CHAPITRE XIX. — LA TIIKORIE DES FONCTIONS, ETC

■fions de r analyse à la (jéométrie. Dans son mémoire classique sur rinl.erprctalion de la cjcomctvie non- euclidienne, il arriva à cette conclusion si importante : que les théorèmes de la géométrie non Euclidienne trouvaient 1(hu' réalisation sur L^s surfaces à courbure constante négative. A propos de l'étude qu'il fit des surfaces à courbure constante positive, il démontra que l'espace à courbure constante positive est contenu dans l'espace à courbure constante négative.

M. Hilbert, il est vrai, dans un mémoire postérieur, Ucber Flachen von Konstunler Gausscher Krammung a démontré qu'il n'existe pas de surfaces à courbures constantes négatives absolument régulières, ce qui limite singulièrement l'interprétation de la géométrie îlon-Euclidienne imaginée par Beltrami.

Beltrami publia aussi plusieurs mémoires sur diverses questions de physique mathématique.

Comme plusieurs mathématiciens, il était musicien distingué *.

Mécanique. — Nous terminerons ce chapitre par quelques notes, plus ou moins décousues, sur les branches des mathématiques d'un caractère moins abstrait, qui traitent les problèmes se présentant dans la nature. Nous commencerons par la mécanique, qui peut être étudiée graphiquement ou analytiquement.

Méthodes graphiques, — Dans la science graphique, on a établi des règles pour résoudre les divers problèmes au moyen d'épurés : les procédés utilisés sont étudiés dans la géométrie projcctivo et le «ujet est étroitement lié à la géométrie moderne. Cette façon d'aborder les questions, mise en œuvre déjà par Newton ('), a été jusqu'ici •appliquée principalement à des problèmes concernant la mécanique, l'élasticité et l'électricité. Elle est particulièrement utile dans l'art de l'ingénieur et, dans cette partie, un bon dessinateur doit être capable d'obtenir approximativement les solutions de la plupart des équations, différentielles ou autres, qu'il pourrait \raisemblablcment rencontrer, cela sans faire des erreurs dépassant celles qui proviennent de notre connaissance imparfaite de la structure des matériaux employés.

On peut dire que cette théorie a pris naissance avec les travaux

(*) Cf. pp. i2-23 de ce volume.

de Poncelet, mais nous pensons que c'est seulement au cours do ces vingt dernières années que des exposés systématiques du sujet ont élé publiés. Parmi les traités les mieuxconnus nous pouvons ciler : ]a (irapliische Slatih, Y>^T C. Ciilmann, Zurich, iS;."), récemment éditée par W. Ritler ; les J.ezioni di Slatica f/rafica, par 1 . Fararo, Padoue, 1877 (une traduction française annotée par P. Terrier, a élé publiée en deux volumes, 1879-1885) ; le Calcolo (jrafico par />. Crcmona, Milan, 187g (une traduction anglaise par T. H. Beare. a élé publiée à Oxlbrd, en i88()\ qui est fondé en grande partie sur l'ouvrage de Mobius ; la stalit/ue fjrnphifjue, par M. Lcry, Paris, '1 volumes, 188G-1888 (') ; la slalica (jraphica, par C Sairotti. Milan, 1888; * la Nomofjrai>liic [)ar M. d'Ocaijne. Paris*.

La note suivante, résumant le travail de Culuiann, donnera une idée suffisante du caractère général de ces ouvrages. Culmann commence par la description des procédés donnant la représentation géométrique des quatre opérations fondamentales : addition, soustraction, multiplication et division ; il passe ensuite à l'extraction des racines et à l'élévation aux [)uissances, cette dernière opération étant elTectuée au moyen de la spirale logarithmique. Il montre alors comment des quantités, telles que les volumes, les moments et les moments d'inertie, peuvent être représentées par des lignes droites : il en déduit les règles pour combiner les forces, les couples, etc. Puis il explique la construction et l'usage de l'ellipsoïde d'inertie^ et de S(>s éléments. Le reste de l'ouvrage, c'est-à-dire sa majeure partie, montre comment les tracés géométriques, faits d'après les principes exposés, donnent les solutions de nombreux problèmes pratiques relatifs aux cintres, ponts, charpentes, à la pression des terres sur les murs et sur les voûtes, etc.

Le sujet a été traité durant ces vingt dernières années par de nombreux mathématiciens surtout en Italie et en Allemagne, et a été a^ipliqué à un grand nombre de questions. Mais comme nous avons déclaré au commencement de ce chapitre que nous éviterions, autant que possible, de discuter les ouvrages des auteurs vivants, nous n'en dirons pas plus long sur ce sujet.

* Poinsot. — Louis /^oinsol naquit en 1777 à Clermont-en- Ikauvaisis, où son père était épicier, et mourut à Paris en 1859. ('; • Une 3'"" ôdllion csl en cours de publication*.