CHAPITRE XI\. LA TUKOUIi: DES FO>'CTIO>S, ETC

On a alors affaire au problème de Gaucliy, sauf que les données ne sont pas forcément analytiques, comme le suppose la démonstration de JM""' de Ko^^ale^vski.

Riemann avait donné une méthode célèbre pour l'intégration dela plus simple des équations hyberboliques, à deux variables indépendantes. Pour l'équation des ondes spliériques, à quatre variables indépendantes, on avait les beaux travaux de Poisson et de KirchliofT: on pourra consulter à ce sujet les belles leçons de M. P. Duliem. Récemment, M. Vito Volterra a renouvelé la question, par son étude de l'équation des ondes cylindriques, à trois variables indépendantes.

Ses travaux ont été suivis de ceux de ^I. 0. Tedone, de M. J. Coulon, quia donné d'intéressantes interprétations plnsiques de ses résultats, de M. R. d'Adhémar, qui a introduit la notioa très objective de conormale et qui, en même temps que M. Hadamard, a fait usage des parties finies d'intégrales infinies. M. Iladamard publie, en ce moment, d'importants travaux sur ces questions, dont on commence à apercevoir la solution générale.

On possède ainsi de beaux ensembles de résultats sur les problèmes elliptiques et hyperboliques et, suivant l'expression de M. Hadamard, des problèmes nouveaux, qu'on peut qualifier de mixtes, se poseront : en des régions différentes de la frontière donnée, les données seront de nature différente.

Nous ne saurions oublier ici que M. Delassus^ qui a étendu les résultats de MM. Méray, Riquier, Bourlet, sur le théorème de Cauchy-KoAvalewski, a aussi fait l'extension de la méthode de Riemann aux équations hyperboliques à deux variables. M. Le Roux a apporté une contribution importante à l'étude de ces questions, ainsi que MM. Blanchi, Nicoleili ('). Nous devons encore citer, au sujet des équations différentielles, les études de M. Appell sur certaines équations spéciales, celles de M. Cotton sur les formes associées, de M. Hedrick sur la nature analytique des solutions, les théorèmes d'existence de M. Holmgren, les travaux de MM. Bocher, Levi-Civita, Lauricella, Arn. Sommerfeld.

On voit assez combien l'étude des équations différentielles peut

(*) * Cf. IIadamamd, Leçons sur la théorie des ondes, Paris, 1902, ce R. d'ADuÉMAR, Les équations aux dérivées partielles, Paris, 1907 *.

2()G HISTOIKE DES MATHÉMATIQUES

se faire à des points de vue diiïércnts, el quel a été, là comme ailleurs, le grand rôle de Cauchy.

11 faut dire, cependant, que Cauchy et ses disciples français n'ont point étudié les points singuliers dénommés essentiels, dont le

point : =^ o pour la fonction c- donne l'exemple le plus simple. C'est AYeierslrass qui montra, par la considération des facteurs primaires, que dans le voisinage d'un point singulier essentiel isolé, une fonction uniforme peut se représenter par le quotient de deux fonctions uniformes n'ayant pas de pôle de ce point^singulier et que, dans le voisinage d'un tel point, la fonction s'approche autant qu'on veut de toute valeur donnée.

M. Picard cl, longtemps après lui, AI. Schottky, a élahli ce très important résultat : que dans le voisinage d'un point singulier essentiel isole, la fonction prend rigoureusement une infinité de fois toute valeur donnée, sauf pour deux valeurs particulières, au plus. Après M. Picard, M. Borel a approfondi et généralisé ce théorème.*

Signalons maintenant les travaux de M. Iladamard sur le genre des fonctions entières et l'application qu'il en a faite à l'élude de la distribution des racines d'une fonction qui se rencontre dans l'élude des nombres jiremiers, ceux de M. Borel sur les zéros des fonctions entières, ceux de M. Darboux sur Tapproximalion des fonctions de grands nombres, ceux enfin de M. Lindelof sur le prolongement analytique, renvoyant pour cette dernière question à ce que nous avons dit précédemment, mais nous ne saurions oublier ici que M. Appell, M. Picard aussi, a fait une magistrale élude de fonctions généralisant certaines intégrales abéliennes, qui se présentent dans la recherche des coefficients des fonctions abéliennes de deux variables, quand on les développe en séries trigonométriques.

Nous aurions encore à énumérer diverses découvertes importantes concernant les fonctions de deux variables cl à [)arler à ce propos des travaux d'Ilcrmile, de M. Picard (' . de M. Bourget, de M. llumbert, qui ont attaché leurs noms aux groupes hyper-

P) * Nous nous sommes larironicnl iiisjiircs dans celle noie cl dans plusieurs autres des Gonfûrenccs faites par ^!. Picard en Améri(juc ((jautliior-\ iiiars .'i Paris, içjob) *.