CHAPITRE V. LE IVe SIECLE APRES JÉSUS-CHRIST Il

par là que le produit de — b par — d dans le développement de (a — b) (c — d) est -h bd, mais en appliquant la règle, il a toujours soin de choisir les nombres a, b, c et d de telle sorte que a soit plus grand que 6 et c plus grand que d.

L'ensemble de l'ouvrage, ou tout au moins ce qui nous en reste, est consacré à la résolution de problèmes conduisant à des équations. Il contient les règles pour résoudre une équation simple du premier de#ré et l'équation binôme du second degré. La règle pour la résolu lion d'une équation quelconque du second degré se trouvait probablement dans un des livres perdus, mais quand l'équation est de la forme ax2 -h bx -h c = o, il paraît avoir multiplié les deux membres par a puis « complété le carré » à peu près de la même manière qu'on le fait actuellement. Quand les racines sont négatives ou irrationnelles, il rejette l'équation comme « impossible » ; et même quand les racines sont toutes les deux positives, il ne donne jamais qu'une seule des racines, en prenant toujours le radical avec le signe plus. Diophante a résolu une équation du troisième degré, à savoir :

xz -h x = Ux% -f- 4 (livre VI, proposition 19).

La plus grande partie de l'ouvrage est cependant réservée aux équations indéterminées à deux ou trois variables. Quand l'équation est -à deux variables, si elle est du premier degré, il attribue une valeur convenable à l'une des variables et résout l'équation par rapport à l'autre. Beaucoup de ses équations sont de la forme

y« = A*2 h- Bx -f- C.

Toutes les fois que les quantités À et C sont nulles, il peut résoudre l'équation complètement, mais lorsqu'il n'en est pas ainsi, si A = a1, il pose y = ax -h m; si C = c2, il pose y = mx 4- c ; et enfin si l'équation peut se mettre sous la forme

y2 = (ax ± b)2 4- c2,

il pose y = mx; dans chacun des cas m est un certain coefficient numérique, variable suivant le problème traité. Quelques équations particulières d'un degré plus élevé se rencontrent aussi dans l'ouvrage, mais alors il modifie généralement le problème de façon

R. B. — Tome I. 8

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