TRAVAUX DE HUYGHENS ^QJ

ou puisque <p = g tg a :

v = ^gl sin a tg. a.

Si l'angle du cône est très petit on peut écrire

formule identique à celle du pendule ordinaire, car une révolution du pendule conique correspond à deux oscillations simples du pendule plan.

14. — Huyghens, le premier, se proposa la détermination exacte de l'accélération de la pesanteur à l'aide du pendule. La formule d'un pendule simple, formé d'une petite sphère attachée à un fil,

étant T = irv/-'ona

A la latitude de 45° on trouve pour g la valeur 9,806, exprimée en -^- soit, en nombre rond, 10 mètres par seconde, valeur très

••conde2'

suffisante pour un calcul provisoire et qui a l'avantage d être facile à retenir.

15. — Tout commençant qui réfléchit se demande comment l'on peut trouver la durée de l'oscillation, c'est-à-dire un temps, en divisant un nombre qui mesure une longueur par un nombre qui mesure une accélération, et en prenant la racine carrée du quotient. Pour le comprendre il faut se rappeler que g = " est le quotient d'une longueur par le carré d'un temps. La formule de la durée est donc en réalité

1 , étant le rapport de deux longueurs, est un nombre: la quantité, aui se trouve sous le radical est donc le carré d'un temps. Il va de soi que la valeur T sera exprimée en secondes si l'on a choisi la seconde ^our unité de temps dans l'évaluation de g. La formule

9 = fî

fait voir directement que g est le quotient d'une longueur par le carré d'un temps, ainsi que le veut la nature de l'accélération.

16. — Le plus important des résultats obtenus par Huyghens est la solution du problème de la détermination du centre d'oscillation. Tant qu'il ne s'agit que de la dynamique d'un corps unique les principes de Galilée suffisent parfaitement. Or ce nouveau problème consiste dans la détermination du mouvement de plusieurs corps qui agissent les uns sur les autres, et Ton ne peut le résoudre sans faire appel à un principe nouveau. C'est ce principe nouveau qui fut donné par Huyghens.

Nous savons que les pendules plus longs oscillent pins lentement et que les pendules plus courts oscillent plus vite. Un corps solide pesant, mobile autour d'un axe quelconque ne passant pas par son centre de gravité, constitue un pendule composé. Chacune des par- 0 '•. ticules matérielles de ce corps, située seule à la môme distance de l'axe, aurait une durée d'oscillation particulière ; mais, à cause de la liaison de ses parties entre elles, le corps se meut comme un tout et la durée de son oscillation a une valeur unique et bien déterminée. Imaginons plu-

rî

Fie. 6a. sieurs pendules de longueurs inégales, les plus courts oscillant plus vite et les plus longs, moins vite ; si on les réunit en un seul, on peut prévoir que le mouvement des pendulesplus longs sera accéléré, celui des pendules plus courts retardé, et qu'il en résultera, pour l'ensemble, une durée d'oscillation intermédiaire. Il y aura donc un pendule simple, de longueur intermédiaire entre celles du plus grand et du plus petit des pendules considérés, dont l'oscillation aura la même durée que celle du pendule composé, on trouve un point qui, malgré ses liaisons avec les autres points, oscille comme s'il était seuL Ce point est appelé centre d'oscillation* C'est Mersenne qui, le premier, a posé le problème de la détermination de ce centre ; la solution qu'en a donné Descartes est beaucoup trop ra-* pide et insuffisante. *

17. — La première solution générale fut donnée par Huyghens. En dehors de celui-ci presque tous les chercheurs de son époque se sont occupés de cette question et Ton peut dire qu'elle provoqua le développement des principes les plus importants de la mécanique moderne.

Huyghens partit de l'idée nouvelle suivante, de beaucoup plus importante que le problème lui-même : Dans tous les cas, quelles que soient les modifications que les réactions mutuelles des particules matérielles du pendule apportent au mouvement de chacune d'elles, les

, TRAVAUX DE HUYGHETÏS 3<)()

vitesses acquises dans le mouvement de descente du pendule doivent être telles que le centre des masses puisse remonter exactement à la hauteur d'où il est descendu, soit que les masses conservent leurs liaisons, soit que ces liaisons soient détruites. Devant les doutes de ses contemporains au sujet de l'exactitude de ce principe, Huyghcns se vit forcé de faire remarquer qu'il ne contient pas autre chose que l'affirmation du fait que les corps pesants ne se meuvent point d'eux-mêmes vers le haut. Supposons en effet que le centre de gravité de masses liées entre elles pendant la chute puisse, par la suppression des liaisons, monter à une hauteur plus grande que celle de la descente ; il s'ensuivra que des corps pesants peuvent, par leur propre poids, pourvu que cette opération soit répétée un nombre suffisant de fois, s'élever à une hauteur quelconque. Si, au contraire, après la suppression des liaisons, le centre de gravité ne peut s'élever qu'à une hauteur moindre que celle de la chute, il suffira de renverser le sens des opérations pour que, de nouveau, le corps s'élève par son propre poids à une hauteur quelconque. Le postulat de Huyghens était donc en réalité de ceux dont personne n'a jamais douté et que chacun au contraire connaît instinctivement, Huyghens donnait toutefois à cette connaissance instinctive une valeur abstraite et ne manqua pas de partir de ce point pour montrer l'inutilité de la recherche du mouvement perpétuel. Nous pouvons reconnaître dans la proposition que nous venons de développer la généralisation d'une des conceptions de Galilée.

18. — Occupons-nous maintenant du rôle de ce principe dans la détermination du centre d'oscillation. Considérons pour la simplicité un pendule linéaire OA (Cg. 63) formé d'un grand nombre de masses indiquées sur la ~j

figure par des points. Si on l'abandonne à lui-même dans la position OA, il descendra jusqu'en B et montera jusqu'à la position A'

pour laquelle AB = BA'. Son centre de gra- A £^ 3^

vite montera d'un côté aussi haut qu'il est r— """^^

descendu de l'autre. Mais la solution ne peut être déduite de cette remarque. Supposons lg*

maintenant qu'au moment où le pendule passe par OB les particules matérielles soient soudainement affranchies de leurs liaisons ; leurs vitesses acquises élèveront leur centre de gravité à la même hauteur qu'avant cette suppression, et si l'on imagine que chacune de ses particules matérielles, oscillant librement, soit fixée à sa position d'élévation maximum, les pendules plus courts se trouveront en deçà et les pluslongs au delà de OA', mais le centre de gravité du système se trouvera

sur cette ligne, à sa hauteur primitive. D'autre part les vitesses imprimées aux particules matérielles sont proportionnelles à leurs distances à Taxe ; une de ces vitesses étant donnée, toutes les autres sont connues et la hauteur d'ascension du centre de gravité s'en déduira. Inversement, la vitesse d'une masse quelconque est déterminée par la hauteur du centre de gravité. Or, pour connaître tout le mouvement d'un pendule, il suffît de la vitesse correspondant à une hauteur de chute donnée.

19. — Ces remarques faites, nous aborderons la solution du problème. Etant donné un pendule linéaire, coupons-en un segment de. longueur i à partir de l'axe et soit k la hauteur d'où tombe l'extrémité de ce segment lorsque le pendule se meut de sa position d'écart maximum à sa position d'équilibre. Les hauteurs de chute des masses m, m', m9,..., situées aux distances r, r\ /,..., de Taxe, seront rk, r'k, r"A*,..., et la hauteur de chute du centre de gravité sera

Fig. 64.

mrk -4- mVfc -+- m'r'k -4- .... , Zmr

Ce passage à la position d'équilibre communique au point situé à la distance i de l'axe une vitesse v encore inconnue. La hauteur d'ascen-

sion de ce point, après la suppression des liaisons, sera donc — et les hauteurs correspondantes pour les autres masses seront- — -, - — ^,

.... La hauteur d'ascension du centre de gravité des masses rendues libres sera par conséquent :

i(j i(j 'j(j v2 Zmr*

2 g Xm

Le principe fondamental de Huyghens donne

. Zmr t>* Zmra x

2m 2g Sm '

Cette équation lie la hauteur de chute k à la vitesse v. Puisque tous les mouvements pendulaires de même écartement sont phoronomiquement semblables, il s'ensuit que le mouvement étudié est entièrement déterminé.

Pour trouver la longueur du penduje simple dont l'oscillation se fait

TRAVAUX DE HUT6HEN6 4oi

dans le même temps que celle du pendule composé proposé, remarquons qu'entre sa hauteur de chute et sa vitesse il doit exister la môme relation que dans le cas de la chute libre. Soit y la longueur de ce pendule, sa hauteur de chute est ky et sa vitesse vyt on a :

ou

en

multipliant

membre à membre les équations a) et

il vient :

l,mr*^ Imr

On peut aussi se servir de la similitude phoronomique et procéder comme suit : a) donne

-■ws-

Le pendule simple de longueur i, a, dans les circonstances présentes, la vitesse

Soit T la durée d'oscillation du pendule composé ; celle du pendule simple de longueur i est T, = 7c i/ - , et Ton trouve, dans l'hypothèse des écar terrien ts égaux où nous sommes placés :

d'où

V gïmr

20. — On découvre sans peine que le principe fondamental posé par Huyghens consiste dans la reconnaissance du travail comme déterminante de la vitesse ou plus exactement comme déterminante de la force vive. On appelle force vive d'un système de masse m, m\ m",..., animées des vitesses respectives v, u', uff,..., la somme

mv2 mV1 mV2

R. B. — Tomel. 36

le principe fondamental de Huyghens est identique au principe des forces vives et les additions qu'y apportèrent plus tard les autres chercheurs en intéressent hien moins le fond que la forme.

Considérons un système tout à fait quelconque de poids p, /)', />',... liés entre eux ou non, tombant de hauteurs h, h', h\... et acquérant ainsi des vitesses t\ t/, vff... ; le principe de Huyghens, exprimant l'égalité de la hauteur de chute et de la hauteur d'ascension du centre de gravité, fournit l'équation

ph -t- p'h'

ou

sph = lzPl\

Une fois en possession du concept a masse » , qui manquait encore à Huyghens, on peut remplacer le rapport * par la masse m et Ton obtient

Zph = i 2mv\

équation que Ton peut très aisément généraliser pour le cas de forces variables.

21. — Le théorème des forces vives permet de déterminer la durée des oscillations infiniment petites d'un pendule quelconque. Abaissons» du centre de gravité S du corps, une normale à l'axe de rolation et fixons sur celle-ci le point qui se trouve à l'unité de distance de l'axe ; appelons k la hauteur verticale dont est tombé ce point au moment où il passe par sa position d'équilibre et v la vitesse qu'il possède alors. Le travail effectué pendant la chute est déterminé par le mouvement du Fi 65 centre de gravité ; nous avons donc :

travail effectué pendant la chute = force vive,

v1 akgM = — 2mr*,

M étant la masse totale du corps. Dans cette formule nous faisons un usage anticipé de l'expression de la force vive. En raisonnant comme nous l'avons fait dans le cas précédent, nous aurons :

T 4 /Smr*

T = rWa^'

TRAVAUX DE HUÏGHESS 4o3

ÏM&. — Nous voyons donc que la durée de l'oscillation infiniment petite d'un pendule dépend de deux facteurs ; la valeur de l'expression H/nr2 qu'Euler a appelée moment d'itiertie et que Huyghens emploie sans lui donner de nom particulier, et la valeur de agM, Cette dernière expression, que pour la brièveté nous appellerons moment statique, est le produit aP du poids du pendule par la distance du centre de gravité à l'axe de rotation. La connaissance de ces deux valeurs détermine la longueur du pendule simple de même durée d'oscillation (isochrone) et la position du centre d'oscillation.

Pour calculer la longueur de ce pendule simple isochrome, Huyghens ne possédait pas de méthodes analytiques qui ne furent découvertes que plus tard. Il employa un procédé géométrique vraiment ingénieux dont nous donnerons quelques exemples. Proposons-nous de déterminer la durée d'oscillation d'un rectangle matériel pesant ABCD, oscillant autour de l'axe AB. Partageons le en petits éléments de surface /, f, /*,... situés aux distances r, r\ r"... de l'axe. La longueur du pendule simple isochrone — égale à la distance du centre d'oscillation à l'axe, — est donnée par la formule

Aux points G et D élevons CE et DF perpendiculaires sur ABCD, telles que CE = DF = AG = BD, et construisons ainsi le prisme homogène ABCDEF. Cherchons la distance du centre de gravité de ce prisme au plan mené par AB parallèlement à CDEF. Nous devons pour cela considérer les colonnes minces/r, yV.yV..., et leurs distances r, r7, r* , ... à ce plan ; la distance cherchée est donnée par l'expression :

fL

Fig. 68.

On retrouve donc la formule précédente. Le centre d'oscillation du rectangle et le centre de gravité du prisme sont donc situés à la même

distance : « AC.

Dans cet ordre d'idées on reconnaît sans peine l'exactitude des propositions suivantes : Pour un rectangle homogène de hauteur h, oscillant autour de sa base supérieure, le centre de gravité est à la distance

- de Taxe et le centre d'oscillation à la distance -^ . Pour un triangle

homogène de hauteur h, dont Taxe de rotation passe par le sommet et

est parallèle à la base, les distances à l'axe des centres de gravité et

2 3 d'oscillation sont respectivement w h et . h. En appelant An As les

moments d'inertie et M,, M, les masses du rectangle et du triangle on trouve :