CHAPITRE IV. — LE IIIe SIECLE ÀVÀST JÉSUS-CHRIST
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Dans la seconde, il montre que le rapport - — ^ diffère très peu de jt ; et ensuite, dans la troisième, que -z est plus pelit
que 3 - et plus grand que 3 — . Ces théorèmes sont, bien entendu,
démontrés géométriquement.
Pour établir les deux dernières propositions, il inscrit et circonscrit au cercle des polygones réguliers de 96 côtés, calcule leurs périmètres et en admettant que la circonférence du cercle est comprise entre les deux, il obtient le résultat
dont il déduit les limites indiquées ci-dessus.
Il semblerait d'après sa démonstration qu'il était en possession d'une méthode (inconnue aujourd'hui) pour extraite approximativement les racines carrées des nombres. La table qu'il a formée pour les valeurs numériques des cordes d'un cercle est une table des sinus naturels, et peut avoir suggéré les recherches iailes ultérieurement sur ces lignes par Hipparquc et Ptolémée.
b) La quadrature de la Parabole contient vingt quatre propositions. Archimède commence son ouvrage, qu'il envoya à Dosithce, en établissant quelques propriétés des coniques (prop. de 1 à 5). Il énonce ensuite d'une façon exacte, l'aire d'un segment parabolique déterminé par une corde quelconque et donne une démonstration, qui repose sur la détermination préliminaire, au moyen de la mécanique, du rapport de deux aires s'équilibrant lorsqu'elles sont suspendues aux extrémités des bras d'un levier (prop. 6 à 17), et enfin il donne une démonstration géométrique du même résultat (prop. 18-24). Cette dernière est, bien entendu, basée sur la méthode d'exhaustion, mais pour être plus bref, nous allons, en la reproduisant, employer la méthode des limites.
Considérons le segment de parabole limité par la corde PQ. Traçons le diamètre VM correspondant à cette corde. D'après une proposition démontrée précédemment, V est de tous les points de l'arc parabolique le plus éloigné de la corde PQ.
Représentons par A la surface du triangle PVQ, et dans les seg-
ments limités par PV et VQ inscrivons des triangles en opérant de la même manière que pour le triangle VPQ.
Chacun de ces triangles étant équivalent à g A (ceci résulte d une
proposition antérieure), leur somme vaut 7 A.
De même, dans les quatre segments déterminés par la dernière construction, inscrivons des triangles; la somme de leurs aires
sera jg A.
En opérant ainsi, on arrive h celte conclusion que le segment p parabolique considéré est équivalent à la limite vers laquelle tend la somme (fig. 10)
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lorsque n est infiniment grand.
Le problème se réduit par suite à trouver la somme d'une suite de termes en progression géométrique décroissante,
Archimède procédait comme il suit :
Considérons une suite de grandeurs A, B, C, D, , J, K telles
que chacune d'elles soit le quart de celle qui la précède immédiatement. Prenons les quantités 6, c, d, , k respectivement
égales à
Fig. 10.
On a alors
B+6 = JA,C + c = lBî , K + k = J J,
et, par suite
