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mais il ne donnait aucune preuve à l'appui ; Descartes ne réussit pas à trouver une solution par la géométrie pure, mais il montra que la courbe était représentée par une équation du second degré, c'est-à-dire qu'elle était une conique; Newton fournit dans la suite une élégante solution du problème par la géométrie pure.

Dans le second livre, Descartes divise les courbes en deux classes : les courbes géométriques et les courbes mécaniques. Il définit les premières comme étant celles qui peuvent être engendrées par l'intersection de deux lignes se déplaçant chacune parallèlement aux axes des coordonnées avec des vitesses « commensurables » ; il veut dire par là que dy/dx est une fonction algébrique, comme c'est le cas, par exemple, pour l'ellipse et la cissoïde. Il appelle la courbe, mécanique, quand le rapport des vitesses des mêmes lignes définies plus haut est « incommensurable » ; c'està-dire quand dy/dx est une fonction transcendante, comme par exemple c'est le cas pour la cycloïde et la quadratrice. Descartes se borna à étudier les courbes géométriques sans traiter la théorie des courbes mécaniques. La classification actuelle en courbes algébriques et transcendantes est due à Newton.

Descartes s'occupa aussi d'une façon particulière de la théorie des tangentes aux courbes, ainsi qu'il paraît résulter de son système de classification dont il vient d'être parlé. A cette époque la tangente en un point d'une courbe était définie : la ligne droite menée par ce point de telle sorte qu'aucune autre droite ne puisse être tracée entre elle et la courbe, c'est-à-dire la ligne droite de contact le plus étroit. Descartes proposa de substituer à cette définition une autre qui revenait à considérer la tangente commela position limite de la sécante ; Fermât, et à une date plus reculée Maclaurin et Lagrange adoptèrent cette définition. Barrow, suivi par Newrton et Leibnilz considérait une courbe comme la limite d'un polygone inscrit dont les côtés deviennent infiniment petits et montrant qu'un côté du polygone devient à la limite tangent à la courbe. Roberval d'un autre côté définissait la tangente en un point d'une courbe comme la direction du mouvement d'un point mobile décrivant cette courbe, à l'instant où il se trouve au point considéré. Quelle que soit la définition choisie on arrive au même résultat, mais la question de savoir quelle était la meilleure définition de la tangente provoqua une controverse très animée. Comme application

de sa théorie Descartes donna une règle générale pour tracer les tangentes et les normales k la roulette.

La méthode employée par Descartes pour trouTer la tangente ou la normale en un point quelconque d'une courbe donnée était en substance la suivante. Il déterminait le centre et le rayon d'un cercle passant par le point donné qui devait couper la courbe en deux points consécutifs. La tangente au cercle en ce point devenait tangente k la courbe quand les deux points d'intersection du cercle avec la courbe venaient à seconfondreaveclepoint considéré. Dans les ouvrages modernes on exprime généralement la condition que les deux points où une droite (telle que y — mx -+- c) coupe la courbe doivent coïncider avec le point considéré : ceci permet de déterminer met c et par suite d'écrire l'équation de la tangente en ce point. Descartes cependant ne procédait pas ainsi, mais choisissant un cercle comme la courbe la plus simple k laquelle il savait mener une tangente, il traçait son cercle de façon k lui faire toucher la courbe au point en question, et ramenait ainsi le problème au tracé d'une tangente k un cercle. Nous noterons en passant qu'il n'appliqua sa méthode qu'aux courbes symétriques par rapport à un axe, sur lequel il prenait le centre du cercle.

Le style systématiquement obscur adopté par Descartes fut un obstacle à la diffusion et l'appréciation immédiate de ses ouvrages, mais une traduction latine avec notes explicatives fut préparée par F. de Beaune, et une édition avec un commentaire par F. Van Schooten, publiée en 1659 eut un grand succès.

Le troisième livre de la géométrie contient une analyse de l'algèbre telle quelle existait à cette époque, mais il en modifia la langue, en employant les lettres du commencement de l'alphabet pour les quantités connues et celle de la fin pour les quantités inconnues (1). De plus Descartes introduisit le système des indices encore en usage; très vraisemblablement c'était une nouveauté pour lui, mais nous devons rappeler ici que des écrivains antérieurs en avaient déjà suggéré l'idée bien que cette notation n'eut pas été généralement adoptée. On ne sait si Descartes pensa que les lettres pouvaient représenter une quantité quelconque, positive ou néga-

(«) Sur l'origine de l'usage du signe x pour représenter une inconnue, voir uno note par G. Esestrôm dans la Bibliolfieca Alathematica, i885, p. 43.

tive, et qu'il était suffisant de démontrer une proposition pour un seul cas général. C'est le plus ancien auteur qui ait remarqué qu'il était commode de faire passer tous les termes d'une équation dans un seul'membre, bien que Stifel et Harriot eussent déjà adopté cette disposition dans plusieurs cas. U donna la signification des quantités négatives et les employa couramment. Il fit usage dans cet ouvrage'de la règle qui porte encore son nom pour trouver une limite du nombre des racines positives et négatives d'une équation algébrique; et il introduisit la méthode des coefficients indéterminés pour la solution des équations. Il pensait avoir donné une méthode permettant de résoudre les équations algébriques de degré I quelconque, mais il y a là une erreur de sa part. Il fit usage de la

méthode des coefficients indéterminés. On peut aussi rappeler qu'il énonça le théorème, communément attribué à Euler, sur la relation qui existe entre le nombre des faces, des sommets et des angles d'un polyèdre.

L'un des deux appendices ou Discours était consacré à l Optique. Son principal intérêt consiste dans l'établissement de la loi de la réfraction. Cet exposé parait avoir été emprunté à l'ouvrage des Snellius, bien que la façon dont il est présenté puisse laisser croire qu'il est dû aux recherches de Descartes ^' Il aurait, semble-t-il, reproduit à Paris en 1626 ou 1627 les expériences de Snellius, et il est possible qu'il ait oublié par la suite ce qu'il devait aux anciennes recherches de ce savant. Une grande partie de l'optique est consacrée à la détermination de la meilleure forme à donner aux lentilles d'un télescope, mais les difficultés mécaniques que l'on éprouvait à dresser les surfaces du verre pour leur donner la forme exigée étaient alors trop grande pour que ces recherches eussent la moindre utilité pratique. Descartes ne parait pas avoir été fixé sur la question de savoir si Ton doit regarder les rayons lumineux comme émanant de l'œil et allant pour ainsi dire frapper les objets (comme le croyaient les Grecs) ou si au contraire on doit les considérer comme partant de l'objet et venant impressionner l'œil, mais comme il supposait la vitesse de la lumière infinie il est probable que cette question n'avait pour lui aucune importance.

L'autre appendice sur Les Météores contient une explication de nombreux phénomènes atmosphériques, et entre autres celle de l'arc en ciel ; cette dernière est nécessairement incomplète, attendu que

Descartes ignorait que l'indice de réfraction d'une substance n'est pas le même pour les lumières de différentes couleurs.

La théorie physique de l'univers de Descartes comprenant la plupart des résultats contenus dans son ancien ouvrage non publié Le Monde est exposé dans ses Principia, i644, et repose sur des bases métaphysiques. Il commence par une discussion du mouvement, puis il énonce dix lois de la nature dont les deux premières sont à peu près identiques aux deux premières lois du mouvement telles qu'elles ont été données par Newton ; les huit dernières sont inexactes.

Il passe ensuite à l'examen de la nature de la matière qu'il regarde comme d'espèce uniforme bien qu'elle se présente sous trois formes. Il suppose que la matière de l'univers doit être en mouvement et que ce mouvement se décompose en un certain nombre de tourbillons. Pour lui le soleil est le centre d'un immense tourbillon de cette matière dans laquelle les planètes flottent et tournent en rond comme une paille dans un tourbillon d'eau. Chaque planète est à son tour le centre d'un tourbillon secondaire entraînant les satellites dans son mouvement : ces tourbillons secondaires produisent des variations de densité dans le milieu environnant qui constitue le premier tourbillon, et il en résulte que les planètes décrivent des ellipses et non des cercles. Toutes ces suppositions sont arbitraires et ne sont appuyées sur aucune observation. Il n'est pas difficile de prouver qu'avec cette hypothèse, le soleil serait au centre des ellipses et non à l'un des foyers (comme l'a établi Kepler), et que le poids d'un corps en un point quelconque de la surface de la terre en dehors de l'équateur, agirait suivant une direction ne coïncidant pas avec la verticale ; mais il suffira de dire ici que Newton, dans le second livre des Principia. 1687, a examiné cette théorie en détail et a montré que ses conséquences sont non seulement incompatibles avec chacune des lois de Kepler et avec les lois fondamentales de la mécanique, mais sont aussi en désaccord avec les lois de la nature admises par Descartes lui-même.

Cependant en dépit de son caractère informe et de ses imperfections la théorie des tourbillons marque en astronomie une ère nouvelle, c'est une tentative pour expliquer les phénomènes de l'univers entier par les lois mécaniques.

Gavaliéri (2). — Presqu'cn même temps que Descartes publiait sa géométrie, c'est-à-dire vers 1637, les principes du calcul intégral, limité aux sommations, étaient étudiés en Italie. Les calculs s'effectuaient au moyen de ce qu'on a appelé la méthode des indivisibles dont l'invention revient à Gavaliéri. Il l'appliquait ainsi que ses contemporains à de nombreux problèmes sur la quadrature des courbes et des surfaces, à la détermination des volumes, des centres de gravité. Il remplaçait ainsi la pénible méthode d'exhaustion des géomètres grecs ; ces diverses méthodes sont au fond identiques mais la notation des indivisibles est plus concise et plus convenable. Les indivisibles furent à leur tour remplacés au commencement du dix-huitième siècle par le calcul intégral.

Bonaventure Cavalieri naquit à Milan en 1598 et mourut h Bologne le 27 novembre 1647. Encore fort jeune il entra dans l'ordre des Jésuites et sur la recommandation de ses supérieurs il fut nommé en 1629 professeur de mathématiques à Bologne, où il professa jusqu'à sa mort. Nous avons déjà mentionné le nom de Cavalieri au sujet de l'introduction en Italie de l'usage des logarithmes, et nous avons fait allusion à sa découverte de l'expression de l'aire d'un triangle sphérique en fonction de l'excès sphérique. Ce fut l'un des mathématiciens les plus considérables de son temps, mais sa réputation repose principalement sur l'invention du principe des indivisibles.

Le principe des indivisibles avait été employé par Kepler en i6o4 et 16 15 sous une forme un peu primitive. 11 fut établi pour la première fois par Cavalieri en 1629 mais il ne publia pas ses résultats avant i635. Dans le premier exposé de sa méthode qu'il donna en 1625, Cavalieri admettait qu'une ligne était formée par un nombre infini de points (chacun sans grandeur), une surface par un nombre infini de lignes (chacune sans largeur) et un volume par un nombre infini de surfaces (chacune sans épaisseur). Pour répondre aux objections présentées par Guldin et d'autres savants cette exposition fut remaniée, et sous sa dernière forme, qui est celle employée par les mathématiciens du dix-septième siècle, elle a été

(*) La vie de Cavalieri a été écrite par P. Frisi, Milan, 1778 ; par F. Predari, Milan i843; par Gabrio Piola, Milan, i844 ; et par A. Fayaro, Bologne, 1888. On trouve une analvso de ses œuvres dans l'Histoire des Sciences mathématiques et Physiques de M. Marie, Paris, i885-8 vol. IV pp. O9-90.

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publiée en 16^7 dans les Exercitationes Geometricœ de Cavalieri; le troisième exercice est consacré à la défense de la théorie. Ce livre renferme la pins ancienne démonstration des propriétés découvertes par Pappus. Les œuvres de Cavalieri sur les indivisibles ont été rééditées en i653 avec ses dernières corrections.

La méthode des indivisibles repose en fait, sur cette hypothèse que toute grandeur est divisible en un nombre infini de petites quantités qui peuvent être choisies de façon à avoir entre elles un rapport donné quelconque (le cas d'égalité non exclus). L'analyse présentée par Cavalieri ne vaut guère la peine d'être reproduite si ce n'est pour signaler que c'est le premier pas fait vers la création du calcul infinitésimal. Un exemple suffira. Supposons que Ton demande de trouver l'aire d'un triangle rectangle. Considérons la base comme formée ou comme contenant n points (ou indivisibles) et semblablement considérons l'autre côté comme contenant na points, alors les ordonnées aux points successifs de la base contiendront a, 2a, 3a,... na points. Par conséquent le nombre des points renfermés dans l'aire est

a -h aa 4- 3a -t- ... -4- na

et cette somme est égale à

- rra -+- - na.

Puisque n est très grand, nous pouvons négliger la quantité - na comme insignifiante h côté de - /i*a et l'air est

c est-à-dire l hauteur x base, a

Il serait facile de critiquer celte démonstration quoique présentée sous une forme inacceptable, elle est correcte en substance.

On aurait une fausse idée de la méthode des indivisibles en la jugeant seulement d'après l'exemple précédent, aussi en développerons-nous un autre emprunté à un écrivain plus récent, exemple de nature à bien faire saisir la méthode modifiée et rectifiée par l'emploi des limites.

Proposons nous de trouver l'expression de l'aire limitée par un arc de parabole APC, par la tangente en A à cette parabole et par

un diamètre quelconque DC. Complétons le parallélogramme ABCD et divisons AD en n parties égales. Prenons la longueur ÀM égale à r de ces parties et soient MN la (r -+- i)e partie. Menons MP, NQ parallèles à AB et traçons PR parallèle à AD. Lorsque n devient

infiniment grand, Taire curviligne APCD peut être considérée comme la limite de la somme des parallélogrammes tels que PN. Maintenant on a

aire PN MP. MN air<TBD — DC. AD '

Mais d'après une propriété connue des paraboles

MP AM* r2 DC ~ AD*~n*9

et

par suite

On a donc

on en déduit facilement

MN 1 AD — à :

MP.MN r* DC.AD ~ »>'

aire PN r2 aire BD n*

aire APCD i» H- a» + ... -t- (n - i)*) S "(ft ~ '> <M ~ '> aire BD ns n3

et à la limite

aire APCD i i5S"BIT"~ — 5'

Il est peut être utile de faire remarquer que Cavalieri et ses successeurs employèrent toujours la méthode des indivisibles pour déterminer les rapports de deux aires, de deux volumes ou de deux grandeurs de même nature ; jamais ils ne parlèrent d'une aire contenant un certain nombre d'unités d'aire.

L'idée de comparer une grandeur avec une unité de même espèce semble appartenir à Wallis.

Il est évident que sous sa forme directe la méthode n'est applicable qu'à quelques courbes. Cavalieri prouvait que si m est un entier positif, la limite de

,»» | 3m + ,„ + nn . . i

— n pour n înhni est »

ce qui revient à dire qu'il trouva l'intégrale de xm, de x = o h x = i ; il discuta également la quadrature de la parabole.

Pascal (*). — Parmi les contemporains de Descartes aucun ne fit preuve d'un plus grand génie naturel que Pascal, mais sa réputation mathématique repose plus sur ce qu'il aurait pu faire que sur ce qu'il a produit en réalité, attendu que durant une grande partie de sa vie, il regarda comme un devoir de consacrer tout son temps aux pratiques de la religion.

Biaise Pascal naquit à Clermont le 19 juin i6a3 et mourut à Paris, le 19 août 1662. Son père, président à la Cour des Aides de Clermont, avait lui-même une certaine réputation comme homme de science. Il vint s'établir à Paris en i63i, autant pour poursuivre ses propres études scientifiques, que pour s'occuper de l'instruction de son fils dont il avait déjà pu apprécier l'intelligence exceptionnelle. Pascal fut gardé à la maison, son père voulant éviter

(') Voir Pascal par J. Beiitrasd, Paris, 189 1 ; et Pascal sein Leben und seine Kâmpje, par J. G. Dreydorff, Leipzig, 1870. La rie do Pascal écrite par 8a sœur M,M Périer, fut éditée par A. P. Faccère, Paris, i845, et a formé la base de plusieurs ouvrages. Une édition de ses écrits fut publiée en 5 volumes à La Haye en 1779, seconde édition, Paris 18 19; quelques opuscules additionnels et des lettres furent publiés en 3 volumes à Paris en i858.

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lout surmenage à l'enfant, et dans ce même but il décida que son instruction serait tout d'abord limitée à l'étude des langues et ne comprendrait pas celle des mathématiques. La curiosité de l'enfant fut naturellement excitée par cette restriction, et un jour, il avait alors douze ans, il demanda à son père en quoi consistait la géométrie. Son père lui répondit que c'était la science qui apprenait à construire des figures exactes et à déterminer les rapporta pouvant exister entre leurs différents éléments ; Pascal, stimulé sans aucun doute par la défense qui lui avait été faite, consacra â cette nouvelle étude le temps qu'on lui laissait pour ses jeux, et en quelques semaines il parvint à découvrir de lui-même plusieurs propriétés des figures et en particulier cette proposition que la somme des angles d'un triangle est égale à deux angles droits. Son père frappé par cette preuve d'intelligence lui donna un exemplaire des Eléments d'Euclide, livre que Pascal lut avec ardeur et ne tarda pas à posséder à fond.

A l'âge de quatorze ans Roberval, Mcrsenne, Mydorge et plusieurs autres géomètres français l'admirent dans leurs réunions hebdomadaires : c'est de ces réunions qu'est sortie plus tard l'Académie Française.

A seize ans Pascal écrivit un essai sur les sections coniques ; et €n 164 1, à l'âge de dix-huit ans, il construisit la première machine arithmétique, instrument qu'il perfectionna de nouveau huit ans plus tard. Sa correspondance avec Fermât vers cette époque montre que son attention était tournée vers la géométrie analytique et la physique. Il reproduisit les expériences de Torricelli qui permettaient d'évaluer en poids la pression atmosphérique, et il confirma sa théorie relativement à la cause des variations barométriques par des relevés faits au même instant à différentes altitudes sur la montagne du Puy-de-Dôme.

En i65o, Pascal abandonna subitement ses recherches scientifiques pour s'absorber dans l'étude de la religion, ou comme il dit dans ses Pensées « pour contempler la grandeur et la misère de l'homme » ; et à peu près à la même époque il persuada à la plus jeune de ses sœurs d'entrer dans la communauté de Port Royal.

En i653 il eut à administrer les biens de sa famille. Il reprit alors son ancienne existence et fit plusieurs expériences sur la pression exercée par les gaz et les liquides : ce fut également vers U. B. — Tom« 1. 1 9

cette époque qu'il imagina le triangle arithmétique, et créa avec Fermât le calcul des probabilités. Il songeait à se marier quand un accident lui fit de nouveau tourner ses pensées vers la religion. Le 23 novembre i654 il conduisait un attelage, lorsque les chevaux, s'emballèrent ; les deux conducteurs sautèrent par dessus le parapet du pont de Neuilly, et Pascal ne dut son salut qu'à la rupture des traits. Toujours porté quelque peu au mysticisme il considéra cet événement comme un avertissement pressant d'avoir à abandonner le monde. Il écrivit le récit de l'accident sur un petit morceau de parchemin, qu'il garda sur sa poitrine jusqu'à sa mort, afin d'avoir toujours présent à l'esprit l'engagement qu'il avait pris ; peu après il se rendit à Port Royal où il vécut jusqu'à sa mort en 1662» D'une constitution débile, il avait détruit sa santé par ses études incessantes ; depuis l'âge de dix-sept ou dix-huit ans il souffrait d'insommie et d'une dyspepsie aiguë, et sa mort ne fut que le résultat d'un épuisement prématuré.

Ses fameuses Lettres Provinciales contre les" Jésuites et ses Pensées ont été écrites vers la fin de sa vie, et offrent le premier exemple de cette forme achevée qui caractérise la plus belle littérature française. Le seul ouvrage mathématique qu'il composa après sa retraite à Port Royal fut son essai sur la cycloïdeen i658.

Nous allons maintenant passer à un examen un peu plus détaillé de ses œuvres mathématiques.

Son premier essai sur la Géométrie des coniques, écrit en i63g mais publié seulement en 1779, semble être basé sur l'enseignement de Desargues. Deux des résultats qu'il a trouvés sont aussi importants qu'intéressants. Le premier est la proposition connue sous le nom de a: Théorème de Pascal * à savoir que si un hexagone est instruit dans une conique, les points de rencontre des côtés opposés sont en ligne droite. Le second qui est dû en réalité à Desargues, est cette propriété que lorsqu'un quadrilatère est instruit dans une conique, si l'on trace une ligne droite coupant les côtés pris en ordre aux points A, B, C, D et la conique en P et Q, on a la relation :

PA.PG QA.QG PB.PD — QB.QD'

Pascal fit connaître son triangle arithmétique en i653, mais aucun exposé de sa méthode ne lut imprimé avant i665. Le tri-

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angle est construit comme le représente la figure ci-après, chaque ligne horizontale se déduisant de la précédente en prenant chaque nombre de la ligne à former égal à la somme de tous ceux qui se trouvent à sa gauche dans la ligne précédente, jusque et y compris