CHAPITRE IX. DÉVELOPPEMENT DES MATHÉMATIQUES l

résumer en disant qu'à la fin du huitième siècle, les Arabes étaient en possession d'une bonne notation numérique et de l'arithmétique de Brahmagupta et qu'avant la fin du neuvième, ils connaissaient les chefs-d'œuvre des mathématiciens grecs, en géométrie, mécanique et astronomie. Il nous reste à montrer l'usage qu'ils firent de ces matériaux.

Alkarismi. — Le premier et à certains égards le plus illustre des mathématiciens arabes fut Mohammed ibn Musa Abu Djefar Al-Khwarizmi. On n'est pas d'accord sur celui de ces noms qui doit lui être attribué : le dernier se rapporte à son lieu de naissance, peut-être à la ville où il fut célèbre, et d'après nos renseignements ce serait celui que ses contemporains lui donnaient le plus souvent. C'est donc celui que nous lui attribuerons, et nous agirons généralement de la même manière pour les autres mathématiciens arabes. Jusque dans ces derniers temps, ce nom s'écrivait toujours sous la forme corrompue, Alkarismi, et bien que cette façon de faire soit incorrecte, elle a été sanctionnée par tant d'écrivains que nous croyons devoir la conserver.

Nous ne savons rien de la vie d'Alkarismi, si ce n'est qu'il naquit à Khorassan et qu'il fut le bibliothécaire du Calife Al Mamoun ; il accompagna une mission en Afghanistan, et il se peut qu'il ait traversé les Indes en revenant dans son pays. A son retour, vers 83o, il écrivit une algèbre (*) d'après celle de Brahmagupta, mais dans laquelle quelques-unes des démonstrations sont exposées suivant là méthode grecque, c'est-à-dire en représentant les nombres par des lignes. Il écrivit aussi un traité sur l'arithmétique : un ouvrage sans nom d'auteur intitulé Algoritmi De Numéro Indorum, qui se trouve à la bibliothèque de l'université de Cambridge serait, suppose-t-on, une traduction de ce traité (2). Outre ces deux livres, il prépara quelques tables astronomiques avec remarques explicatives ; elles renferment des résultats empruntés à la fois à Ptolémée et à Brahmagupta.

L'algèbre d'AIkarismi tient une place importante dans l'histoire des mathématiques, car nous pouvons dire que les ouvrages arabes

(f) Elle a été publiée par F. Rose*, avec une traduction anglaise. Londres, i83i.

(*) Il a été publié, par B. Boncohpagki. Rome, 1857.

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et ceux des premières années de la Renaissance, qui parurent dans la suite, s'en inspirèrent directement, et que c'est par elle que le système de numération décimale Arabe ou Indien pénétra en Occident. Le livre est intitulé Al-Gebr we' Imukabala : Al-Gebr, d'o» est dérivé le mot algèbre, peut être traduit par La restitution et se rapporte à ce fait que Ton peut augmenter ou diminuer d'une même quantité les deux membres d'une équation ; al miikabala signifie le procédé de simplification, et est généralement employé pour désigner la réduction des termes semblables en un seul. La quantité inconnue est appelée soit « la chose » soit « la racine », et lemploi que nous faisons de ce dernier terme pour désigner la solution d'une équation provient de là. Le carré de l'inconnue est appelé « la puissance ». Toutes quantités connues sont des nombres.

L'ouvrage comprend cinq parties. Dans la première, Alkarismi donne sans aucune démonstration, des règles pour la résolution des équations du second degré qu'il divise en six classes correspondant aux formes

ax2=bx9 ax2=c, bx=c9 ax*-+-bx=c, ax* -+-c=bx et axa = 6ar-h c

a, b, c sont des nombres positifs, et dans toutes les applications il fait a = i . Il ne considère que les racines réelles et positives, mais il reconnaît l'existence de deux racines, ce qui, autant que nous pouvons le savoir n'avait jamais été fait par les Grecs. Il est à remarquer que lorsque les deux racines sont positives, il ne prend généralement que celle qui contient le radical avec le signe moins.

Il donne ensuite des démonstrations géométriques de ces règles en opérant comme dans la proposition 4 du livre II d'Euclide. Par exemple, pour résoudre l'équation ,e2 -+- iox = 39, ou une équation quelconque de la forme x2 ■+- px = q, il donne deux méthodes et nous allons en exposer une [fig. 22) :

Supposons que ÀB représente la valeur de x et construisons sur cette droite le carré ABCD. ^Prolongeons DA jusqu'en H et DC

jusqu'en F, de sorte que AH = CF = 5 fou - p ) , et complétons

le carré. Alors les aires AC, IIB et BF représentent les quantités #*, bx et 5a?. Par suite le premier membre de l'équation est représenté par la somme des aires AC, BH et BF. Ajoutons aux deux

Fig. u.