CHAPITRE XIX. LA TllliORIE DES FONCTIONS, ETC. 2O

fuchslens et hyperabélicns, aux fondions ubéliennes singulières, mais nous sortirions peut-être du cadre de cet ouvrage.

Nous ne saurions trop insister cependant sur la théorie des groupes, fondamentale aujourd'hui, car les groupes sont à la base de l'algèbre toute entière, théorie des formes, des invariants, etc., et de l'analyse. Ils définissent des transcendantes, telles que les fonctions fuchsiennes de M. Poincaré, nommées automorphes par MM. Klein et Fricke : ici se placent de remarquables travaux de MM. Humbert, Lerch, Picard, Stouff, Alezais.

Avec MM. Klein, Jordan, Poincaré, Painlevé, Boulanger, les groupes discontinus finis interviennent dans la théorie des équations différentielles linéaires. Les groupes continus sont à la base de la théorie généralisée de lintégration des équations aux dérivées partielles, de S. Lie.

M. Picard, suivi par MM. Drach et Vessiot, a inauguré la classification générale des transcendantes par les groupes. La considération des groupes de transformation à un nombre fini de paramètres a conduit enfin ^L Vessiot à une théorie complète de l'irréductibilité des systèmes différentiels, couronnée par l'Académie des Sciences.

C'est dire quelle place Galois et Lie tiennent dans la science actuelle. De ce dernier savant, dont le rôle n'a pas été complètement mis en lumière par M. Rouse-Ball, citons encore la Géométrie des sphères, développée par M. Darboux, et qui fait correspondre les lignes de courbure d'une surface aux lignes asymptotiques d'une autre surface, ses travaux sur les transformations de contact, dont bien des cas parlicuUers avaient déjà attiré l'attention des géomètres, telle la variation du paramètre, exposée par Lagrange dans le problème des trois corps ; une des plus importantes applications des transformations de contact se rencontre dans la théorie des équations aux dérivées partielles qui, à ce nouveau point de vue, acquiert un degré de profondeur jusqu'alors inconnu ; la véritable signification des mots solution, solu lion fjéncrale, complète, sing litière, introduits par Lagrange et Monge, devient tout-à-fait claire. Nous aurons à revenir sur ces questions et il apparaîtra alors que Lie tient l'une des premières places dans la science actuelle.

Peut-être est-il bon de rappeler ici qu'avec ALM. Fuchs et Poin-

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carc. M. Painlevé a montré quel grand rôle jouail dans l'inlénfration d'importantes équations dilTérentiellcs non linéaires la célèbre équation de liiccati en tant qu'élément de réduction.

Puis, ce sont les conditions déterminant les intégrales des équations dilTércntielles qui prennent de nos jours des formes très diverses. Ainsi certaines données peuvent remplacer les conditions usuelles de continuité.

Bien dilTércntes de cet ordre d'idée sont les questions qui concernent la rcclierciic effective des intégrales. Après Kulcr, Lagrange et Mongc (Mongc dont de beaux travaux sur des questions de minimum ont été heureusement repris par M. Appell, Monge, cette gloire de la science française dont, croyons-nous, M. Rouse-Ball n'a point assez fait ressortir le mérite, qui ne connaît son admirable ouvrage sur les applications de l'analyse à la Géométrie après Ampère encore, M. Darboux a publié un mémoire fondamental sur les équations du second ordre. AI. fiom'sat a rassemblé dans un ouvrage considérable les méthodes proposées, en y ajoutant ses belles découvertes personnelles.

MM. Lerch, Appell, Picard, Goursat ont étudié aussi les séries hypergéométriques à deuxct plusieurs variables, M. Appell enfin, l'inversion des intégrales doubles, les fonctions abélicnnes, les fonctions qui généralisent les fonctions circulaires et Eulérienncs, le développement en série de fonctions holomorphes et d'importantes équations dilïérentielles qui se rencontrent en mécanique.

Nous devons rai)pclcr ici que plusieurs mathématiciens contemporains, ceux que nous venons de citer surtout, ont ouvert celle belle voie qui généralise la notion d' in h';/ raie abélienne.

Les intégrales de fonctions rationnelles attachées à une courbe algébrique donnent les propriétés essentielles de cette courbe ou. si l'on veut, de l'irrationnelle algél)rif(uc à un paramètre. L'élude des surfaces, ou irrationnelles algébriques à deux paramètres par les intégrales doubles complexes attachées à la surface est non moins intéressante. Elle a été remarquablement abordée par M. Picard. Le problème est d'ailleurs lié à VAiialysis siliis, où viennent se placer de beaux travaux de M. Poincaré.

Rappelons encore à propos de ce dernier paragraphe les noms de MM, Enriques. Gastelnuovo, lluiubert, Séveri, Lacazc. Traynard, Belti, lleegard.