CHAPITRE Xî\. LES MATHEMATICIENS AU XI\^ SIECLE I4I

furent l'tiuliécs par (iauss. Kn parliculicr, dans les Dis'/nisitiones Arithmcticœ, * il donne la grande loi de la rcciprocilé quadratique, qu'il démontre jusqu'à six fois, tant cette loi lui paraît, et avec raison, importante; ce sujet fut repris par Jacobi, Eisenslein, Liouville, l.ebesgue Genocclii, Kummcr, Kronecker etïli. Pépin*; puis il mit au jour la théorie moderne des congrucnces du premier et du second ordre : c'est à celle-ci qu'il ramenait l'analyse indéterminée. Il étudiait également dans le même ouvrage la solution des équations binômes de la forme x" = i ; son exposé comprend le théorème célèbre dans lequel il établit la possibilité de construire par la géométrie élémentaire des polygones réguliers dont le nombre des côtés est 2'" (2" + i), m et n représentant des nombres entiers et 2" + i un nombre premier : il avait fait cette découverte en 1796. * La question fut reprise avec bonheur par ]\'anl:el en 1807 *. C'est là que Gauss a développé la théorie des formes quadratiques ternaires comprenant deux indéterminées. Gauss fit encore porter ses recherches sur la théorie des déterminants et ses résultats servirent de bases aux travaux de Jacobi qui concernent ce sujet.

La théorie des fonctions de périodicité double eut pour origine les découvertes d'Abel et de Jacobi dont nous parlons plus loin. Ces deux mathématiciens obtinrent les fonctions Thêta qui jouent un si grand rôle dans cette théorie. Cependant Gauss avait découvert indépendamment, et même à une date beaucoup plus ancienne, ces fonctions et quelques-unes de leurs propriétés ; il y avait été conduit par certaines intégrales qui se présentaient dans la Determinalio Attractionis, et il imagina, pour les évaluer, la transformation liée aujourd'hui au nom de Jacobi. Bien que Gauss en eut fait part anciennement à Jacobi, il ne publia pas ses recherches : elles se trouvent dans une série de cahiers de notes ne remontant pas à une date antérieure à 1808, et font partie de ses œuvres complètes.

De ses autres mémoires sur les mathématiques pures, les plus remarquables ont pour objet la théorie des résidus biquadratiques (oîi la notion des nombres complexes de la forme a -l- bi se trouve introduite pour la première fois dans la théorie des nombres) ; on y rencontre plusieurs tables, une en particulier sur le nombre des classes des formes binaires quadratiques ; son mémoire relatif à la démonstration du théorème que toute équation algébrique a

une racine n'cllc ou iiua^Mnairo, celui sur la sommation des séries, un autre cnlin sur l'interpolation sont aussi fort beaux. Son introduction de critériums rigoureux pour vérifier la convergence des séries infinies mérite l'attention.

Ses recherches sur les séries hypergéomélriques sont également d'un haut intérêt; elles contiennent une discussion de la fonction Gamma, sujet cpii a pris une importance considérable et a été traité, entre autres, par Kununer et Rlemann. Enfin nous avons ses théorèmes sur la courbure des surfaces et son important mémoire sur la représentation conforme, oii les résultats donnés par Lagrange pour les surfaces de révolution sont étendus à toutes les surfaces. * Ajoutons que dans un célèbre mémoire, intitulé : Disr/nisitiones générales circa superficies curvas, Gauss démontre ce théorème très remarquable que : Quand une surface est applicable sur une autre par déformation, sans rupture ni dupliralure, le produit des deux rayons de courbure principaux est le même pour les deux surfaces en deux points corespondants *. II paraît que Gauss aurait aussi découvert quelques propriétés des quatcrnions.

Une de ses notes concerne l'allraclion des ellipsoïdes homogènes ; de plus, son mémoire de i83(j, déjà cité, Allfjcmeine Lehrsatze in Beziehunrj auf die im verkehrlen Verhaltnisse des Quadrals der EntfernwKj, traite de la théorie des forces attractives suivant l'inverse du carré de la distance; Gauss y établit que les variations séculaires éprouvées par les éléments de l'orbite d'une planète sous l'iniluencc de l'attraction d'une autre planète, exer(;ant une action perturbatrice, sont les mêmes que si la masse de cette seconde planète était distribuée au delà de son orbite et suivant un anneau elliptique, cela de telle sorte qu'à des arcs de l'orbite décrits dans le môme temps correspondent des masses égales de l'anneau.

Les grands maîtres de l'analyse moderne sont Lagrange, Laplace et Gauss qui furent contemporains, et il est intéressant de noter le contraste marqué qui existe dans leurs écrits. Lagrange est parfait à la fois dans la forme et dans le fond, il est soucieux de donner la voie qu'il a suivie et ses écrits sont d'une lecture facile. Laplacc par contre n'cx[)llquc rien ; la forme le laisse indifférent, et une fois assuré de l'exactitude des résultats trouvés, il se con-