CHAPITRE XIV

La démarcation entre cette période et celle traitée dans les six derniers chapitres n'est pas si nette que celle qui existe entre l'histoire des mathématiques grecques et l'histoire des mathématiques au moyen-âge. Les méthodes d'analyse usitées dans le dixseptième siècle et le genre de problèmes traités se modifièrent, mais graduellement ; et les mathématiciens au commencement de cette période étaient en relation immédiate avec ceux de la fin de la dernière période considérée.

Pour cette raison quelques auteurs ont divisé l'histoire des mathématiques en deux . phases seulement, considérant ceux qui enseignaient dans les écoles comme les successeurs directs des mathématiciens grecs, et faisant partir l'histoire des mathématiques modernes de l'époque où les livres classiques arabes furent introduits en Europe. La division que nous présentons est, pensons-nous, plus convenable attendu que l'introduction de la géométrie analytique et du calcul infinitésimal provoqua une révolution dans la science et par suite il semble préférable de prendre ces découvertes pour origine de la science moderne.

Le temps qui s'est écoulé depuis l'introduction de ces méthodes représente une époque d'activité intellectuelle incessante, et pendant laquelle les progrès faits en mathématiques furent considérables. L'extension énorme du domaine des connaissances humaines, la masse des matières à examiner, l'absence de vue d'ensemble et mêmes les échos des vieilles controverses concourent à augmenter les difficultés pour l'historien. Gomme cependant les faits principaux sont généralement connus et que les ouvrages publiés durant

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La géométrie analytique nous donne quelques règles simples au moyen desquelles on peut établir une proposition géométrique ou reconnaître son inexactitude.

Dans la seconde période, nous avons l'invention, une trentaine d'années plus tard, du calcul des fluxions ou calcul différentiel.

Toute les fois qu'une quantité varie d'une façon continue suivant une certaine loi (et il en est presque toujours ainsi dans la nature), le calcul différentiel nous permet de suivre son accroissement ou sa décroissance; elle calcul intégral nous fournit le moyen de retrouver la quantité primitive d'après la formule qui donne la loi de variation. Anciennement chacune des diverses fonctions de x, telles (i -+- x)m, log (i -+- x)9 sin x, arc tg. x etc. ne pouvait être développée suivant les puissances croissantes de x qu'au moyen seulement - d'un procédé spécial à chaque fonction particulière considérée ; mais avec l'aide du calcul différentiel le développement d'une fonction quelconque de x suivant les puissances croissantes de x est, en général, réductible à une règle unique embrassant tous les cas possibles. De même la théorie desmaxima et des minima, la détermination des longueurs des courbes et des aires qu'elles limitent, la détermination des surfaces des volumes, des centres de gravité et bien d'autres problèmes, peuvent se ramènera des règles très simples. Les théories des équations différentielles, du calcul des variations, des différences finies, et ne sont plus que le développement des principes de ce calcul.

La géométrie analytique et le calcul différentiel devinrent les principaux instruments des progrès ultérieurs en mathématiques. Chacun d'eux permet de construire une sorte de machine. Pour résoudre un problème, il suffisait de soumettre à son action la fonction particulière traduisant la question, l'équation de la courbe ou de la surface considérée, et le résultat s'obtenait naturellement en effectuant certaines opérations simples. La validité du procédé avait été démontrée une fois pour toutes et on ne se trouvait plus dans l'obligation d'imaginer une méthode spéciale pour chaque fonction, courbe ou surface.

Dans la troisième phase, Huygens, poursuivant les traces de

Galilée, pose les fondements d'une exposition satisfaisante de la dynamique, et Newton en fait une science exacte. Ce dernier mathématicien commença par appliquer les nouvelles méthodes analytiques non seulement à de nombreux problèmes concernant la mécanique des solides et des fluides, mais au système solaire : l'ensemble de la dynamique terrestre et céleste fut ainsi englobé dans le domaine des mathématiques. Il n'est pas douteux que Newton employa le calcul pour obtenir la plupart de ses résultats ; mais il paraît avoir pensé que, s'il établissait ses démonstrations à l'aide d'une science nouvelle qui, à cette époque, était généralement inconnue, ses contemporains (ne connaissant pas le calcul des fluxions) n'auraient pas bien saisi la vérité et l'importance de ses découvertes. Il se détermina en conséquence à donner des démonstrations géométriques de tous les résultats qu'il avait obtenus. C'est pourquoi il présenta ses Principia sous cette forme, c'est-à-dire dans une langue que tous les hommes pouvaient alors comprendre. Les théories mécaniques ont été étendues et systématisées sous leur forme moderne par Lagrange et Laplace vers la (in du dix-huitième siècle.

Dans la quatrième phase on applique les mathématiques à la physique. Cette extension du domaine des sciences mathématiques eut pour point de départ les travaux de Newton et d'Huyghens sur la théorie de la lumière, mais c'est au commencement du xrx* siècle qu'elle prit tout son développement en s'appuyant sur des observations précises.

Des conséquences nombreuses et d'une grande portée ont été obtenues en physique par suite de l'application des mathématiques aux résultats des observations et des expériences, mais ce qui nous manque aujourd'hui c'est de pouvoir formuler quelques hypothèses simples, dont il serait possible de déduire par l'analyse les phénomènes observés. Si, pour prendre un exemple, il nous était possible de dire en quoi consiste l'électricité, nous pourrions formuler quelques lois simples, dont on déduirait par l'analyse les phénomènes observés de la même manière que Newton déduisit tous les résultats de l'astronomie physique de la loi de gravitation. Toutes les recherches semblent d'ailleurs indiquer qu'il existe entre les différentes branches de la physique une relation intime, par exemple, entre la lumière, la chaleur, l'élasticité, l'électricité et le

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