CHAPITRE V. LE II* SIECLE APRES JÉSUS-CHRIST Iû

exactes, la nécessité où Ton se serait trouvé d'introduire épicycle sur épicycle pour faire concorder la théorie avec les faits observés, l'aurait rendue fort compliquée. Mais De Morgan a judicieusement fait observer que si les anciens astronomes se trompaient grandement en supposant qu'il était indispensable de transformer tous les mouvements des corps célestes en mouvements circulaires uniformes, leurs hypothèses, en tant que rendant compte des phénomènes apparents, étaient non seulement légitimes, mais commodes. Elles suffisaient pour expliquer le mouvement angulaire des corps célestes ou leur changement de distance, et comme les anciens ne s'attachaient qu'à cette dernière question, ils s'en contentaient. En fait, étant donnés l'état de leurs connaissances et l'imperfection de leurs instruments, c'était la meilleure des théories qu'ils pouvaient créer, et elle correspond à l'expression d une fonction donnée comme somme de sinus et de cosinus, méthode qui est d'un fréquent usage en analyse moderne.

Malgré les recherches de Delambre, il est presque impossible d'établir une distinction entre les résultats dus à Hipparque et ceux qui peuvent être attribués à Ptolémée. Mais Delambre et De Morgan s'accordent à penser que les observations mentionnées, les idées fondamentales et l'explication du mouvement solaire apparent sont dues à Hipparque, tandis que tous les détails et les calculs des mouvements apparents de la lune et des planètes appartiennent à Ptolémée.

L'Àlmageste montre que Ptolémée était un géomètre de premier ordre, bien qu'il se soit principalement limité aux applications de la géométrie à l'astronomie. Il composa également un grand nombre d'autres traités. Parmi ces derniers, il en est un sur la géométrie pure, dans lequel il propose de supprimer l'axiome douze d'Euclide sur les parallèles et de le démontrer comme il suit :

Supposons que les deux droites ÀB et CD soient coupées par la ligne EFGH de telle sorte que la somme des angles BFG, FGD soitégale à deux droits. Il s'agit de démontrer que ces deux droites AB, CD sont parallèles [fig. i5).

Si elles n'étaient pas parallèles, elles devraient, en les prolongeant suffisamment, se rencontrer en un point M (ou N). Mais les angles AFG, FGC sont respectivement les supplémentaires des angles BFG, FGD ; par suite AFG -h FGC = 2 angles droits et les lignes

BA, DG devront, suffisamment prolongées, se rencontrer en N (ou M). Mais deux lignes droites ne peuvent renfermer un espace, par conséquent on ne peut admettre la rencontre des droites AB, CD prolongées; c'est dire que ces droites sont parallèles. Réciproquement, si AB et CD sont parallèles, les segments AF, CG ne sont pas moins parallèles que les segments FB, GD ; par conséquent quelle que soit la somme des angles AFG, FGC, la somme des angles FGD, GFB sera la même. Mais la somme des quatre angles est égale à quatre angles droits, et par conséquent la somme des angles BFG et FGD doit être égale à deux droits.

Fig. i5.

Ptolémée écrivit un autre ouvrage pour montrer que l'espace ne pouvait comprendre plus de trois dimensions : il étudia également les projections orthographiques et stéréogi'aphiques, avec des applications spéciales à la construction des cadrans solaires. Il écrivit sur la géographie et établit que la longueur d'un degré de latitude est égale à 5oo stades. On lui attribue aussi quelquefois un ouvrage sur Foptique et un autre sur le son, mais leur authenticité est douteuse.