CHAPITRE XI\. l.V TIIÉOUIE DES FONCTIONS, KTG

il publia une note sur les surfaces orthor/onales qui fut l'origine de savantes recherches de Bonnet, Cdyle;y, M. Darboux et M. Lévy.

En collaboration avec Albert Briot, Bouquet résolut de mettrede l'ordre et de la précision dans l'œuvre immense de Cauchy ; ils surent en tirer une œuvre originale, concernant la nature des fonctions aux points singuliers. Fuchs a donné postérieurement le développement en séries des intégrales des équations linéaires. M. Poincaré a fait de même pour le cas d'équations non linéaires. Cauchy et M'"" de Kowalewski avaient résolu le problème pour les points ordinaires. Bientôt suivit le Traité des fonctions elliptir^ues de Briot et Bouquet, fondé sur la théorie des imaginaires, œuvre considérable, qui eut le plus légitime succès.

C'est à Briot seul qu'on doit le Traité des fonctions abéliennes.

Bouquet entra à l'Académie des sciences en iSyj *.

* Godazzi. — Dclfuio Codazzi naquit à Lodie le 7 mars 1824 et mourut à Pavie le 21 juillet 1873.

Professeur d'algèbre supérieure et de géométrie à l'Université de Pavie, il publia plusieurs travaux concernant la théorie des surfaces et les coordonnées curvilignes. En 1861, l'Académie des sciences de Paris lui accorda avec éloges une mention honorable au sujet d'un mémoire présenté pour le grand prix des sciences mathématiques, et concernant la théorie des surfaces applicables sur une surface de révolution. On y rencontre d'importantes formules, à dire vrai rencontrées déjà par Mainardi, et qui portent le nom de formules de Codazzi*.

* Faà di Bruno. — François Faà di Bruno, issu d'une noble famille, naquit à Alexandrie le 7 mars 1826 et mourut à Turin le 26 mars 1888.

D'abord capitaine au service de la maison de Savoie, il vint étudier à Paris, démissionna et suivit les cours de Cauchy, de Leverrier^ se liant entre temps avec l'abbé Moigno et Ilermite. De retour à Turin, il entra dans les ordres, mais il professa jusqu'à sa mort, dans la chaire d'analyse supérieure de l'université.

Plus important que ses travaux sur la théorie de l'élimination,, sur le calcul des erreurs, est son Traité des formes binaires, écrit en français et traduit en allemand.

lS6 HISTOinE DES M ATIIKM \TIQLES

Faà di Bruno voulait composer égalonient un grand traite en trois voliuiics sur la théorie et les applications des fonctions elliptiques ; malheureusement il ne put en écrire qu'environ la moitié. Deux importantes erreurs de l'auteur (les Fandafitenln nova y sont relevées*.

* Catalan ('). — Eugcnc-Cjiarles Catalan naquit à Bruges en i8i4 et mourut à Liège en iî^()'|.

Elevé à Paris, il entra à lEcole polytechnique et fut nommé à sa sortie professeur au Collège de Cliàlons-sur-Marne ; il passa de là au collège Sainte-Barbe, à Paris.

Les premiers travaux de Catalan concernent le calcul des probabilités et la théorie des combinaisons reprises par tant d'auteurs, particulièrement .MM. Bouché et André ; citons aussi ses remarques sur la théorie des nwimlrcs carrés, procédé conventionnel de résolution d'équations linéaires dont les coefficients sont entachés de légères erreurs, mais dont le nombre surpasse celui des inconnues. Etudiée par Gauss, Laplacc et beaucoup d'autres, cette méthode passe pour la meilleure en l'espèce, mais est fort compliquée. Catalan a le mérite de l'avoir simplifiée. MM. Mansion et Goedseels se sont occupés récemment du même sujet.

Catalan a publié un remarquable mémoire sur la transformation des intégrales multiples, se rencontrant sur ce point avec Jacobiet Laurent, puis une méthode de détermination des intégrales multiples, enfin divers travaux d'analyse.

Ses notes concernant les surfaces minima, où Plateau s'est illustré, la courbure de la transformée plane d'une courbe tracée sur une surface dévcloppable, les trajectoires orthogonales des sections circulaires d'un ellipsoïde, sur la projection stéréographique, ont une réelle valeur.

Ses publications sur la série harmonique, sur la transformation des séries, sur certaines lignes de courbure, sur les polyèdres lui valurent une chaire à l'université de Liège et d'être élu à l'Académie de Bruxelles. Dès lors, il se livra de plus en plus à ses travaux favoris, principalement la théorie des nombres, les polynômes de Lcgendre, les fonctions elliptiques et surtout les j)ro(luils infinis, où il se rencontra encore avec Jacobi *.

{*) V. Mansion. — Discoure! sur /(•.•; Iravaux iHath(hiiatii]iirs de M. E.-(",. Catalan.

CIIAPITUK \IX. r. V THÉORIK DES KONCTTONS, ETC. 187

* Brioschi. — François Briosclii naquit à Milan le 2 2 décembre 1821 et mourut le i3 décembre 1897. l^i'olesseur à l'Université de Pavic, secrétaire général de l'Instruction publique, député, sénateur, fondateur de l'Institut technique supérieur de Milan, membre de la plupart des grands corps savants, il eut une carrière des plus brillantes.

Dans l'espace de cinquante années, il publia environ deux cents cinquante mémoires, concernant l'algèbre, la géométrie, le calcul intégral.

En géométrie supérieure, on peut citer ses travaux sur les lignes ■de courbure, sur les surfaces dont les lignes de courbure sont planes ou circulaires, sur l'intégration des équations diiTérentielles auxquelles on est conduit par la considération des lignes géodésiques, sur les tangentes doubles de quelques lignes du quatrième ordre à points doubles.

Pour l'analyse, il y a lieu de rappeler ses mémoires sur les équations aux dérivées partielles du deuxième ordre, sur la distinction des maxima et minima dans le calcul des variations, sur une propriété des équations aux dérivées partielles du premier ordre, sur la réduction des intégrales elliptiques.

En algèbre, ses principales publications se rapportent à la théorie des dé 1er minants cl leurs applications, ouvrage qui eut les honneurs de nombreuses traductions, et surtout à la théorie des formes algébriques, qui fut l'objet de toute sa prédilection. A propos de l'ouvrage dictatique de Brioschi sur les déterminants, citons ceux de SpottisAvoode, Baltzer, Giinther, Dostor, Scott, Muir, Mansion. La théorie de l'élimination doit de nombreux progrès à Brioschi, et aussià Sylvester, Cayley, Salmon, Jacobi, Hesse,Cauchy, Gordan.

Brioschi fut moins un esprit original qu'un habile calculateur ; il sut mettre au point nombre de théories importantes, et c'est à ce titre surtout qu'il a laissé, et justement, un nom dans la science *.

* Casorati. — Félix Casorati naquit à Pavie le 1 7 décembre i835 et y mourut le 1 1 septembre 1890. En i858, il fut nommé professeur d'algèbre et géométrie analytique, puis en i803 de calcul infinitésimal, à l'université de sa ville natale.

Il fut ensuite membre de la plupart des académies italiennes et étrangères.

l88 lllST(»IUi: I)i:s M VTIIKMATIOl ES

Les travaux de Casorali se rapportent presque uniquement à l'analyse ; les plus importants concernent la théorie des tondions d'une variable complexe et comprennent sept mémoires parmi les quarante-sept qu'il a publiés; ce sont : cjuclqucs réilexions relatives à la théorie générale des lonclions d'une variable, théorème fondamental dans la théorie de la discontinuité des fonctions, théorie des fonctions d'une variable complexe, relations fondamentales entre les modules de périodicité des intégrales abéliennes de première espèce, autour du nombre des modules des équations ou des courbes algébriques d'un genre donné, sur les fonctions analytiques, sur de récents travaux de Weierstrass^t Mittag-Lelfler au sujet des fonctions d'une variable conqjlexe *.

* Halphen ('). — (ic(H'(/i\s-llcnri Ud/jilicn iwujuil à iiouen le 3o octobre i844 et mourut à Paris en 1889. Entré à l'Ecole polytechnique en 1863, il s'y fit bientôt remarquer par un incontestable talent d'algébristc. 11 prit part à la campagne de 1870, puis fut nommé en 1870 répétiteur à TEcole polytechnique. 11 put dès lors se consacrer entièrement aux sciences mathématiques.

Un de ses premiers travaux se rapporte à cet important [)roblème de géométrie : une conique est définie par cinq conditions, en sorte que l'équation générale d'un système de coniques assujetties à quatre conditions renferme un seul paramètre ; combien un i)areil système contient-il de coniques satisfaisant à une cinquième condition ? l>'amiral de Jonquières avait indiqué une solution simple mais incom[)lète dti problème. Ghasles l'axait coni[)létée, sans donner la démonstration de son résultat, (|ui était erroné. l']n 187^ seulement, Glcbsh, l'un des savants les plus justement célèbres de l'Allemagne, et Halphen résolurent définitivement la question. 11 se trouvait même que la solution d'nali)hen était susceptible d'extension à une conrbe quelconque, plane ou gauche, et aux surfaces.

En ce premier travail, apparaît nettement l'esprit méthodique d'Halphen, qui se préoccupait bien plus de trouver effectivement les solutions des problèmes poses et d'en tirer toutes les conséquences

(') II. PoncAnii. — Journal de l'Ecole Polyleclinlque, 1890.

ciiAriTRE xix. — i,v Tiii'ouir: dfs fo>'ctio\s. ktc. T(Sg

que d'étendre indéfiniment et superficiellenncnt les frontières de la Science.

Une autre question de pure géométrie, étude des points singuliers des courbes algébriques, retint longtemps Halphen. Cette question est analogue à la précédente et n'olTre pas moins d'importance pour l'Analyse que pour la (Géométrie. D'une part, en cfTet, elle touche aux travaux classiques de Puisoux sur la théorie générale des fonctions et, d'autre part, elle se rattache aux transformations birationnelles des courbes algébriques et, par conséquent, aux propriétés fondamentales des transcendantes abéliennes.

C'est à ce dernier point de vue que se plaça Halphen. U sut montrer entre autres résultats intéressants, qu'une courbe plane quelconque peut être considérée comme la perspective d'une courbe gauche admettant un point singulier unique à tangentes séparées.

Le chef-d'œuvre d'Halphen est son Mémoire sur les courbes gauches algébriques, couronné en 1881 par l'Académie de Berlin. Les courbes gaviches ne peuvent être définies par un nombre unique, comme les courbes planes, qui le sont par leur degré. Le genre des courbes gauches n'est pas non plus lié à leur degré par une relation algébrique, comme il se fait pour les courbes planes. La classification des courbes gauches présentait donc des difficultés spéciales et considérables, que sut vaincre Halphen, A titre d'applications, il donna dans son mémoire la classification des courbes des vmgt premiers degrés et des courbes de degré i'?o.

Rappelons à ce propos les travaux de NOther, bien qu'ils soient d'ordres tout différents, en ce sens surtout qu'ils se rapportent à des problèmes ayant leurs analogies, en géométrie plane.

Les travaux géométriques d'Halphen se rattachent tous à la géométrie énumérative, qui a pour but de déterminer le nombre des points, des droites, des courbes ou des surfaces qui satisfont à certaines conditions données. Cette branche de la géométrie a été fondée par Chasles. Nombre de géomètres s'y sont intéressés dans la suite. Halphen a le mérite d'y avoir introduit la rigueur bien à tort négligée par ses devanciers.

C'est au moyen des invariants de Laguerre, dont nous avons parlé à propos de Galois, qu'Halphen réussit à intégrer une classe très remarquable d'équations différentielles, travail qui lui valut.

Tf)0 HISTOIRE IiES MATIII-.MATIorES

en 1880, le frrand [)iix des sciences mathématiques proposé par l'Académie des sciences de Paris.

Deux notes mémorables de cet éminent géomètre (|uo lut Laguerre avaient appelé l'attonlion des géomètres sur les invariants des équations dillérentielles linéaires. Halphen \ trouva de suite ua rapport avec ses recherches antérieures et y vit un moyen d'édifier une théorie complète des invariants des équations linéaires. Le nombre des invariants absolus distincts d'une équation linéaire étant inférieur de deux unités à son ordre, et ces invariants pouvant être elTectivement obtenus en ramonant l'équation à une forme dite canonique, on peut reconnaître par un j)rocédé déduit de ces données si une équation dincrenliellc linéaire est susceptible d'être ramenée, au moyen d'un changement de variable et de fonction n'altérant pas sa forme, à certains types connus déjà intégrés. Les relations entre invariants absolus jouent dans colle question un rùle capital et c'est de la nature de ces relations qu'Halphen déduisit la solution du beau problème qu'il s'était posé.

C'est ainsi qu'Halphen élargit considérablement le champ des formes intégrables connues à son époque, et qui étaient les équations à coefficients constants, certains cas particuliers de l'équation de Gauss, certaines équations du second ordre à quatre points singuliers et les équations à coefficients doublement périodiques d& M. Picard.

Halphen avait entrepris dans ses dernières années une œuvre de longue haleine que la mort ne lui laissa pas le temps d'achever : son Traite des fondions elliptitjues ei de leurs applications. Le but de ce grand ouvrage, dont les trois quarts ont vu le jour, était de mettre au service des astronomes ces belles théories, jusqu'alors restées dans le domaine de la science pure. Les notations employées sont celles de W eierstrass. Le rôle des fonctions pu, aa y est prépondérant et les fonctions (j. sn. dn, en y sont reléguées au second plan. L'avantage des notations nouvelles est incontestable. Par exemple, il n'est plus nécessaire dans les questions de physique ou de mécanique, où interviennent les fonctions elliptiques, de distinguer trois cas : une seule analyse suffit.

Halphen a été prématurément enlevé à la science ; géomètre éminent alors qu'il était relativement jeune, il se fut classé dans la suite parmi les mathématiciens illustres.