CHAPITRE XIX. LA THÉORIE DES FONCTIONS, ETC

degré mn se décomposent en m facteurs de degré n, au moyen de la résolution d'une seule équation de degré m.

Mais la découverte la plus profonde, celle qui a fait pénétrer au cœur de la question est celle de Galois. Le premier, Galois met en évidence l'importance du groupe de l'équation, qu'il définit ainsi. Il appelle rationnelle toute quantité qui s'exprime en fonction rationnelle des coefficients de l'équation et d'un certain nombre de quantités arbitraires adjointes à l'équation. Soient alors a, o, c..., les racines : il y a toujours un<gra*pe de permutation des lettres a, b9 c,... tel que toute fonction des racines invariable numériquement par les substitutions de ce groupe soit rationnellement connue et, réciproquement, que toute fonction des racines, déterminable rationnellement, soit invariable par les substitutions.

Une autre notion très importante est celle des sous-groupes dits invariants, contenus dans le groupe primitif. Un groupe est composé ou simple, selon qu'il renferme ou non un sous-groupe invariant. Galois tire de ces principes des résultats très remarquables, qui sont actuellement la base de la théorie des équations et qui furent complétés dans la suite par Betti, Kronecker, Serret et surtout par M. Jordan, qui s'est attaché à l'étude des groupes composés, des groupes transitifs, des groupes primitifs et a considérablement étendu à leur aide le champ de la théorie des substitutions. Il a montré que les équations à groupe composé peuvent se résoudre à l'aide d'équations auxiliaires, il a construit tous les groupes d'équations d'un degré donné résolubles par radicaux, problème à la fois très important et très difficile posé par Abel.

La notion de groupe de substitution/1 ou de transformation dont Galois a, le premier, révélé la fécondité, est aujourd'hui fondamentale dans bien des parties de l'analyse, car la science mathématique étudiant essentiellement les transformations de diverses natures doit toujours rechercher ce qui demeure constant et inaltéré dans ces transformations. Partout elle étadia-dea greupes. Avunaoyen-des }J -invariants-. La géométrie projective offre les relations les plus étroites avec la théorie des substitutions linéaires/ de même que la ^ <*y* géométrie élémentaire avec celle des substitutions orthogonales. U-^a^

Halphen a étudié le groupe des substitutions linéaires, c'est-àdire des changements projectifs de coordonnées ; il a nommé invariants différentiels certaines fonctions des dérivées que ces substitu-

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