CHAPITRE IV. LE IIl' SIECLE AVÀÎIT JESUS-CHRIST y

fions sur les aires et les volumes parmi lesquelles la plus intéressante est, peut-être, la proposition 10 du second livre. « De tous les segments sphériques d'égale surface, l'hémisphère a [le plus grand volume. » Dans la [seconde proposition du second livre, il énonce ce théorème remarquable, qu'une ligne de longueur a ne

peut être divisée de telle sorle que Ton ait — i — = — -t (b étant une longueur donnée) que si b est plus petit que -* ; ce qui revient

à dire que l'équation cubique x* — ax* -\ — a2b = o ne peut avoir

une racine mile et positive que si a est plus grand que 36. 11 démontrait cette proposition pour compléter la solution de ce problème : diviser une sphère donnée par un plan, de façon que lesvolumes des segments déterminés soient dans un rapport donné.

On trouve une équation cubique très simple dans l'arithmétiquede Diophante, mais sauf cette seule exception aucune équation de cette forme ne se présente plus dans l'histoire des mathématiques en Europe pendant plus de mille ans.

b) Des conoïdes et des sphéroïdes. — Ce petit traité (envoyé à Dosithée, à Alexandrie) renferme quarante propositions concernant principalement la recherche des volumes des corps engendrés par la révolution des sections coniques autour de leur axe.

c) Àrchimède écrivit aussi un traité sur certains polyèdres semiréguliers, c'est-à-dire sur les solides formés par des polygones réguliers d'espèces différentes. Cet ouvrage est perdu.

III) Sur Y Arithmétique, Archimède composa deux mémoires. L'un (qu'il adressa à Zeuxippe) traitait des principes de la numération et n'existe plus. L'autre (adressé à Gelon) qu'il intitula Vœ^îiitt^ (YArénaire) et dans lequel il examinait une objection qui* avait été élevée contre son premier mémoire.

L'objet du premier opuscule avait été de suggérer un système convenable, permettant de représenter les nombres si grands qu'ils soient, système dont quelques philosophes de Syracuse avaient mis en doute la possibilité. Le peuple, disait Archimède, s'imagine que^ les grains de sable du rivage de la Sicile représentent un nombre que le calcul ne saurait représenter; il affirme que ce nombre peut être évalué, et bien plus, il se propose de montrer la puissance de sa méthode en formant un nombre supérieur à celui des grains de-

sable qui pourraient remplir l'univers, c'est-à-dire une sphère dont le centre serait la terre, et le rayon la distance du soleil à la terre. Jl commence en faisant observer qu'avec la nomenclature grecque ordinaire, on ne pouvait écrire les nombres que de 1 à io8 : ils sont ainsi exprimés avec ce que Ton rpourrait appeler, dit-il, les unités du premier ordre. Si on considère io8 comme une unité du second ordre, un nombre quelconque entre io8 et io16 pourra être considéré comme composé d'unités du second ordre avec un certain nombre d'unités du premier ordre. Si io16 est une unité du troisième ordre, on pourra exprimer un nombre quelconque jusqu'à 10" et ainsi de suite. En supposant qu'une sphère dont le rayon vaut la quatre-vingtième partie de la largeur du doigt soit remplie par 10 000 grains de sable et que le diamètre de l'univers ne dépasse pas io10 stades, il trouvait que le nombre des grains de sable nécessaires pour remplir l'univers est plus petit que io63.

Ce système de numération avait probablement été mis en avant comme une simple curiosité scientifique. Le système de numération grecque, tels que nous le connaissons, n'avait été introduit que récemment, très vraisemblablement à Alexandrie, et était suffisant pour toutes les applications ; Àrchimède l'employait dans tous ses écrits. D'un autre côté, on a prétendu qu'Archimède et Apollonius avaient pour leurs propres recherches, une notation symbolique basée sur le système décimal, et,il est possible que ce fut celle dont nous venons de donner une idée. Les unités proposées par Archimède formaient une progression géométrique dont la raison est io8. Incidemment, il ajoute qu'il est utile de se rappeler que le produit du m0 terme d'une progression géométrique dont le premier terme est 1, par le n° terme, est égal au (m -+- n)me terme de la suite, c'est-à-dire que l'on a : pm \ pn = pm + n.

A ces deux écrits sur l'arithmétique, nous pouvons ajouter le problème suivant resté célèbre qu'il avait proposé aux mathématiciens d'Alexandrie : Le Soleil avait un troupeau de taureaux et de vaches, et tous ces animaux étaient blancs, gris, bruns ou de couleur pie. Le nombre des taureaux pies était plus petit que celui des

taureaux blancs et la différence était égale aux * du nombre des taureaux gris ; il était également plus petit que le nombre des taureaux gris et la différence était égale aux ^ du nombre des tau-