CHAPITRE \1\. L.V TIIl-ORtE DES FONCTIONS, ETC. \C

i8/i()) tous deux de Dublin, ont été, au xix" siècle, deux des premiers écrivains de la (irande Bretagne qui se soient occupés de géométrie analytique; mais leurs éludes concernent surtout des sujets déjà étudiés avant eux. Jnlius Plticker i') fi8oi-i868), de Bonn, introduisit de nouveaux développements dans cette science; il se consacra spécialement à l'étude des courbes algébriques, à une géométrie dans laquelle la droite est l'élément de l'espace, à la théorie des congrucnces et des complexes. * On lui doit encorel'importante méthode des notations abrégées, les coordonnées tangenlielles, les coordonnées trilinéaires, l'emploi des formes canoniques. On doit aussi à Plïickerdes recherches concernant les singularités dites ordi/iaires des courbes planes algébriques, recherches auxquelles la notion de clas.se, introduite par Gergonnc, donna naissance.

Gergonnc\ né à Nancy en 1771, mort à Montpellier en iSSg, professeur à l'Ecole Centrale de iNîmes, professeur d'astronomie à Montpellier, recteur de l'Académie de celle ville, exerça une grande influence sur la Géométrie de son temps par ses Annales de Mathématiques, pvxhViées à Nîmes de 1810 à i83i, et qui furent pendant plus de quinze ans la seule publication du monde entier exclusivement consacrée aux mathématiques. Il sut reconnaître la valeur des méthodes de Poncelet et les perfectionner même par le principe de dualité.

Les célèbres formules de Pliickcr, auxquelles nous avons fait allusion plus haut, ont été généralisées par Salmon et surtout par Gayley qui, ajouterons-nous à ce propos, a contribué pour une bonne part à la théorie des surfaces du 3° et du \'' ordre *.

En 18/^7, Pliicker échangea sa chaire de mathématiques pour une chaire de physique ; ses nouvelles recherclics se rapportent au spectre solaire et au magnétisme.

La majeure partie des mémoires qu'écrivirent .1. Cayley et Henry Smith sur la géométrie analytique concernent la théorie des courbes et des surfaces; les plus remarquables de L.-O. //e5.?e (1811-187/1) de Munich, sont relatifs à la géomélrie plane dos courbes; * mieux que Pliicker, il sut développer la méthode des homogènes; il enrichit, ainsi que PaulSerret, la théorie des surfaces

(') I^es œuvres n'unies de Plucker, en trois voliuncs, éditées par A. Sguckm- FLiEs et F. PocKELs, Ont été publiées à Leipzig, 187:), 1896.

300 insTOiaE des m vthkm vtioi es

du 2" ordic d'une l'oulc de propriétés cléfranles* ; ceux de M. Da/boux, traitent de la géométrie des surfaces ; ceux de G.-JI. Halphen et de M. Appell s'occupent des particularités des surfaces cl des courbes gauches. Les singularités des courbes et des surfaces ont également été étudiées par IJ.-C. Zeutlwn, de Copenhague, et par II.-C.-IJ. Schubert ('),de llandiourg. La théoriedes courbes gauches a été discutée par M. N<ilhei\ d'Krlangen ; cl li.-F. A. Clehsrh, a appliqué à la géométrie le théorème d'Ahel.

* Mobiiis 1790-18G8, a délrrminé les formes des dilTéronlcs cubiques au moyen de considérations purement géoméiriques et Zcnlhen a discuté celles des courbes planes du quatrième ordre ; F. Klein a relié les résultats de Zeulhen à ses recherches sur les surfaces cubiques, Kohn s'est occupé des surfaces du quatrième ordre, Dych a représenté au moyen de surfaces les fonctions d'une \ariablc complexe, Schnn flics et ]an \'leck ont étudié les polygones tant rectilignes que curvilignes *.

Parmi les plus récents classiques sur la géométrie analytique, nous citerons : l'ouvrage de Clebsch VorleswKjcn tibcr (]comctric, édité par F. Lindemann ; les Conic sections, la Geometry oj three Dimensions, cl Ilifjher plane Cames, de G. Salmon ; * les principales découvertes de ces savants sont respectivement reproduites dans ces traités dont les éditions françaises ont eu une grande vogue *.

Enfin, nous pouvons faire allusion à l'extension apportée à la géométrie analytique par II. -G. Grassnuinn, en i8/|'i et 18G2, G.- F.-B. Jiiemann, en i8j'i, .1. Cay/ey et plusieurs autres, à qui on doit l'idée de l'espace à n dimensions.

* Clebsch (-) Rudolf Friedrich Alfred Clebsch, naquit à ]\<)nigsberger, en Prusse, en i833 et mourut en 1872. De iSjS à i8(>3, il occupa la chaire de Mécanique rationnelle au Polytcchnicum de Garlsruhe, et passa de là à l'Université de Giessen, puis à celle de Gotlingue. Nous allons compléter ici ce que nous avons dit précédemment à son sujet. Ses travaux concernent la physique mathématique, le calcul des variations, les équations aux dérivées partielles du premier ordre, la théorie analytique générale des courbes et

(•j Les leçons de SciauEnTonl clé puljliccs, Leipzig, 1879. (-) * Nous cmiiriiiiloiis ccUc (uldllimi, cl plusieurs aulrcs, à VEltuIr sur le dévehiiiiicmrnl ilcs nu'tltmles iiroiitrlriijitcs tic M. D\niiOLX,jG.-V., à Paris, igo.'i.*

CHVPITRE \1X. L\ THKOUIE DES FONCTIONS, ETC. 20I

des surfaces, les fonctions abéliennes et leurs applications géométriques, les invariants. Il sut faciliter l'accès de l'œuvre de Kiemann et y ajouter un intérêt concret par ses considérations géométriques. La manière dont il a généralisé tonte la théorie des fonctions abéliennes a une grande valeur et a donné lieu à de remarquables travaux de Nother, de MM. Picard, Poincaré et Appell.

Dans le dernier mémoire que Clebsch a écrit, il est question de l'application des fonctions abéliennes aux équations différentielles, aux transcendantes que définissent de telles équations. De même que les intégrales abéliennes peuvent être classées d'après les propriétés de la courbe fondamentale qui reste inaltérée pour une transformation rationnelle, de même Clebsch classe les transcendantes définies par les équations différentielles, d'après les propriélés invariantes des surfaces correspondantes pour des transformations rationnelles bi-uniformes. Ce point de vue a été repris, et de très-pénétrante façon, par M. Painlevé.

L'œuvre de Clebsch se relie surtout à celles de Gordan, Salmon, Cremona, Steiner et Riemann. On peut dire de lui qu'il a introduit dans la science des idées vraiment nouvelles et fécondes, en généralisant comme il l'a fait la théorie des fonctions abéliennes, et que le manque de rigueur dont il a parfois fait preuve tient plutôt aux usages de son temps qu'à sa propre tournure d'esprit.

Il montra, le premier, dans une longue série de travaux, toute l'importance de la notion de genre d'une courbe, en développant une foule de résultats et de solutions élégantes que l'emploi des intégrales abéliennes paraissait, tant il était simple, rattacher à leur véritable point de départ. L'étude des points d'inflexion des courbes du 3" ordre, celle des tangentes doubles des courbes du 4" ordre et, en général, la théorie de l'osculation, sur laquelle s'étaient si souvent exercés les anciens et les modernes, furent rattachées au beau problème de la division des fonctions elliptiques et des fonctions abéliennes. Dans un de ses mémoires, Clebsch avait étudié les courbes rationnelles ou de genre zéro ; cela le conduisit, vers la fin de sa vie trop courte, à envisager ce qu'on peut appeler aussi les surfaces rationnelles (') *.

Cj * Cf. F. In.lei>-, Conférences sur les maUiémaliques, Hermann, à Paris,

209 HISTOIRE nES M VTIIEMATIQI ES

Annlvse. — * Nous sommes loin aiijourd'hui sur la route qu'ont ouverte Leihnilz et Newton, ces deux inventeurs du Calcul inlinitrsimal. si loin que non seulementon embrasse avec peine le chemin parcouru, mais encore qu'on distingue malaisément les nombreux embranchements créés dans la dernière moitié du \ix" siècle.

Même il est de simples mots, tels que celui de fonction, auxquels nous n'attachons plus du tout le même sens que les mathématiciens d'il y a cent ans.

Pour eux, une l'onclion était ce qu'est aujomd'luii une fonction pour les débutants. Si nous devons laisser ceux-ci à leur illusion,, de crainte de décourager leur bonne volonté, il n'empêche que le vocable a profondément changé de sens.

Quel en est le sens actuel 1' L'expliquer ici sera résumer l'histoire des mathématiques récentes et donner un aperçu, en son lieu, de ce qu'elle est. Les développements qui viendront dans la suite en seront singulièrement éclaircis.

Nous n'admettons plus qu'une fonction d'une variable soit simplement l'cnlité qu'on peut représenter par une courbe formant un trait continu.

Aux fonctions continues sans dérivées, découvertes par Riemann et Weierstrass, ne correspond en effet aucune courbe ; à certaines fonctions x '=/{!), Y = '-^(0' correspondent des aires et non plus des courbes, comme l'a montré M. Peano : quand / varie de a h h, le point X, y peut prendre des positions quelconques dans un certain rectangle. Si F(x, y) est continue par rapport à x et par rapport à y, V {x, y , nous apprend M. Dini, peut ne pas être continue par rapport à l'ensemble de x et de y. M. Lebesgue montre à son tour que les surfaces développables ne sont pas seules applicables sur un plan, car on peut, à l'aide de fonctions continues, obtenir des surfaces correspondant à un plan, de telle sorte que toute ligne rectifiable du [)Ian ait pour correspondante une ligne rectifiable de même longueur de la surface, la surface n'étant pas réglée.

Le conce{)t de fonction est donc quelque chose de plus complexe qu'on ne se l'imaginait autrefois.

On tend de plus en plus à définir, en général, les fonctions par une collection de fonctions simples : séries de monômes, séries de polynômes, séries trigonométriques ; et c'est l'élude approfondie de ces collections qui a changé l'idée qu'avaient nos ancêtres du mol