CHAPITRE IV. LE IIIe SIECLE AVANT JÉSUS-CHRIST 6l

les résultats obtenus dans le second livre, bien que géométriques par la forme, sont susceptibles d'être exprimés dans le langage algébrique, et le fait que les nombres pouvaient ainsi être représentés par des lignes, avait été probablement constaté à une époque antérieure. Cette méthode graphique, consistant à représenter les nombres par des lignes, possédait l'avantage évident de fournir des démonstrations applicables à tous les nombres, rationnels ou irrationnels. Il faut noter que parmi les propositions du second livre, on trouve des démonstrations géométriques, des propriétés distribu tives et commutatives de la multiplication, et des solutions géométriques des équations.

a(a — x) = a:2, c'est-à-dire

x* -+- ax — a1 = o (Eue. prop. 1 1, livre II) et

x* — ab = o (Eue. prop. i4, livre II).

La solution de la première de ces équations est donnée sous la forme

Les solutions des équations

or2 — b x -f- c = o ax* -+- bx — c = o

sont données également dans Euclide (livre VI, prop. 28 et 29).

Le cas de a = 1 peut se déduire des identités établies dans les propositions 5 et 6 du livre II, mais il est douteux que le fait ait été constaté par Euclide.

Les résultats obtenus dans le cinquième livre consacré à la théorie des proportions, s'appliquent à toutes les grandeurs et, par suite, sont vrais pour les nombres aussi bien que pour les grandeurs géométriques. Dans l'opinion de beaucoup d'auteurs, c'est la manière la plus satisfaisante de traiter la théorie des proportions et Euclide l'a prise pour base de sa théorie des nombres.

On croit que cette théorie des proportions est due à Eudoxe ; l'exposition du même sujet faite dans le livre VII est moins élégante : elle reproduit probablement la méthode Pythagoricienne.

Cette double étude des proportions confirme l'opinion qu'Euclide mourut ayant d'avoir eu le temps de retoucher son ouvrage.

Dans les livres VII, VIII et IX, Euclide étudie la théorie des nombres rationnels. Le septième livre débute par quelques définitions basées sur la notation pythagoricienne. Dans les propositions i à 3 il montre que, si en appliquant le procédé usuel pour trouver la plus grande commune mesure de deux nombres, le dernier diviseur est l'unité, les deux nombres sont premiers entre eux ; il déduit de là la règle pour trouver leur plus grand commun diviseur. Les propositions !\ à 22 comprennent la théorie des fractions qui repose sur celle des proportions ; entre autres résultats il démontre que ab = ba (proposition 16). Dans les propositions 23 à 34, il s'occupe des nombres premiers et énonce beaucoup de propositions que Ton retrouve encore dans les livres classiques modernes. Dans les propositions de 35 à 4 1 , il donne la théorie du plus petit multiple commun de plusieurs nombres et quelques problèmes divers.

Le huitième livre est principalement consacré aux nombres en proportion continue, c'est-à-dire en progression géométrique ; les cas où l'un des nombres (ou plusieurs) est un produit, un carré, ou un cube, sont spécialement étudiés.

Dans le neuvième livre, Euclide poursuit son élude sur les progressions géométriques, et dans la proposition 35 il énonce la règle pour sommer une série de n termes, bien que la démonstration ne soit donnée que pour le cas où n = l\. 11 développe aussi la théorie des nombres premiers, montre que leur nombre est illimité (proposition 20) et examine les propriétés des nombres pairs et impairs, il termine en établissant que tout nombre de la forme *n~~ ' (an — 1), lorsque 2n — 1 représente un nombre premier, est a parfait » (proposition 36).

Dans le dixième livre, Euclide traite des grandeurs irrationnelles, et comme les Grecs ne possédaient aucun symbole pour représenter les quantités incommensurables, il a dû adopter un mode de représentation géométrique. Les propositions 1 à 21 roulent en général sur les grandeurs incommensurables. Le reste du livre, c'est-à-dire les propositions de 22a 117, est consacré à la discussion de chacune des variétés possibles de lignes pouvant être représentées par l'expression \J\ra ± v'fc dans laquelle a et 6 désignent