CHAPITRE XVI. LA VIE ET LES TRAVAUX d'iSAAC MEAVTON i

laires, et NeAvton, dans une longue mais intéressante réponse, datée du ^4 octobre 1G7G et envoyée par l'intermédiaire d'Oldenburg,. exposa de quelle façon il avait été conduit à certains de ses résultats.

Dans celte lettre, Newton commençait par dire qu'il avait employé à la fois trois méthodes pour obtenir ses développements en séries. Il était parvenu à la première en étudiant la méthode d'interpolation à l'aide de laquelle AA allis avait trouvé les expressions de l'aire d'un cercle et d'une hyperbole. Ainsi, en considérant les séries correspondant aux expressions

il déduisait par interpolations la loi qui lie les coefficients successifs dans les développements de

et il obtenait alors, par analogie, l'expression du terme général dans le développement d'un binôme, c'est-à-dire le théorème du binôme. Il dit qu'il procéda à une vérification en formant le carré

du développement de (i — x) 2 qui se réduisit à i — a;^, etil opéra

de la même manière avec d'autres développements. Il vérifia

ensuite le théorème pour i — x-)^ en extrayant, more arithinetico, la racine carrée de i — x'K II employa également les séries pour déterminer les aires du cercle et de l'hyperbole en séries infinies, et il trouva que les résultats étaient les mêmes que ceux auxquels il était arrivé par une autre voie.

* Il est avéré, et c'est une constatation digne de remarque, que la plupart des mathématiciens ont découvert les propositions que leur ont été suggérées par l'examen attentif de cas particuliers aisément accessibles. C'est qu'il est bien plus aisé de généraliser un résultat acquis que d'apercevoir une proportion nouvelle, fùt-elle des plus simples. Halphen reprochait même aux généralisations faciles, aux généralisations sans objet, d'encombrer inutilement la science *.

Ce résultat une fois obtenu. Newton laissa de côté la méthode d'interpolation et employa son théorème du binôme pour exprimer

1 1 IIISTOIHE DES MATHEMATIQUES

(quand cela t'Liit possible) l'ordonace d'une courbe par une série infinie ordonnée suivant les puissances croissantes de l'abscisse, et il obtint ainsi, par la mélbode de A\ allis, des expressions en séries infinies pour les aires et les arcs de courbes de la manière qui est décrite dans l'appendice à son Traite d'Optique et à son De Analysi par Efjuationes Numéro Terininoruin Infinitas ('). Il signale qu'il avait employé cette seconde métliode avant les années 1660-66 et il continue en disant qu'il fut alors obligé de quitter Cambridge, et que par la suite (probablement à son retour à Cambridge) il abandonna ses premières idées : il s'était aperçu que ISicolas Mcrcalor avait déjà fait usage de certaines d'entre elle dans son ouvrage Lofjarihmolechnica, publié en 166S ; et il supposait que les autres avaient été ou seraient trouvées avant qu'il AU luimême prêta publier ses découvertes.

iSewlon explique ensuite qu'il était encore en possession d'une troisième méthode dont il avait (dit-il) envoyé vers 1669 un exposé à BarroAv et Collins avec des exemples d'applications aux aires, à la rectification, à la cubature, etc. C'était la méthode des fluxions ; mais Newton n'en fait pas l'exposition dans cette lettre, bien qu'il ajoute quelques exemples concernant son emploi. Le premier est relatif à la quadrature delà courbe représentée par l'équation

y = ax'" (6 -h ex")''

qui, dit-il. peut-être efl'ectuée comme étant la somme de /« + i

n termes, si représente un entier positif, el qui, dans le cas

contraire, ne peut pas être obtenue, si ce n'est sous la forme d'une série infinie (-). Il donne aussi une liste d'autres expressions pouvant être immédiatement intégrées et dont les principales sont :

^mn-i Cq ^ fcjr;n) 2 ; c -f- d. rr")-' , x'"" " " -'(a -h tx" ) (c -i- f/.r") ~ ^ ^

(') Voir plus bas.

(^) Cela n'est pas exact, l'intcgralion est possible si p -(- ^ "^ i est un entier.