CHAPITRE XVI. — LA. VIE ET LES TRAVAUX D ISAAC NEWTON

Descartes pour donner les limites du nombre des racines imaginaires. Il se sert du principe de la continuité pour expliquer comment deux racines réelles et inégales peuvent devenir imaginaires, en passant par l'égalité, el donne des exemples empruntés à la géométrie ; il montre ainsi que les racines imaginaires doivent se présenter par couples, Newton donne aussi des règles pour trouver une limite supérieure des racines positives d'une équation numérique, et pour déterminer les valeurs approchées des racines numériques. Il énonce de plus le théorème bien connu qui permet de calculer la somme des n6* puissances des racines d'une équation, et il pose les fondements de la théorie des fonctions symétriques des racines d'une équation.

Le théorème le plus intéressant contenu dans cet ouvrage est relatif à la tentative faite pour trouver une règle (analogue à celle de Descartes pour les racines réelles) permettant de déterminer le nombre des racines imaginaires d'une équation. Newton n'ignorait pas que le résultat auquel il était arrivé n'était pas général, mais il n'a pas fait connaître les cas où son théorème tombe en défaut. Son théorème peut se résumer comme il suit : supposons que l'équation soit du n9 degré et ordonnée par rapport aux puissances décroissantes de x (le coefficient de X* étant positif), et supposons formées les n -f- i fractions

n an — 1 3 n — P+i J> H- 1 2 n

n — ii'n-a a n — p p in — 1 '

écrivons les sous les termes correspondants de l'équation ; alors, si le carré d'un terme quelconque multiplié par la fraction correspondante est plus grand que le produit des deux termes qui le comprennent, mettons le signe plus au-dessus de ce terme; dans le cas contraire, mettons le signe moins ; plaçons enfin le ^igne plus au dessus du premier et du dernier termes ; ceci fait, considérons dans l'équation initiale deux termes consécutifs et les deux symboles correspondants. Il peut se présenter un des quatre cas suivants :

(a) les termes ont le même signe et les symboles le même signe; (|3) les termes ont le même signe et les symboles des signes contraires ; (7) les termes ont des signes contraires et les sym-

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l8 HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

boies le même signe ; (&) les termes ont des signes contraires» et les symboles des signes contraires ; comme on a fait voir que le nombre des racines négatives ne peut surpasser le nombredes cas (a), et que le nombre des racines positives ne peut surpasser le nombre des cas (y), le nombre des racines imaginaires n'est pair inférieur au nombre des cas (fi) et (c?). En d'autres termes, le nombre des changements de signes dans la rangée des symboles écrits au-dessus de l'équation est une limite inférieure du nombre des racines imaginaires. Cependant Newton s'exprimait ainsi : « vous pouvez presque savoir combien il y a de racines impossibles en comptant les changements de signes dans la série des symboles formés comme ci-dessus ». Il pensait donc qu'on pouvait généralement obtenir par sa règle, le nombre réel des racines positives, négatives et imaginaires et non simplement des limites supérieures et inférieures. Mais bien qu'il reconnut que la règle n'était pas générale, il ne put trouver (ou tout au moins il n'établit pas) quelles en étaient [les exceptions : ce théorème fut étudié plus tard par Campbell, Maclaurin, Euler et d'autres auteurs; enfin en i865„ Sylvester réussit à lui donner son véritable sens.

Au mois d'août i684, Halley vint à Cambridge afin de consulter Newton au sujet de la loi de la gravitation. Hooke, Huyghens, Halley et Wren avait tous conjecturé que la force attractive du soleil ou de la terre sur un point extérieur variait en raison inverse du carré de la distance. Ces auteurs semblent avoir montré indépendamment l'un de l'autre que, si les conclu— sions de Kepler étaient rigoureusement exactes, ce dont ils n'étaient pas absolument certains, la loi de l'attraction devait être celle de l'inverse du carré. Leur argumentation était probablement la suivante.

Si v est la vitesse d'une planète, r le rayon de son orbite considérée comme circulaire, et T la durée de sa révolution,

(!) Cf. les Procecdinge of the London MalhemaLical Society, i865, Vol. I. n°a.