JAM
d'où
Aâ = --«--1-,
Fig- 69.
Fig. 70.
Ce procédé géométrique très élégant permet de résoudre nombre d'autres problèmes de ce genre, que Ton traite aujourd'hui d'une façon routinière mais sans contredit beaucoup plus commode.
Î63. — Huyghens se servit aussi, mais sous une forme un peu différente, du théorème suivant relatif aux moments d'inertie. Soit 0 le centre de gravité d'un corps quelconque (fig. 70) : choisissons-le pour origine d'un système d'axes coordonnés rectangulaires et supposons connu le moment d'inertie par rapport à Taxe des z. En appelant m un élément de masse et r sa distance à cet axe, ce moment d'inertie est :
A = 2mr*.
Déplaçons Taxe de rotation, parallèlement à lui-même, d'une longueur a suivant Taxe x ; soit 0' sa nouvelle position. La distance r de l'élément de masse à l'axe devient p et le nouveau moment d'inertie est :
0 = Zmo* = 2m [(x — a)* -+- y% = Im (x2 -h y2) — 2a2,mx -+- a22,m,
or Zm{x2 4- y2) = 2mr* = A et les propriétés du centre de gravité
tL
TRAVAUX DE HUYGHENS /Jo5
donnent Zmx = o ; d'autre part 2m = M est la masse totale du corps ; par conséquent :
Cette formule permet donc de calculer aisément le moment d'inertie par rapport à un axe quelconque, étant donné le moment d'inertie par rapport à une axe passant par le centre de gravité et parallèle au premier.
SB4. — Ce théorème conduit à une proposition importante. La distance du centre d'oscillation est donnée par
* ,== xi »
A» M et a conservant leurs significations précédentes. Les valeurs A et M sont invariables pour un corps donné ; il s'en suit que / est constant tant que a ne varie pas. Donc le pendule composé formé par un corps oscillant autour d'un axe a la ïième durée d'oscillation pour tous les axes parallèles sitaés à la mênw dislance du centre de gravité. En posant
j| = x, il vient :
l et a sont respectivement les distances à Taxe du centre d'oscillation et du centre de gravité. On voit donc que le centre d'oscillation est toujours plus loin de Taxe que le centre de gravité et que l'excès de sa
distance à Taxe sur celle du centre de gravité est - , qui représente donc
la distance de ces deux points. Menons par le centre d'oscillation un axe parallèle à l'axe primitif. Choisissons-le pour nouvel axe de rotation ; la longueur /' du pendule composé nouveau ainsi formé s'obtiendra en remplaçant a par - dans la formule précédente, ce qui donne
La durée d'oscillation est donc la même pour un axe parallèle mené
par le centre d'oscillation et, par conséquent, pour tout axe parai"
lèle dont la distance au centre de gravité est égale à la distance -
du centre d'oscillation.
4o6 HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES
L'ensemble de tous les axes parallèles donnant la même durée d'oscillation et situés, par conséquent, aux distances a ou - du centre de
gravité forme donc deux cylindres coaxiaux. La durée d'oscillation est la même, quelle que soit la génératrice de ces cylindres que Ton prenne pour axe de rotation.
25. — Nous donnerons à ces deux cylindres le nom de cylindres des axes. Pour établir les relations qui existent entre eux, on peut procéder comme suit. Posons A = fc*M, il vient
1 = ha.
En cherchant la valeur de a qui correspond à une valeur donnée de l* c'est-à-dire à une durée d'oscillation donnée, il vient :
Donc, en général, deux valeurs de a correspondent à une valeur de i. Mais si
vî
c'est-à-dire l = afr, ces deux valeurs coïncident et deviennent a = k.
Fig. 71.
Fig. 7a.
Appelons a et P les deux valeurs de a correspondant à une valeur de l, nous aurons :
d'où
p(À-' + a*) = »(*■ + pt)f
/c>(P-«) = ap(p--«),
fc» = «p.
Supposons que l'on connaisse dans un corps deux axes parallèles, donnant la même durée d'oscillation et situés à des distances inégales
{lorsque Ton connaîtra le suspension quelconque.
tiil de construire k ; il suffit M* leur somme, une demià l'extrémité commune snt, si k est donné, on a une autre valeur p qui misant un triangle recrée sur l'hypothénuse à H sur le prolongement
^l!^^^*S^S*^H*®^,^^S^r aulour ^e tous *es axes
^^^l^^yfg.tt^^ux. Si Ton substitue à a
^^^*l'*É*^iîJ^^acer P Par une circon^" ^«^^sJ^H^B^Scfâ^iÉiDn plus, les deux circon-
lf^&>»É^P w*!» *Ê&Q de rayon &.
avons tant appuyé sur abord bien en lumière la
4û8 HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES
richesse des résultats de Huyghens, car tous ceux que nous avons donnés ici sont contenus dans ses écrits, quoique sous une forme un peu différente, et ceux qui n'y sont pas expressément s'y trouvent sous une forme si voisine que Ton peut les compléter sans la moindre difficulté. Bien peu de ces résultats se trouvent dans les traités élémentaires modernes ; un de ceux que Ton y rencontre est la réversibilité des centres de suspension et d'oscillation, mais la façon dont il est ordinairement présenté n'épuise point le sujet. Kater s'est servi de ce résultat pour la détermination précise de la longueur du pendule à secondes.
Les considérations précédentes nous ont été utiles aussi en ce qu'elles ont éclairci la notion du « moment d'inertie ». Celte notion ne conduit à aucun aperçu de principe que l'on ne puisse acquérir sans elle, mais elle épargne la considération individuelle de chacune des masses du système et permet d'en disposer une fois pour toutes. Elle conduit donc ainsi à une solution plus rapide et plus commode et a, par conséquent, une importance dans l'économie de la mécanique. Après des essais moins heureux d'Euler et de Scgner, Poinsot a beaucoup développé ces idées et y a apporté de nouvelles simplifications, par l'emploi de son ellipsoïde et de son ellipsoïde central d'inertie.
217. — Les recherches de Huyghens sur les propriétés géométriques et mécaniques de la cycloïde sont de moindre importance. Huyghens réalisa par le pendule cycloïdal l'isochronisme des oscillations, non plus approché, mais rigoureux, pour des oscillations d'amplitude quelconque. Ce pendule est aujourd'hui sans utilité pratique. Nous ne nous occuperons donc pas davantage de ces études, quelle que soit d'ailleurs leur beauté géométrique.
Quelque grands que soient les mérites de Huyghens dans les théories physiques les plus différentes, dans l'art de l'horloger, dans la dioptrique pratique et surtout dans la mécanique, son chef-d'œuvre, celui qui demanda la plus grande énergie intellectuelle et qui eut aussi les conséquences les plus importantes, reste l'énoncé du principe par lequel il résolut le problème du centre d'oscillation. Ce fut justement ce principe qui ne fut pas apprécié à sa valeur par les vues peu perspicaces de ses contemporains et même encore longtemps après. Nous avons montré qu'il est équivalent au principe de la force vive et nous pensons l'avoir ainsi présenté sous son véritable jour.
28. — Il est impossible de parler ici des importants travaux de Huyghens dans le domaine de la physique. Nous en citerons seulement quelques-uns. Il est le créateur de la théorie vibratoire de la lumière, qui l'a enfin emporté sur la théorie newtonienne de l'émission. Son àt-
TRAYAUX DE HUYGHENS 4û9
tention se tourna vers les côtés des phénomènes lumineux qui avaient échappé à Newton. En physique, il fut un ardent partisan de l'idée cartésienne du mécanisme universel, sans pourtant fermer les yeux sur ses défauts qu'il critiqua plus d'une fois d'une façon catégorique et rigoureuse. Ses préférences pour les explications purement mécaniques firent de lui un adversaire des actions à distance affirmées par l'école de Newton ; il les remplaçait volontiers par des pressions et des chocs, c'est-à-dire par des actions au contact. Dans cette controverse il émit certaines idées nouvelles, comme celle d'un flux magnétique, qui resta sans écho à cause de la grande influence de Newton, mais qui, grâce à l'impartialité de Faraday et de Maxwell, a été dans ces derniers temps apprécié à sa valeur. Huyghens fut en outre un grand géomètre et un grand mathématicien et, dans est ordre d'idées, il est nécessaire de citer sa théorie des jeux de hasard. Ses observations astronomiques et ses travaux dans la dioptrique théorique et pratique ont fait avancer considérablement ces sciences. Comme technicien, il est l'inventeur d'une machine à poudre dont l'idée a été pratiquement réalisée dans nos moteurs à gaz modernes. En physiologie, il pressentit la théorie de l'accommodation par déformation du cristallin. Tout cela peut à peine être indiqué ici. Le génie de Huyghens se révèle davantage à mesure que ses travaux viennent successivement au jour, dans la collection de ses œuvres complètes (*). Dans une courte notice, imprégnée d'une pieuse vénération, J. Bosscha a donné un aperçu de l'ensemble de ses travaux (cf. J. Bosscha : Christian Huyghens; Discours prononcé au aoo* anniversaire de sa mort, 1895).
(*) Christian Huyghens. — Œuvres complètes, publiées par la société hollandaise des sciences, Haarlom, 1888.
