CHAPITRE XIX. LA TIIKORIE DES FONCTIONS. ETC. I

Herinite(')*. — Charles Ilcrmile naquit à Dieuzc, en Lorraine, le a'i décembre 1823 et mourut le i4 janvier 1901 à Paris. 11 fit ses études au collège de Nancy, puis à Paris, au collège Henri IV et au collège Louis-le-Grand, où sa vocation de mathématicien s'affirma : déjà il lisait à la Bibliothèque Sainte-Geneviève le Traité de la résolution des é(juations miinériqiies de Lagrangc et achetait avec ses économies la traduction française des Recherches arith?nétiques de Gauss.

Ses premières recherches, concernant l'impossibilité de résoudre algébriquement l'équation du cinquième degré, furent publiées en 18/12 dans les Nouvelles Annales de Mathématiques. 11 donne une démonstration fort simple de la proposition découverte par Abel.

La même année, il entrait à l'Ecole polytechnique et menait de front les études classiques qui lui étaient imposées et ses recherches personnelles. Dès le mois de janvier 18/48, il écrit à Jacobi pour lui faire part de ses recherches sur les fonctions abéliennes. Retendait aux fonctions abéliennes un théorème important des fonctions elliptiques, découvert par Abel. En août i844, il écrit de nouveau à Jacobi, cette fois au sujet de la transformation des fonctions elliptiques : il énonce alors les principes de la théorie des fonctions 0. Jacobi s'intéressa vivement à ces recherches, au point d'insérer les deux notes d'IIermite dans l'édition complète de ses œuvres.

Plus tard, en i855, Hermite étend aux fonctions abéliennes le problème de la transformation, résolu pour les fonctions elliptiques par Abel et Jacobi. Etant données les deux équations différentielles, qui pour un radical portant sur un polynôme arbitraire du cinquième ou du sixième degré, définissent les fonctions abéliennes, Ilcrmite considère simultanément les quinze fonctions uniformes quadruplement périodiques introduites par Gopel et Rosenhaïn, et qui sont les analogues de snx, cnx, dnx. Le problème de la transformation est dès lors ainsi posé : Pour un polynôme donné, déterminer un nouveau polynôme tel qu'en formant des combinaisons linéaires convenables des équations différentielles relatives à ce polynôme, les quinze fonctions abéliennes cor-

(') Cf. Vœmre scientifique de Charles IIermite par E. Picard, <( Acta mattiematica» , lome XXV.

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respondanlcs s'expriment rationnellement à l'aide des (|iiin/e pre- ■mières.

Pour résoudre ce problème algébrique, Ilcrmilc ^c place au point de vue transcendant et cherclie d'abord à étendre aux fonctions 0 de deux variables l'analyse qu'il indiquait jadis à Jacobi au sujet des fonctions 0 d'une variable. De grandes difficultés se présentaient aussitôt, difficultés qui furent plus tard l'occasion de remarquables travaux de MM. Clebscli, NcUber, Enriques, Caslelnuovo, Ilumberl, Picard. Nolons en passant que si les courbes algébriques possèdent un seul invariant, le genre, les surlaces en possèdent plusieurs. MM. Picard et Siniart ont résumé les questions de cette nature dans un beau traité, actuellement en cours de publication.

Les difficultés qui se présentaient à Ilcrmilc étaicul surtout de nature arithmétique et n'avaient pas leur analogue dans la théorie des fonctions elliptiques. De là, la nécessité de fonder en quelque sorte une branche d'analyse nouvelle, ce que sut faire llermite en un admirable travail, bien souvent commenté, et qui a ou\crt la voie à d'importants mémoires de Laguerre et de M. Jordan.

llermite n'abandonnait point pour cela la théorie des fonctions elliptiques, dont les belles formules, disait-il, remplissaient de joie son âme d'algébriste. En 1808, il reprend l'élude de leur transformation et y rencontre entr'autrcs une solution de l'équation du cinquième degré, solution non-algébrique, cela va sans dire, et analogue à la solution trigonométrique de l'équation du troisième degré. Celle solution s'elTectuc n l'aide des fonctions modulaires, dont le rôle important en arithmétique et en géométrie s'accentue en ce sens qu'elles ont conduit aux célèbres fonctions fuchsiennes découvertes par M. Poincaré,

Dès sa jeunesse, llermite fut séduit par la théorie des nombres. La lecture d'un théorème de Jacobi, démontrant l'impossibilité d'une fonction d'une variable à trois périodes, des Jh'clurclics arillimcli(ju('s de Gauss, l'amenèrent à étudier les formes quadratiques, c'esl-à-dire les polynômes homogènes du second degré, et à introduire dans cette théorie la considération de variables continues ; il en devait tirer nombre de résultats intéressants, ceux notamment qui concerne leur réduction. Citons encore ses beaux travaux relatifs à leurs invariants, où il devait se rencontrer avec Cayley el Sylvesler.