CHAPITRE XVII. DÉVELOPPEMENT DE l/\NAL\SE, ETC
déduit du second texte de la 3<= loi de Newton sur le mouvement, mais les conséquences complètes de cette loi n'avaient pas été envisagées jusqu'alors. L'application de ce principe permet d'obtenir les équations différenliclles du mouvement de tout système rigide. * Cet ouvrage plaça immédiatement son auteur au nombre des premiers géomètres de l'Europe. La matière, difficile et nouvelle, était traitée de main de maître, Lagrangc en a dit :
(( Le traité de dynamique de d'Alembert, mit fin à ces espèces de défis (que se posaient les matliématiciens du temps sur diverses questions de mécanique) en offrant une méthode directe et générale pour résoudre ou du moins pour mettre en équations tous les problèmes de dynamique qu'on peut imaginer. Cette méthode réduit les lois du mouvement des corps à celle de leur équilibre et ramène ainsi la dynamique à la statique. »
Les idées de d'Alembert ont subsisté dans la mécanique actuelle. C'est dire quelle valeur leur doit être attribuée*.
En 174A, d'Alembert publia son Traité de VÉquilibreet du mouvemcnl des Jlaides dans lequel il appliquait son principe aux fluides. Il obtint ainsi des équations aux dérivées partielles qu'il ne pouvait pas intégrer. En 1745 il développa dans sa Théorie générale des vents, la partie du sujet qui se rapporte aux mouvements de l'air, et, là encore, il fut amené aux dérivées partielles. C'est à propos de ces deux questions qu'il jeta les bases de la théorie si féconde des équations aux dérivées partielles. Une seconde édition de cet ouvrage, dédiée en 17^63 Frédéric-le-Grand, roi de Prusse, lui valut l'invitation de venir s'établir à Berlin et l'offre d'une pension ; il déclina l'une et l'autre, mais dans la suite, cédant aux sollicitations, il fit taire sa fierté et accepta la pension. En 17^7, il appliqua le calcul différentiel au problème des cordes vibrantes, et arriva encore à une équation différentielle partielle.
Son analyse l'avait par trois fois conduit à une équation de la forme :
d t'^ dX-
et il réussit alors à piouver qu'elle était satisfaite pour
çj et 'b étant des fondions arbitraires Nous croyons devoir re-
HISTOIRE DES M VTHOIATIQUES
produire ici sa solution, qui parut dans les Mémoires de F Académie de Berlin pour 17 '17.
Il commence par due qu en represenlanl - par// et ^ par q,
on a
du = tjiU -r pdx
Mais d'après Téquation donnée
Zifl f>p , dl o.r'
j)ar conséquent
pdt + '/(/./•
est une diiTérenliclie exacte. Si on la rc]irésenlc par dv,
11 résulte delà
du -\- dv = (pdx -+- qdl) -r- (pdl 4- qdj-) = (/) H- 7) (<,.r — dt),
du — dv = (pdx -h qdt) — (/)(// 4- qàx) = (p — q) (dx -hdl).
Ainsi u + v doit être une fonction de x -+■ t e[ n — r, une fonction de x — /. Nous pouvons par conséquent poser
Il -^ V = 2 o (x -h t),
et
n — i' = 2 tl- (x — /) ;
d'où
D'Alcmbert ajoutait que les conditions du problème i)li\siquo des cordes vibrantes exigent que pour x o, u s'annule pour toutes les valeurs de /. On a donc identiquement
En admettant que les deux fonctions puissent-être dévelop[)ées
