CHAPITRE IV. LE 111° SIÈCLE ÀVÀHT JÉSUS-CHRIST

-delà figure est constant, il est légitime d'en conclure que le rapport <le Taire du rectangle déterminé par les côtés qui comprennent l'angle à Taire du triangle est constant (prop. 66). Pappus rapporte que l'ouvrage avait été fait pour ceux « qui désirent apprendre à résoudre les problèmes. » Il constituait en fait une série graduée ■d'exercices .d'analyse géométrique et il peut être considéré comme répondant à la seconde objection formulée.

Euclide composa également un ouvrage intitulé rapï Atatpiraov ou De Divisionibus que nous ne connaissons que par une traduction arabe peut-être imparfaite. C'est une collection de trente-six problèmes sur la division des surfaces en parties ayant entre elles un rapport donné. Il est vraisemblable que cet ouvrage faisait partie d'une série plus complète comprenant probablement les sophismes et les porismes ; en lui-même, il montre qu'Euclide reconnaissait parfaitement l'importance des exercices et des applications.

Mentionnons ici une hypothèse mise en avant par De Morgan qui est peut-être, de tous les critiques modernes d'Euclide, le plus subtil. Il admet comme vraisemblable que les éléments furent écrits vers la fin de la vie du grand géomètre, et que leur forme actuelle n'est qu'une première ébauche de l'ouvrage qu'il se proposait de composer et que sa mort ne lui permit pas de remanier, h Texception du livre X. Si cette opinion est fondée, il est bien probable que la révision d'Euclide n'aurait pas donné lieu à la cinquième objection formulée plus haut.

La partie des éléments consacrée à la géométrie est tellement connue que nous pourrions presque nous dispenser d'en parler (A).

Les quatre premiers livres et le livre VI traitent de la géométrie plane; la théorie des proportions (entre grandeurs de toute nature) est faite dans le livre V et les livres XI et XII ont pour objet la géométrie dans l'espace.

(f) Euclide supposait que ses lecteurs connaissaient l'usage de la règle et du compas.

Loreszo Mascuero.ii (qui naquit à Castagncta» le i4 niai 1750 et mourut a Paris, le 3o juillet 1800) entreprit d'arriver aux résultais donnés par Euclide en n'employant dans ses constructions que le compas seul. Le traité de Mas- CHEnoxi sur la Géométrie du compas, qui fut publié à Pavic, en 1795, est un tour de force si curieux qu'il vaut la peine d'être mentionné. Mvscheko.ni fut d'abord professeur à Bcrgamc, puis à Pavic, il laissa do nombreux ouvrages d'importance secondaire.

En admettant l'hypothèse que les éléments représentent la première ébauche d'un ouvrage qu'Euclide se proposait d'écrire, il est possible que le livre XIII constitue une sorte d'appendice contenant quelques v propositions additionnelles qui auraient été ultérieurement intercalées dans l'un ou l'autre des premiers livres. Ainsi, comme nous l'avons déjà fait remarquer plus haut, les cinq premières propositions relatives à une droite coupée « en section d'or » auraient pu être introduites dans le second livre. Les sept propositions qui suivent ont trait aux relations entre certaines lignes incommensurables dans les Ggures planes (telles que celles qui existent entre le rayon d'un cercle et les côtés du triangle, du pentagone, de l'hexagone et du décagone réguliers inscrits) et sont résolues en appliquant les méthodes du livre X et comme applications de ces méthodes. Les six dernières propositions sont consacrées aux cinq solides réguliers. Bretschneider pense que le livre XIII est un sommaire d'une partie de l'ouvrage perdu d'Aristé, mais les applications des méthodes du dixième livre sont fort probablement dues à Theœtète.

Les livres VII, VIII, IX et X des Eléments sont réservés à la théorie des nombres. Les opérations élémentaires du calcul ou XopaTi^ij étaient enseignées aux enfants. Platon les considérait comme enfantines, et les mathématiciens grecs ne s'en occupèrent jamais beaucoup ; on ne les regardait pas comme faisant partie d'un cours de mathématiques. Nous ne savons pas comment oa enseignait ces premières notions, mais il est certain que l'abaque devait jouer un grand rôle. L'étude scientifique des nombres était appelée dbi6fji7)Ttxij, ou « science des nombres. » Elle avait spécialement pour objet les rapports, les proportions et la théorie des nombres.

En discutant Tordre adopté par Euclide, nous ne devons pas perdre de vue que ses auditeurs étaient déjà initiés à l'art du calcul. Nous décrivons plus loin (!) le système de numération en usage chez les Grecs, mais il était si peu commode qu'il reniait l'étude de la théorie des nombres bien pliis difficile que celle de la géométrie ; c'est pourquoi Euclide commençait son cours de mathématiques par la géométrie plane. Il faut observer en même temps que

(!) Voir plus loin, chap. vu.