Royale. Hookc faisait mention dans sa lettre des recherches ^'éodésiques de Picard, dans lesquelles ce dernier em[)loyait une valeur du rayon de la terre sensiblement correcte. Ce fut ce qui conduisit Newton îi reprendre avec les doimées de Picard, ses calculs de i GGG sur l'orbite lunaire, et il vérilia ainsi son hypothèse: que TelTet de la gravité s'exerçait jusqu'à la lune et qu'elle variait en raison inverse du carré de la distance. Il passa ensuite à l'étude de la théorie générale du mouvement sous l'action de la force centripète, et il démontra :

(I) Le théorème des aires ; (II) que si une ellipse était décrite autour d'un foyer sous l'action d'une force centripète, la loi était celle de l'inverse du carré de la distance ; (III) et réciproquement, que l'orbite d'un point attiré [)ar une telle force était une conique (ou une ellipse seulement, comme il le pensait). Obéissant à la règle qu'il s'était imposée de ne rien publier de ses recherches, dans la crainte de voir s'élever une controverse scientifique, il se contenta d'inscrire ces résultats sur ses livres de notes et il ne les publia que cinq ans plus tard à propos d'une question spéciale qui lui avait été posée.

\J Arithmétique universelle, qui traite de l'algèbre, de la théorie des équations et de divers problèmes, contient la substance des leçons de Newton durant les années qui s'écoulèrent de 1670 à iG83. Son manuscrit existe encore ; à force d'insister, Whiston(') obtint de Newton la permission donnée un peu à contre cœur de l'imprimer, et il fut publié en 1707. Entre autres théorèmes nouveaux sur divers points de l'algèbre et de la théorie des équations. Newton y énonce les résultats importants suivants. Il explique que l'équation dont les racines sont les solutions d'un problème donné doit avoir autant de racines qu'il y a de cas possibles différents; et il fait voir comment l'équation à laquelle un problème conduit peut avoir des racines ne satisfaisant pas à la question initiale. Il étend la règle des signes de

(*) AViM.iAM WinsTON, né le () décembre iGfi- dans le Leicestersliire, instruil à Clare Collège, Cambridge, membre de ce Collège et mort à Londres le 22 août 1753, écrivit plusieurs oa\ rages sur l'Astronomie. Il fut le suppléant de Newton dans la cliaire Lucasian à partir de i(h)(), et en 1703, le remplaça comme [jrol'esseur, mais il fut renvoyé en 171 1, principalement pour des raisons Ihéologirpies. Il fut remplacé par >icoi.as S vi>DEnso\, le matbématicicn aveugle, qui naquit en iGSa dans le Yorkshire et mourut, le 19 avril ijSj). à Christ Collège, Cambridge.