CHAPITRE XVI. LA VIE BT LES TRAVAUX D'iSAAC NEWTON l

taires, et Newton, dans une longue mais intéressante réponse, datée du 2/4 octobre 1676 et envoyée par l'intermédiaire d'Oldenburg,. exposa de quelle façon il avait été conduit à certains de ses résultats.

Dans cette lettre, Newton commençait par dire qu'il avait em-* ployé à la fois trois méthodes pour obtenir ses développements en séries. Il était parvenu à la première en étudiant la méthode d'interpolation à l'aide de laquelle Wallis avait trouvé les expressions de Taire d'un cercle et d'une hyperbole. Ainsi, en considérant les séries correspondant aux expressions

il déduisait par interpolations la loi qui lie les coefficients successifs dans les développements de

(1 — xs)*, (1 — s2)*,...

et il obtenait alors, par analogie, l'expression du terme général

dans le développement d'un binôme, c'est-à-dire le théorème du

binôme. Il dit qu'il procéda à une vérification en formant le carré

du développement de (1 — x) â qui se réduisit à 1 — x*, et il opéra

de la même manière avec d'autres développements. Il vériCa

ensuite le théorème pour (1 — x2)* en extrayant, more arithmetico, la racine carrée de 1 — x2. Il employa également les séries pour déterminer les aires du cercle et de l'hyperbole en séries infinies, et il trouva que les résultats étaient les mêmes que ceux auxquels il était arrivé par une autre voie.

* Il est avéré, et c'est une constatation digne de remarque, que la plupart des mathématiciens ont découvert les propositions que leur ont été suggérées par l'examen attentif de cas particuliers aisément accessibles. C'est qu'il est bien plus aisé de généraliser un résultat acquis que d'apercevoir une proportion nouvelle, fût-elle 'Uirl des plus simples. Halphen reprochait même aux généralisations faciles, aux généralisations sans objet, d'encombrer inutilement la science *.

Ce résultat une fois obtenu, Newton laissa de côté la méthode d'interpolation et employa son théorème du binôme pour exprimer

l4 HISTOIRE DES MATHEMATIQUES

-(quand cela était possible) l'ordonnée d'une courbe par une série infinie ordonnée suivant les puissances croissantes de l'abscisse, et il obtint ainsi, par la méthode de Wallis, des expressions en séries infinies pour les aires et les arcs de courbes de la manière qui esl décrite dans l'appendice à son Traité d' Optique et à son De Anat\ fysi p^r Equationes Numéro Terminorum Injinitas (l). Il signale qu'il avait employé cette seconde méthode avant les années 1 665-66 et il continue en disant qu'il fut alors obligé de quitter Cambridge, et que par la suite (probablement à son retour à •Cambridge) il abandonna ses premières idées : il s'était aperçu que Nicolas Mercator avait déjà fait usage de certaines d'entre ellejdans son ouvrage Logarihmotechnica, publié en 1668; et il supposait «me les autres avaient été ou seraient trouvées avant qu'il fût luimême prêt à publier ses découvertes.

Newton explique ensuite qu'il était encore en possession d'une troisième méthode dont il avait (dit-il) envoyé vers 1669 un exposé à Barrow et Collins avec des exemples d'applications aux aires, à la rectification, à la cubature, etc. C'était la méthode des fluxions ; mais Newton n'en fait pas l'exposition dans cette lettre, bien qu'il ajoute quelques exemples concernant son emploi. Le premier est relatif à la quadrature delà courbe représentée par 1 équation

y = axm (b -+- cxny

•qui, dit-il, peut-être effectuée comme étant la somme de m -f- 1

termes, si m ~*~ l représente un entier positif, et qui, dans le cas

contraire, ne peut pas être obtenue, si ce n'est sous la forme d une série infinie (2). Il donne aussi une liste d'autres expressions pouvant être immédiatement intégrées et dont les principales sont:

<, + bx» -h ex2» » -fl--+- bxn [+ cx*n » *""H"1 (« -f" ba* -f- ex*») «

jc""-1 (a -\-bxn) % {c+d.xn)-l,xmn-n-l(a-*-bxn)(c-t-dxn) i;

(4) Voir plus bas.

(*) Gela n'est pas exact, l'intégration est possible si p + - - est un entier.