CHAPITRE IX. — DÉVELOPPEMENT DES MATHÉMATIOUES

membres de l'équation le carré KG dont Taire est 25 (ou t/>2);

nous obtenons un nouveau carré dont Taire lest, par hypothèse,

égale à 3g h- s5, c'est-à-dire à 64 (ou q -h \pA et dont le côté

est par conséquent S. Le côté de ce carré DH qui est égal à 8 surpasse ÀH qui vaut 5 de la valeur de la quantité inconnue qui est dès lors égale à 8 — 5 ou 3.

Dans la troisième partie du livre, Alkarismi considère le produit de (x ± a) par (x [± b). Dans la quatrième partie, il établit les règles pour l'addition et la soustraction d'expressions comprenant Tinconnue, son carré ou sa racine carrée; il donne des règles pour le calcul des racines carrées, et termine par les théorèmes exprimés par les formules

a \fî> = \/â*b et \/â \/b = \/à6.

Dans la cinquième et dernière partie, il donne quelques problèmes dont voici un exemple : trouver deux nombres dont la somme est égale à 10 et dont la différence des carrés est 4o.

Dans tous ces anciens ouvrages, il n'y a pas de distinction bien nette entre l'arithmétique et l'algèbre et, à vrai dire, la première de ces sciences est une partie de la seconde. C'est le livre d' Alkarismi qui a fourni aux Italiens leurs premières notions, non seulement d'algèbre, mais encore d'une arithmétique basée sur le système décimal. Cette arithmétique a été longtemps connue sous le nom d'algorithme ou art d' Alkarismi pour la distinguer de celle de Boece. Cette appellation demeura en usage jusqu'au dix-huitième siècle.

Tabit ibn Korra. — L'œuvre commencée par Alkarismi fut poursuivie par Tabit ibn Korra né à Harran, en 836, mort en 901 et l'un des savants les plus brillants qu'aient produit les Arabes. Comme nous Tavons déjà dit, il publia des traductions des princi-

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paux ouvrages cTEuclide, d'Apollonius, d'Archimède et de Ptoiémée. 11 composa également plusieurs traités originaux qui sont tous perdus, à l'exception d'un fragment d'algèbre relatif aux équations du troisième degré qu'il résolvait à l'aide de la géométrie, à peu près comme nous l'indiquerons plus loin.

L'algèbre continua à se développer. Les questions qui faisaient l'objet des méditations des Arabes se rapportaient à la résolution des équations ou à l'étude des propriétés des nombres. Les deux algébristes les plus éminents qui vinrent ensuite, furent Alkayami -et Alkarki qui florissaient au commencement du onzième siècle.

Alkayami. — Le premier, Omar Alkayami est à citer à cause •de la façon dont il a traité géométriquement les équations du troisième degré : il obtenait une racine en déterminant l'abscisse du point d'intersection d'une conique et d'un cercle (l). Les équations qu'il a considérées sont des formes suivantes dans lesquelles a et c représentent des entiers positifs.

x3 -H b*x = fc2c, dont la racine, dit-il, est l'abscisse du point d'intersection de x% = by et y8 = x(c — x).

x* -+- ax* = c3, dont la racine est l'abscisse du point d'intersection de xy = c8, et y% = c{x -+- a).

x* ± ax* -+- b*x = fc2c ayant ponr racine l'abscisse du point d'intersection de y2 = (x ± a) (c — x) et x(b ±y) = 6c.

Il donna une équation du quatrième degré, à savoir

(ioo — x2) (ro — x)% = 8100

dont la racine est déterminée par le point d'intersection de

(10 — x)y — 90 et x1 -H y2 = 100.

On a prétendu aussi qu'Akayami avait affirmé l'impossibilité de résoudre en nombres entiers l'équation x* -+- y3 = z3 ; en d'autres termes, il aurait su que la somme de deux cubes ne peut jamais être un cube. En admettant qu'il ait énoncé cette proposition, il est maintenant impossible de dire s'il en a donné une démonstration exacte, ou bien s'il l'a reconnue par une induction hardie, ce qui serait plus vraisemblable ; mais le fait qu'un pareil théorème

(l) Son traite d'algèbre a <Hé publié par Fb. Woepgke. Paris, i85i.