HISTOIRE DE8 MATHÉMATIQUES DE DESCARTES A HUYGENS

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Nous nous proposons dans ce chapitre de considérer l'histoire des mathématiques pendant une période de quarante ans appartetenant au milieu du dix-septième siècle. Nous regardons Descartes, Cavalieri, Pascal, Wallis, Fermât et Huygens comme les principaux mathématiciens de ce temps. Nous terminons ce chapitre par une brève énumération des autres savants les plus marquants de cette même époque.

Nous avons déjà constaté que les mathématiciens de cette période, et cette remarque s'applique plus particulièrement à Descartes, Pascal et Fermât, furent grandement influencés par renseignement de Kepler et de Désargues, et nous répéterons de nouveau que nous considérons ces derniers avec Galilée comme établissant un lien entre les écrivains de la Renaissance et ceux des temps modernes. Nous devons aussi ajouter que les mathématiciens dont les noms figurent dans ce chapitre étaient contemporains, et il est essentiel de se rappeler qu'ils étaient en relation les uns avec les autres, et en général avaient mutuellement connaissance de leurs recherches aussitôt qu'elles étaient publiées.

Descartes (2). — En tenant compte des remarques précédentes nous pouvons considérer Descartes comme le premier représentant

(») Voir Castor, pari. XV, vol. II, pp. 599-844 : le» entres autorités pour les mathématiciens de cette période sont mentionnées dans les notes.

(*) Voir La vie de Descartes par A. Baillet, 2 vol., Paris 1691 qui est résumée dans le vol. I de l'ouvrage Geschichte der neuern Philosophie de K. Fischer,

de l'école moderne. René Descartes naquit près de Tours le 3i mars 1596, et mourut à Stockholm le 11 février i65o : il était ainsi contemporain de Galilée et de Desargues. Son père avait l'habitude de passer la moitié de Tannée à Rennes quand le parlement de Bretagne, dont il était conseiller, tenait sa session, et le reste du temps dans sa terre de famille de La Haye-Descartes. René, le second garçon d'une famille composée de deux fils et d'une fille, fut envoyé h l'âge de huit ans au collège des Jésuites de La Flèche, et il parle fort avantageusement de l'admirable discipline qui régnait dans cet établissement et de l'instruction qu'on y recevait. A cause de sa santé délicate on lui permettait de rester au lit le matin ; c'est une habitude qu'il conserva toujours et, quand il visita Pascal en 16/I7 il lui raconta que sa seule manière de produire un bon travail en mathématiques, et de conserver sa santé, était de ne permettre à personne de venir le faire lever le matin avant qu'il n'en ressentît le désir. Nous rapportons ce petit fait au profit de tout écolier entre les mains duquel cet ouvrage pourrait tomber.

En quittant le collège en 161 2, Descartes se rendit à Paris pour faire son entrée dans le monde. Là, par l'intermédiaire des Jésuites, il fit connaissance de Mydorge et renoua avec Mersenne son amitié de collège ; il consacra avec eux les deux années de i6i5 et 16 16 à l'étude des mathématiques. A cette époque un homme de condition entrait généralement dans l'armée ou dans l'église ; Descartes se fit soldat, et en 16 17 il rejoignit l'armée de Maurice de Nassau, prince d'Orange. De passage à Breda, se promenant un jour dans les rues de cette ville, il vit une affiche en hollandais qui excita sa curiosité, et arrêtant un passant il lui demanda d'en faire la traduction soit en français, soit en latin. L'étranger, qui par hasard était Isaac Becckman, principal du Collège Hollandais de Dort, s'engagea à le faire si Descartes répondait à la question qui était posée, l'affiche étant, en fait, un défi lancé à tout l'univers, et relatif à la solution d'un problème de géométrie.

Munich, 1878. On trouve un exposé assez complet des recherches mathématiques et physiques de Descartes dans V Encyclopédie de Erscii et Gruber. L'édition la plus complète de ses œuvres est celle de Victor Col six en 11 vol. Paris 1824-6. Quelques notes de moindre importance découvertes par la suite furent publiées par F. de Careil, Paris, 1859.

Descartes le résolut au bout de quelques heures et ce fut l'origine d'une vive amitié entre lui et Beeckman. Cet essai inattendu de ses dispositions mathématiques lui rendit odieuse la vie oisive qu'il menait à l'armée, mais cédant à des influences de famille et à la tradition il resta soldat. Au commencement de la guerre de trente ans, on le décida à entrer comme volontaire dans l'armée de Bavière sous les ordres du comte de Bucquoy. Il continua cependant à consacrer ses loisirs à des études mathématiques, et il avait l'habitude de faire remonter l'origine de ses premières idées sur sa philosophie nouvelle et sa géométrie analytique à trois rêves qu'il eut dans la nuit du 10 novembre 1619 a Neuberg, lorsqu'il faisait campagne sur le Danube. Il considérait ce jour comme le plus important de son existence, celui qui décida de son avenir.

Il se retira de l'armée dans le courant du printemps de Tannée 1621 et passa les cinq années qui suivirent en voyages, pendant lesquels il consacra la plus grande partie de son temps à l'étude des mathématiques pures. En 1626 nous le trouvons établi à Paris. Il avait la taille petite mais bien tournée, toujours modestement vêtu de Uffetas vert et portant seulement, comme marque de sa condition, l'épée au coté et la plume au chapeau. » Durant les deux premières années de son séjour dans cette ville il se mêla à la société et passa son temps à s'occuper de la construction d'instruments d'optique ; mais ces distractions constituaient simplement le délassement d'un esprit qui n'avait pu trouver encore cette théorie de l'univers qu'il était bien convaincu de découvrir un jour.

En 1628 le cardinal de Berulle, le fondateur des oratoriens, rencontra Descartes et fut si impressionné par sa conversation, qu'il luî dit que c'était un devoir de consacrer sa vie à la recherche de la vérité. Descartes y consentit et pour se mettre à l'abri des importuns, il se rendit en Hollande qui avait alors atteint l'apogée de sa puissance. Il y séjourna vingt ans, consacrant tout son temps à la philosophie et aux mathématiques. La science, dit-il, peut être comparée à un arbre, ayant pour racine la métaphysique, pour tronc la physique, et dont les trois principales branches sont : la mécanique, la médecine et les préceptes moraux, qui constituent les trois applications de nos connaissances, au monde extérieur, au corps humain, et à la conduite de la vie.

Il consacra les quatre premières années de son séjour en

Hollande, 1629 à i633, à écrire Le Monde qui comprend un essai de théorie physique de l'Univers, mais trouvant que sa publication était de nature à lui attirer l'hostilité de l'Eglise, et n'ayant aucun goût pour le martyre, il l'abandonna : le manuscrit incomplet fut publié en 1664. H résolut ensuite de composer un traité sur la science universelle, qui fut publié à Leyde en 1637 sous le titre : Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences ; il était accompagné de trois appendices (qui peutêtre n'ont pas été composés avant i638) intitulés : La Dioptrique, Les Météores et La- Géométrie. C'est l'origine de la géométrie analytique. En i64 1 il publia un ouvrage appelé Meditationes dans lequel il explique jusqu'à un certain point ses vues philosophiques esquissées dans les Discours. En i644 il lit paraître les Principia Phihsophiœ dont la majeure partie est consacrée à la science physique, spécialement aux lois du mouvement et à la théorie des tourbillons. En 1647 le ro* de France lui fit une pension en l'honneur de ses découvertes. Il se rendit en Suède en 1649 sur l'invitation de la reine Christine, et mourut quelques mois après d'une inflammation des poumons.

Au physique, Descartes était petit avec une grosse tète, un front saillant, un nez proéminent, et une chevelure noire tombant sur ses sourcils, sa voix était faible. Par nature il était froid et plutôt égoïste. Eu égard à l'étendue de ses études ce n'était pas un érudit, et il méprisait la science et les arts qui n'étaient pas susceptibles de quelque application. Il ne voulut jamais se marier et ne laissa aucun descendant bien qu'il ait eu une fille naturelle qui mourut jeune.

En ce qui concerne ses théories philosophiques, il nous suffira de dire qu'il s'attaqua aux problèmes qui ont été débattus depuis deux mille ans, et qui seront probablement discutés encore avec la même ardeur pendant deux mille ans. Il est à peine nécessaire de faire observer que ces problèmes sont par eux-mêmes d'un intérêt capital, mais que par leur nature même aucune solution n'est susceptible d'une démonstration ou d'une réfutation rigoureuse ; tout ce qu'il est possible de faire est de fournir une solution plus probable qu'une autre et les erreurs, même d'un Descartes, ont pu êtrejréfutées par ses successeurs.

Nous avons] lu quelque part que la philosophie a toujours eu

pour principal objet l'étude des rapports entrent Dieu, la nature et l'homme. C'est la Grèce qui produisit les premiers philosophes : ils s'occupèrent principalement des relations entre Dieu et la nature, l'homme étant considéré séparément. L'Eglise chrétienne s'absorbe dans l'étude des relations entre Dieu et l'homme au point de négliger entièrement ta nature. Enfin les philosophes modernes traitèrent particulièrement des relations entre l'homme et la nature. Notre intention n'est pas de discuter ces opinions diverses, il nous suffit de dire que c'est Descartes qui a le premier envisagé la philosophie à la manière des modernes.

Les principaux travaux mathématiques de Descartes sont exposés dans sa géométrie et sa théorie des tourbillons ; c'est sa géométrie qui constitue la base la plus solide de sa réputation.

La géométrie analytique ne consiste pas simplement (comme on le dit quelquefois trop légèrement) dans l'application de l'algèbre à la géométrie : cette application avait été déjà faite par Archimède et par bien d'autres, et elle était devenue la façon usuelle d'opérer dans les ouvrages des mathématiciens du seizième siècle. Le grand progrès accompli par Descartes tient à ce qu'il vit nettement, d'une part que la position d'un point dans un plan, peut être compte tement déterminée par ses distances x et y, à deux droites fixes tracées à angle droit dans le plan, avec la convention qui nous est familière pour l'interprétation des valeurs positives et négatives ; il montra d'autre part que bien qu'une équation telle que/l(xy) = o soit indéterminée et puisse être satisfaite par une infinité de valeurs de x et y, cependant ces valeurs de x et y déterminent les coordonnées d'un certain nombre de points dont l'ensemble forme une courbe et que l'équation f{xy) = o exprime les propriétés géométriques, communes à tous les points de la courbe. Descartes vit aussi qu'un point de l'espace pouvait être déterminé d'une manière identique par trois coordonnées, mais il ne s'occupa que des courbes planes.

Il était dès lors évident que pour rechercher les propriétés d'une courbe il suffisait de choisir comme définition, une propriété géométrique caractéristique de cette courbe et de l'exprimer au moyen d'une équation entre les coordonnées (ordinaires) d'un point quelconque de la courbe, c'est-à-dire de traduire la définition dans la langue spéciale à la géométrie analytique. L'équation ainsi obtenue contient implicitement chacune des propriétés de la courbe,

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